人教版初中数学讲义第9章中心对称图形——平行四边形09 图形的镶嵌

图形的镶嵌

地板、瓷砖……当你在为家庭装修忙碌时，是否知道这其中也有着数学问题呢？例如，最常见的瓷砖拼装，同样都是方方正正的瓷砖，为什么效果不一样呢？如下图，这是常见的两种瓷砖．

如今，家庭装修大多使用第二种正方形瓷砖．这种瓷砖比较适合矩形房间的地面装饰，通常这种瓷砖图案形成中心对称图形．这样无论如何铺设都能形成图案．而在街道道路上，通常用第一种瓷砖作铺垫．当然，还有其他形状的瓷砖，这里就不一一作介绍了．

显而易见，这两种常规瓷砖都是正多边形．那么，是不是所有的正多边形都能作为瓷砖拼装呢？显而易见，在现实生活中，一般就只有这几种形状的瓷砖．在装修中，瓷砖拼装首先要拼基本图案．

说到拼装，就要先谈一谈嵌合图形的拼装．在一种拼装图案里，如果基本元素图案只有一种，这就叫做单元拼装．在单元拼装里，如果基本元素是正多边形，这种拼装便称为正规拼装．当拼装时各个基本单元图案的边与边完全吻合，这种拼装可以称为棱对棱拼装．瓷砖拼装其实是正规的棱对棱的单元拼装．如图1，它就是一种棱对棱的单元正规拼装．它的基本元素就是图2的正方形．那么，棱对棱的正规单元拼装有几种呢？是不是所有的正多边形都能进行棱对棱的单元拼装呢？

由图1可以看到，它是一个由4个小正方形组成的大正方形．取它的中心对称点来分析，在此点周围一共就有4个小正方形，同理可得，该大正方形的其他的顶点周围应该也有4个小正方形．

假设某种N 边的正多边形能进行棱对棱的单元拼装，且在它的每一个顶点周围有M 个该正多边形．因为M 为顶点，所以M 应该能被360整除．由多边形内角和公式可以得到：

即

因为M 、N 都是正整数，且N ≥3，所以只有当N 为3，4，5和6时符合条件．而当N ＝5时，即基本图形为正五边形时，内角为108°，而108不能除尽360，所以也舍去．所以当N ＝3、4、6时满足条件．

因此，只有3种单元正规棱对棱的拼装．这也就是为什么现代地瓷装修主要是这几种形式．

以上三种就是正多边形棱对棱正规拼装的一些示例．

在三角形、四边形和六边形中，当多边形的边数为3时，它的一个顶点可容纳6个此种多边形．当多边形的边数为4时，它的一个顶点可容纳4个此种多边形．当多边形的边数为6时，它的一个顶点可容纳3个此种多边形．当基本元素是三角形或矩形时，环绕在一个顶点的多边形的棱正好形成以此点为中心的中心对称图形．又因为正方形与现代居室相近，所以现代装修中瓷砖拼装以正方形为主．

变换一下颜色或是改变一下摆放次序，就能产生新的图案．

()3601802=?-?N

N M 2

2-=N N

M

在公园或街道上有时会有一种呈矩形的地砖．在这种地砖的镂空处可以种植草坪．如：

也有像正方形的镂空地砖，如：

在嵌合图形的拼装中，正多边形的棱对棱的正规拼装只是其中极小的一小块而已．有时候，为了达到美观效果，还会采取多元拼装，就是一个基本单元里有两种以上的基本图案．

以上图中的左图来分析，在它的一个基本单元里，有两种正多边形——正方形和正八边形．它的一个顶点有一个正方形和两个正八边形．为什么会这样排列呢？因为正八边形的一个内角为135°，正方形的一个内角为90°，而135×2＋90＝360，所以这个组合可以成功．再以上图中的右图来分析，在它的一个基

本单元里，它虽然也只有两种正多边形——正六边形和正三角形，但它的顶点就有两种情况：一是周围有六个正三角形，二是周围有两个正三角形和两个正六边形．

再以下图为例，它的基本单元里仍是正六边形和正三角形两种，在它的一个顶点周围只有两个正三角形和一个正六边形．可见，同样的基本图形组成的不同的图形之间有着很大的差异．倘若有一个图形的基本元素由m个正M多边形和n个正N多边形组成，且该图形为多元正规棱对棱拼装，那么会有几种这样的图形呢？这个问题的答案就留给读者思考吧．

上述的图形拼装都建立在正规棱对棱拼装的基础上，其实嵌合图形的种类很多，只要是能填满一个平面的图案就叫做嵌合图．嵌合图形是数学和美术的结合，而瓷砖拼装是其中的一个典范．

怎么样？小小的瓷砖拼装还是大有学问的吧？只要稍微留心一下，生活中处处都可以发现数学的所在．以下是一些是埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）荷兰最著名的版画，大家可从中感受镶嵌图形的魅力．

埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）是荷兰最著名的版画家，1937年以前埃舍尔并没有多大的名气，那时他的作品尽可能真实地描绘现实客观世界．一次到西班牙的Alhambra宫殿访问激发了他新的创作灵感并使他成名．他不再描绘他所看到的而是开始构思他自己的视觉观念．这就有了他后来流行的规则的平面分割、转变，错综复杂的谜一般的版画和他天才的空间建筑．他的家庭设想他将来能跟随他的父亲从事建筑事业，但是他在学校里那可怜的成绩以及对于绘画和设计的偏爱最终使得他从事图形艺术的职业．他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他举办了他的第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，并且获得了世界范围的名望．在他的最热情的赞美者之中不乏许多数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化．因为这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而这一点尤其令人赞叹．随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，下面我们将看到这一点．他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，并且使用了罗杰·彭罗斯的一个想法发展了许多吸引人的艺术成果．这样，对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域：“空间几何学”和我们或许可以叫做的“空间逻辑学”．镶嵌图形：规则的平面分割叫做镶嵌，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有

空隙的封闭图形的排列．一般来说，构成一个镶嵌图形的

基本单元是多边形或类似的常规形状，例如经常在地板上

使用的方瓦．然而，埃舍尔被每种镶嵌图形迷住了，不论

是常规的还是不规则的；并且对一种他称为metamorphoses

（变形）的形状特别感兴趣，这其中的图形相互变化影响，

并且有时突破平面的自由．他的兴趣是从1936年开始的，

那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了当地使用的

瓦的图案．他花了好几天勾画这些瓦面，过后宣称这些“是我所遇到的最丰富的灵感资源”，1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道：“在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了……，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见，它不是．数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域．从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园．”无论这对数学家是否公平，有一点是真实的——他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌．但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状．埃舍尔在他的镶嵌图形中利用了这些基本的图案，他用几何学中的反射、平滑反射、变换和旋转来获得更多的变化图案．他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状．这些改变不得不通过三次、四次甚至六次的对称以便得到镶嵌图形．这样做的效果既是惊人的，又是美丽的．

鸟分割的平面（21k）、蜥蜴（65k）、循环（40k）、逐步展开1（59k）．

在“蜥蜴”里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风，然后又重新陷入原来的图案．埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式．在“逐步展开1”中，可以追溯到这个方形的镶嵌图形从边缘到中间的不断扭曲转化．

在荷兰王国贝娅特丽克丝女王陛下访华之际，埃舍尔先生的展览将在太庙举行．展览上，“埃舍尔虚拟现实游”将设置在一间像电影院的小屋中，参观者可以亲身感觉到埃舍尔观念中的建筑是多么的令人不可思议，声光电的综合应用使你感觉像在畅游佳境．