万有引力三个推导公式的应用
万有引力中三个推导公式的应用
——彭水第一中学校 罗炽华
摘要：万有引力定律这一章是学生感到十分头痛的一个章节，因为这一章的公式较多，变式也很多，繁杂、计算量又大。对学生的空间想象能力的要求也比较高，所以导致很多学生学习起来比较吃力。本文就将本章的公式归纳成三个推导公式，并用这些推导公式来解答这章的几种典型例题。
关键词： 万有引力 2
gr GM =中 r v GM 2
=中 322T 4r GM π=中
一、 推导公式的导出
设有一个中心天体，其质量为中M ,其半径为R ，一质量为m 的环绕天体绕其做圆周运动，周期为T ，线速度为v,轨道半径为r, 环线天体在r 处的加速度为g. 则根据万F mg G ==可以得到
3
22224r T
m r v m mg r m M G π===中，于是有
2gr GM =中, ………………………………………………① r v GM 2=中，………………………………………………②
3
22T
4r GM π=中，…………………………………………③
注意：在使用这三个公式时必须明确各物理量之间的对应关系。 以下通过一些例题讲解如何利用这三个推导公式解决相关问题。 二、 公式的应用
21R 8.9R 416.19R R M M GM /6.19121
8.921
2
2
2222
22=
??====??==地地地地行行地行行行行代入相应的物理量可得
再由公式代入数据可得
落体规律
自由落体运动，由自由物体在行星表面做的是g g gr s m g g t g h 1、 求未知天体质量
例1、 已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T ，月球到地
心的距离为r ，试求出地球的质量和密度。
解：在该题中已知T 和r ,故应选公式3
22T 4r
GM π=中
23
23224M ,T 4GT r r GM ππ=
=地地解得所以有
地地
地地，所以又323323
233
44V R GT r R GT r M πππρρ=== 例2、 物体在一行星表面自由落下，第1s 内下落了9.8m,若该行星
的半径为地球半径一半，那么它的质量是地球的几倍？ 解：
例3、 某星球的质量约为地球的9倍，半径为地球的一半，若从地
球上高h 处平抛一物体，射程为60m ，则在该星求上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为多少？ 解：在星球表面平抛物体，物体将做平抛运动，由平抛运动规律可得
22
1
gt h =…… ① t V L 0=……②
。
应选答案代入数据可得到，其中）（地星地地星
地
星星地地星
地A ,9
1
72T ,24T 3T 4T 4R 34R 34
M 322
3
2
233=====ρππρπρπh h h h M 联立①②可得g h
V L 20
=……③ 可知当一定时。h V ,0g
1L ∝
又由公式2
gr GM =中可知中GM r g 21=
，又G 是常量，所以
M r L 2
∝
故有.10619411M R L 22m M R L ，故射程为星
地地星地星=??== 2、 地球同步卫星
例4.地球半径为R ，距地心高为h 有一颗同步卫星，有另一个半径为3R 的星球，距该星球球心高度为3h 处一颗同步卫星，它的周期为72h ，则该星球平均密度与地球的平均密度的比值为( ) A.1:9 B.1:3 C.9:1 D.3:1
解：该题已知的是周期T ，故应选用公式3
22T 4r
GM π=中
因而有
322
3
22)3T 4T 4h GM h
GM （星
星地地π
π=
=
所以 3、
航空航天
例4、 我国在2007年成功发射一颗绕月球飞行的卫星，计划在
2012年前后发射一颗月球软着陆器，在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，，进行首次月球样品自动取样并完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月天津市做圆周运动的轨道舱，其过程如图所示，设轨道舱的质量为m ，月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r,引力常量为G ，则试求： （１）月球的质量
（２）轨道舱的速度和周期。
解：（１）当轨道舱在月球表面上做圆周运动，已知g 和R ，应用公式2gr GM =中
可得G
gR M 2=月
（2）当轨道舱到月球中心距离为r 的轨道上做圆周运动时，
要求v 和T ，可用公式r g R
r gR r GM r v GM ==?=22
月中
用公式g r
R r GM r T r GM πππ22T 43322=
=?=月中
小结：虽然这三个公式仅仅是通过微小的变换而得，但是只要对它们有清楚的了解，正确运用，对于提高解题速度和思路会起很大的作用。通过在教学中的实践发现，学生在做题时知道解题的思路，但是在用公式时会把公式中的物理量代换错，说明平时需要强调公式中物理量之间的对应关系。
高中物理公式大全一览表
高中物理公式大全一览表 高中物理有很多公式，经过高中三年的学习相信大家都有很多物理知识点需要总结，为了方便大家学习物理，小编为大家整理了高中物理公式，希望对大家有帮助。 一、质点的运动(1)------直线运动 1)匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a0;反向则a0｝ 8.实验用推论s=aT2 {s为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。 注：(1)平均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式; (4)其它相关内容:质点.位移和路程.参考系.时间与时刻;速度与速率.瞬时速度。 2)自由落体运动
1.初速度Vo=0 2.末速度Vt=gt 3.下落高度h=gt2/2(从Vo位置向下计算) 4.推论Vt2=2gh 注:(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律; (2)a=g=9.8m/s210m/s2(重力加速度在赤道附近较小,在高山处比平地小，方向竖直向下)。 (3)竖直上抛运动 1.位移s=Vot-gt2/2 2.末速度Vt=Vo-gt (g=9.8m/s210m/s2) 3.有用推论Vt2-Vo2=-2gs 4.上升最大高度Hm=Vo2/2g(抛出点算起) 5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间) 注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值; (2)分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性; (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。 二、质点的运动(2)----曲线运动、万有引力 1)平抛运动 1.水平方向速度：Vx=Vo 2.竖直方向速度：Vy=gt 3.水平方向位移：x=Vot 4.竖直方向位移：y=gt2/2 5.运动时间t=(2y/g)1/2(通常又表示为(2h/g)1/2) 6.合速度Vt=(Vx2+Vy2)1/2=[Vo2+(gt)2]1/2
万有引力定律公式总结
万有引力公式 线速度 角速度 向心加速度 向心力 两个基本思路 1.万有引力提供向心力：r m r n m ma r T m r m r v m r M G ωππω======22222 2244m 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2 m （2 g R GM =，黄金代换式） 一、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2= ） 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r 。（r m r Mm G 2 2ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T 。（T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度： 已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ 解：由万有引力充当向心力
r T m r Mm G 2224π= 则2 324GT r M π= ——① 又3 3 4R V M πρρ? == ——② 联立两式得：3 23 3R GT r πρ= 当R=r 时，有2 3GT π ρ= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2 R GM mg =（g 为表面重力加速度，R 为星球半径） 2．离地面高h: 2 ) (h R GM g m += '（g '为h 高处的重力加速度） 联立得g'与g 的关系： 2 2 )('h R gR g += 三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系 1．ma r M G =2m ，则2 a r M G =（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m r Mm G 2 2=，则r GM v = （卫星离地心越远，它运行的速度越小） 3．r m r Mm G 22ω=，则3r GM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T m r Mm G 22 24π=，则GM T 3 2r 4π= （卫星离的心越远，它运行的周期越大）
万有引力及应用知识点总结
专题：万有引力定律总复习（人造天体(卫星)的运动） 万有引力及应用：与牛二及运动学公式 1思路(基本方法)：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, F 心=F 万 (类似原子模型) 2方法：F 引=G 2r Mm = F 心= m a 心= m ωm R v =2 2 R 地面附近：G 2R Mm = mg ?GM=gR 2 (黄金代换式) 轨道上正常转：G 2r Mm = m R v 2 ? r GM v = 【讨论(v 或E K )与r 关系，r 最小 时为地球半径， v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h 】 G 2 r Mm =m 2 ωr = m r T 224π ? M=2324GT r π ? T 2 =2 3 24gR r π? 2T 3G πρ= （M=ρV 球=ρ π3 4 r 3） s 球面=4πr 2 s=πr 2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s 球冠 =2πRh 3理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r 最小时为地球半径、 最大的运行速度=v 第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h 4同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极有盲区) 轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V=3.08km/s ﹤V 第一宇宙=7.9km/s ω=15o /h (地理上时区) a=0.23m/s 2 5运行速度与发射速度的区别 6卫星的能量：(类似原子模型) r 增?v 减小(E K 减小 3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确 3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 五、万有引力 1、开普勒三定律： ⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32 312221R R T T = 或k T R =3 3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量 【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T R =33 ‘ ，比值k ’ 是 由行星的质量所决定的另一恒量。 ⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动 ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都 是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。 例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。 解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为 2 R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络 二、 画龙点睛 概念 万有引力定律及其应用 一、概念规律题组 1．对于质量分别为m 1和m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G m 1m 2 r 2 ，下列说法中正确的是( ) A ．公式中的G 是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的 B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 C ．m 1和m 2所受引力大小总是相等的 D ．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力 2．已知万有引力常量为G ，现在给出下列各组数据，不可以计算出地球质量的是( ) A ．地球绕太阳运行的周期T 和地球离太阳中心的距离R B ．月球绕地球运行的周期T 和月球离地球中心的距离R C ．人造地球卫星在地面附近运行的速度v 和运动周期T D ．地球的自转周期T 、地球的自转线速度和地球的平均密度ρ 图1 3．如图1所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等且小于c 的质量，则下列说法错误的是( ) A ．b 所需向心力最小 B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期 C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度 D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度 二、思想方法题组 4．如图2所示，同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( ) 图2 A .a 1a 2＝r R B .a 1a 2＝????R r 2 C . v 1v 2＝r R D . v 1 v 2 ＝ 5．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可采取的方法是( ) A ．飞船加速直到追上空间站，完成对接 B ．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接 C ．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接 D ．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接 万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律： 第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的面积。 第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的 定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在 空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ： 高中物理——万有引力与航天 知识点总结 一、开普勒行星运动定律 （1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 （2）对于每一颗行星，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 二、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比． 2．公式：F＝Gm1m2/r^2，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，称为万有引力常量。 3．适用条件： 严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但 此时r应为两物体重心间的距离。对于均匀的球体，r是两球心间的距离。 三、万有引力定律的应用 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式： F＝Gm1m2/r^2＝mv^2/r＝mω2r＝m(2π/T)2r (2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝Gm1m2/r^2，gR2＝GM. 2．天体质量和密度的估算 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r，由万有引力等于向心力，即G r2(Mm)＝m T2(4π2)r，得出天体质量M＝GT2(4π2r3). (1)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝V(M)＝πR3(4)＝GT2R3(3πr3) (2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝GT2(3π) 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期，就可求得天体的密度． 3．人造卫星 (1)研究人造卫星的基本方法 万有引力定律及其应用 知识网络: 常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面： （1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222?? ? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=33 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T =30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg.s 2) 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。 （2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力） 表面重力加速度：2002R GM g mg R Mm G =∴=Θ 轨道重力加速度：()()2 2h R GM g mg h R GMm h h +=∴=+Θ 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表 面有mg r GMm =2 …… 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 （3）人造卫星、宇宙速度： 人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星 宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别） 【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h ；“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。 【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ） A 、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B 、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的 D 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的 【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。 【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ） A ．它们的质量可能不同 B ．它们的速度可能不同 C ．它们的向心加速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同 点评：需要特别提出的是：地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。其运行轨道与赤道平面重合。 【例7】地球同步卫星到地心的距离r 可由2223 4πc b a r =求出，已知式中a 的单位是m ，b 万有引力定律知识点 班级： 姓名： 一、三种模型 1、匀速圆周运动模型：无论自然天体还是人造天体都可以看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2、双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3、“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二、两种学说 1、地心说：代表人物是古希腊科学托勒密 2、日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三、两个定律 第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的每一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。 第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。 （表达式 ） 四、基础公式 线速度：v ==== 角速度：== == 向心力：F=m =m(2r=m(2 )2r= m(2)2r=m =m 向心加速度：a= = (2r= (2)2r= (2 )2r== 五、两个基本思路 1．万有引力提供向心力：ma r T m r m r v m r M G ====22 2224m πω 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2m （2g R GM =，黄金代换式） 六、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2=）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r Mm G 22ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度： 1.要使两物体间的万有引力减小到原来的1 ，下列办法不可采用的是（） 4 A.使两物体的质量各减小一半，距离不变 B.使其中一个物体的质量减小到原来的1 ，距离不变 4 C.使两物体间的距离增加为原来的2倍，质量不变 D. 使两物体间的距离和质量都减为原来的1 4 2.关于万有引力定律的适用范围，下列说法正确的是（） A.只适用于天体，不适用于地面物体 B.只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体 C.只适用于质点，不适用于实际物体 D. 适用于自然界中任意两个物体之间 3.（双项）在万有引力定律的公式F=G m·M 中，r是（） r2 A.对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径 B.对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度 C.对两个均匀球体而言，是指两个球心间的距离 D. 对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度 4.火星的半径是地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的1 ，那么地球表面50kg的物体受到地 9 球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的倍. 5.关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（） A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力 B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用F=G m·M 计算 r C.由F=G m·M 知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大 r D.万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10-11N·m2/kg2 6.已知地球的半径为R，质量为M，自转周期为T.一质量为m的物体放在赤道上单海平面上，则物 体受到的万有引力F= ，重力G= . 7.设想把质量为m的物体放在地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引 力是（） D.无法确定 A.零 B.无穷大 C. G m·M R 8.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球2 倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（） A.2F B.4F C. 8F D.16F 9.加入地球的自转速度增大，关于物体的重力，下列说法正确的是（） A.放在赤道地面上物体的万有引力不变 B.放在两极地面上物体的重力不变 C.放在赤道地面上物体的重力减小 D.放在两极地面上物体的重力增大 10.火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力 加速度约为（） A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g 11.在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面重力加速度的（） A.2倍 B.1倍 C.1/2 D.1/4 12.质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处的高度.（已 第6课万有引力与航天 考纲展示命题探究 考点一万有引力定律及其应用 基础点 知识点1开普勒三定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律：对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 知识点2 万有引力定律 1．内容 (1)自然界中任何两个物体都相互吸引。 (2)引力的方向在它们的连线上。 (3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2．表达式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭 秤实验测定。 3．适用条件 (1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r 为两物体间的距离。 (2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心的距离。 知识点3 万有引力定律的应用 1．计算天体的质量 (1)地球质量的计算 ①依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R 2。 ②结论：M ＝gR 2 G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量。 (2)太阳质量的计算 ①依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝4π2mr T 2。 ②结论：M ＝4π2r 3 GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质 量。 (3)其他行星的质量计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r 3 GT 2。 2．发现未知天体 海王星、 冥王星的发现都是天文学家根据观测资料，利用万有引力定律计算出的，人们称其为“笔尖下发现的行星”。 重难点 一、开普勒行星运动定律 特别提醒 (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于其他天体的运动。对于不同的中心天体，比例式a 3 T 2＝k 中的k 值是不同的。 万有引力定律及其应用 高三物理 张翠云 4月18日 知识网络: 教学目标： 1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念 3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能 教学重点：万有引力定律的应用 教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程： 一、万有引力定律：（1687年） 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211 /10 67.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识： （1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心 力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r T m 224πr m 2 ω=；二是地球对物体的 万有引力近似等于物体的重力，即G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2 g 。 （2）圆周运动的有关公式：ω＝T π 2，v=ωr 。 讨论： ①由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 ②由r m r Mm G 2 2 ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 ③由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π可得：GM r T 3 2π= r 越大，T 越大。 ④由向ma r Mm G =2 可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。 点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面： （1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 2 22??? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T = 30 1 s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?10 11 -m 3/kg.s 2 ) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 2 2 ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得2 3GT πρ= ，代入数据解得：3 14/1027.1m kg ?=ρ。 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分 第六章 曲线运动 1．运动的合成与分解：运动的合成与分解是指 l 、v 、 a 的合成与分解。由于位移、速度、加速度都是矢量，合成时均遵循平行四边形定则。 2．平抛运动及其规律： （1）平抛运动：物体以一定速度水平抛出，只受重力作用的运动（a =g ，方向竖直向下） （2）处理方法：运动的合成与分解 平抛运动可看成是由水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成 （3）规律：分位移 x ＝v 0t y=h ＝ 2 2 1gt （落地时间仅由抛出点高度决定） 分速度 v x ＝v 0 v y =gt 某一时刻瞬时速度（合速度）大小：2 2y x v v v += 此刻瞬时速度的方向：t v g v v y 0tan ==θ 物体位移（合位移）大小：l ＝22y x +，方向：x y =αtan 3．圆周运动： （1）线速度：T r t l v π2= ??= ；角速度：T t πθω2=??=（单位：弧度每秒rad/s ） （2）线速度与角速度、半径r 的关系：v=r ω （3）转速（n ）与周期的关系：n T 1 = （1秒转多少圈叫转速，转1圈的时间叫周期） （4）向心加速度：222 24T r r r v a n πω===，方向始终指向圆心，不断变化 （5）向心力：222 24T mr mr r v m F n πω===，方向始终值向圆心，不断变化 注意：向心力是指向圆心的合力．． ，按效果命名的，不能说物体除受到其它力外又受到一个向心力。如图所示，汽车、小球在最高（低）点的向心力就是重力和支持力（重力和拉力、B 点：重力和轨道对球的压力）的合力。 支持力与压力是作用力和反作用力，大小相等。 A B v v 1 v 2 θ )α ) O R M m 60o L m v 0 A B R 第二讲 万有引力定律及其应用 1、万有引力和重力 1、行星绕轴自转的周期为6h ，用弹簧秤称某物体，在赤道上示数恰为在两极处示数的90%，假设该行星是标准的均匀球体，求其密度。（G=6.67×1011N ·m 2/kg 2） 2、英国《新科学家（New Scientist ）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约45km ，质量M 和半径R 的关系满足 2 2M c R G =（其中c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为 （ ） A ．8 2 10m/s B ．10 2 10m/s C ．12 2 10m/s D ．14 2 10m/s 2、定轨问题 3、地球同步卫星离地心距离r ，运行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，圆周运动速率为v2；地球近地卫星运行速率v3，加速度a3；地球半径为R ，则 A ．a1/a2=r/R B ．a1/a ３=R2/r2 C ．v1/v2=R2/r2 D ．v1/v ３= R r 4、宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球处置周期为T 。太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则 A. 飞船绕地球运动的线速度为 22sin()R T απ B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T 0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为0/(2) aT π D. 飞船周期为T= 222sin()sin() R R GM ααπ 5、经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存 在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为 A ． 03 0002()2t R R t T =- B ．T t t R R -=00 C ． 3 2 000 0) (T t t R R -= D ．3002 00T t t R R -= 6、如图所示是月亮女神、嫦娥1号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用1R 、2R 、1T 、2T 分别表示月亮女神和嫦娥1号的轨道半径及周期，用R 表示月亮的半径。 （1）请用万有引力知识证明：它们遵循33 12 2312 R R K T T ==,其中K 是只与月球质量有关而与卫 星无关的常量； （2）在经多少时间两卫星第一次相距最远； （3）请用嫦娥1号所给的已知量，估测月球的平均密度。 7、(2013四川卷)．迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1- 58lc ”却很值得我们期待。该行星的温度在O o C 到40o C 之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则 A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同 B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的322 倍 C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 365 13 倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短 8、近年来，我国已陆续发射了七颗“神舟”号系列飞船，当飞船在离地面几百千米的圆形轨道上运行时，需要进行多次轨道维持，轨道维持就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力，使飞船能保持在同一轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，飞船的轨道高度就会逐渐降低，则以下说法中不正确的是 A ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的周期将逐渐变短 B ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的线速度逐渐减小 C ．当飞船离地面的高度降低到原来的 1 2 时，其向心加速度将会变为原来的4倍 D ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的角速度逐渐增大 9、某球形天体的密度为ρ0，引力常量为G ． （1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．（球的体积公式为34 3 V R π= ，其中R 为球半径） 高中物理万有引力定律公式 1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R：轨道半径，T：周期，K：常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2(G=6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上) 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2{R：天体半 径(m)，M：天体质量(kg)｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期： V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝ 注： (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周 期相同; (4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周 期变小(一同三反); (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 (1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引 力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 (2)适用条件： ①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用; ②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离; ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离; ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。 (3)注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成 正比，与两物体间的距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质 量成正比，与距离成反比。 (4)对万有引力定律的理解： ②万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 ③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才 有宏观物理意义。 ④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周 围有无其他物体的存在无关。 万有引力与航天知识点复习 ☆知识梳理 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成 ，与它们之间的距离r 的 成反比． 2．公式：221r m m G F =，其中G ＝ N·m 2/kg 2叫引力常量． 3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，但此时r 是 间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到 间的距离． ☆要点深化 1．万有引力和重力的关系 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ， 另一个是物体随地球自转需要的向心力F 向，如图4－4－1所示，可知： (1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大．故重力加速度g 从赤道 到两极逐渐增加． (2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大． (3)在赤道：F 万＝F 向＋mg 故22ωmR r Mm G mg -= (4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为： mg R Mm G =2，故GM ＝gR 2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”． (5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为h 处的重力加速度为： g h R R g 2/)(+= 其中R 为地球半径，g 为地球表面的重力加速度． 2．万有引力定律的基本应用 (1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由 提供． (2)“万能”连等式 ?????????===ω πωmv T mr mr r v m ma mg r Mm G r 2 22 2)2( 其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度． 高中物理复习---万有引力定律与航天 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2 成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=万有引力定律应用的12种典型案例
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