菱形的性质 作业

菱形的性质

1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，

若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为( )

A.75°

B.65°

C.55°

D.50°

2.(2013·梧州中考)如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是( )

A.10

B.12

C.15

D.20

3.已知菱形的周长为8，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为( )

A.4

B.8

C.4

D.10

4.如图，菱形ABCD的周长为8cm.∠BAD=60°，则AC= cm.

5.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 度.

6.(2013·内江中考)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= .

7.(8分)(2013·黄冈中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH，求证：∠DHO=∠DCO.

8.(8分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A，C之间的距离).若AB=40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(≈1.414，≈1.732，结果保留整数)

【拓展延伸】

9.(10分)如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD≠CD，我们称这样的四边形为“半菱形”.小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”.他的说法正确吗？请判断并证明你的结论.

答案解析1.【解析】选B.∵在菱形ABCD中，∠ADC=130°，

∴∠BAD=180°-130°=50°，

∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，

∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.

2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=5，∵∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形.

∴AB=BD=AD=5，

∴△ABD的周长是15.

3.【解析】选A.由已知可得AB=BC=2，AE==，

在Rt△ABE中，

BE==，

所以，CE=2-=，

在Rt△ACE中，AC===4.

4.【解析】∵菱形ABCD的周长为8cm.∴AB=2cm，

∵∠BAD=60°，且AB=AD，∴BD=AB=2cm，

∴BO=1cm，

∴OA=cm.∴AC=2cm.

答案：2

5.【解析】连结AB.因为AB=AD=BD=16cm，

所以△ABD为等边三角形，所以∠ADB=60°，

所以∠1=∠ADE=180°-60°=120°.

答案：120

6.【解析】作M关于BD的对称点Q，连结NQ，交BD于P，连结MP，此时MP+NP的值最小，连结AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，

∵M为BC的中点，

∴Q为AB的中点，

∵N为CD的中点，∵四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，

∴CP=AP=3，BP=PD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，

即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5.

答案：5

7.【证明】∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°，

∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH，

又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，

在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，

在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO.

8.【解析】连结AC，与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO.

当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形.

∴AC=AD=AB=40(cm).

当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，∠OAD=30°，

∴AO===20(cm).

∴AC=40(cm).

因此升高的高度为40-40=40(-1)≈29(cm).

9.【解析】正确.证明如下：连结BD，AC，设AC，BD交于点O，

因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，

所以△ABC≌△ADC，所以∠BAC=∠DAC，

又因为AB=AD，所以AO⊥BD，

所以S△ABD=BD·AO，S△BCD=BD·CO.

所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=BD·AO+BD·CO =BD(AO+CO)=BD·AC.