2012年高考理科数学山东卷(含答案解析)

绝密★启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：

锥体的体积公式：1

3

V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.

如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1. 若复数z 满足(2i)117i z -=+（i 为虚数单位），则z 为

（ ）

A. 35i +

B. 35i -

C. 35i -+

D. 35i --

2. 已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()

U A B e为 （ ）

A. {1,2,4}

B. {2,3,4}

C. {0,2,4}

D. {0,2,3,4}

3. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的

（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为

（ ）

A. 7

B. 9

C. 10

D. 15 5. 已知变量x ，y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +??

+??--?≥≤≥则目标函数3z x y =-的取值范围是 （ ）

A. 3

[,6]2

- B. 3[,1]2

--

C. [1,6]-

D. 3

[6,]2

-

6. 执行下面的程序图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为

（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7. 若ππ

[,]42

θ∈

，sin 2θ=sin θ= （ ）

A.

35

B. 4

5

C.

D.

3

4

8. 定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x --≤＜时，2()(2)f x x =-+；当

13x -≤＜时，()f x x =.则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++???=

（ ）

A. 335

B. 338

C. 1 678

D. 2 012 9. 函数cos622x x

x

y -=

-的图象大致为

（ ）

A

B

C

D

10. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

.双曲线221x y -=的渐近线与椭

圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （ ）

A. 2

2

182x y +

= B. 22

1126x y +

= C. 22

1164

x y +

=

D. 22

1205

x y +

= 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要

求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为

（ ）

A. 232

B. 252

C. 472

D. 484

12. 设函数1

()f x x

=

，2()(,,0)g x ax bx a b a =+∈≠R ，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是

（ ）

A. 当0a <时，120x x +<，120y y +>

B. 当0a <时，120x x +>，120y y +<

C. 当0a >时，120x x +<，120y y +<

D. 当0a >时，120x x +>，120y y +>

姓名________________ 准考证号_____________

--------在

--------------------此

--------------------卷

--------------------

上

--------------------答

--------------------题

--------------------无

--------------------

效--------

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13. 若不等式|4|2kx -≤的解集为{|13}x x ≤≤，则实数k =_________.

14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，则

三棱锥1D EDF -的体积为_________.

15. 设0a >.

若曲线y =与直线x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a =

_________.

16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点

P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）

已知向量(sin ,1)x =m

，cos ,cos2)(0)3

A

x x A =>n ，函数()f x =?m n 的最大值为

6.

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短

为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5π

[0,]24

上的值域.

18.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值.

19.（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4

，命中得1分，没有命中

得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3

，每命中一次得2分，没有命中得0

分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .

20.（本小题满分12分）

在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）对任意*

m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列

{}m b 的前m 项和m S .

21.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为

34

. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M

，直线1

:4

l y kx =+

与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当122

k ≤≤时，22|AB||DE|+的最小值.

22.（本小题满分13分） 已知函数ln ()e x

x k

f x +=

（k 为常数，e 2.71828=???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意0x >，

2()1e g x -<+.

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】A

【解析】117i (117i)(2i)227(1411)i

35i 2i 55

z +++-++=

===+-，答案选A ． 另解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则(i)(2i)2(2)i 117i a b a b b a +-=++-=+，根据复数相等可知

211,27a b b a +=-=，解得3,5a b ==．

【提示】等式两边同乘2i +，然后化简求出z 即可． 【考点】复数的四则运算． 2.【答案】C

【解析】由题意可知，{0,4}U A =e，故而{0,2,4}U A B =e，故而选择答案C ． 【提示】由题意求出A 的补集，然后求出U A B e．

【考点】集合间的关系，集合的基本运算． 3.【答案】A

【解析】由题意可知，()f x 在R 上单调递减，故而01a <<,所以20a ->,故()g x 在R 上单调递增，反之，由于()g x 在R 上单调递增，可知20a ->?2,

a <0,02a a ><<又可知，，

当1a =时，()1f x =，函数()f x 并不单调递减，故而“函数3

()f x a =在R 上是减函数”，

是“函数()(2)x g a =-在R 上是增函数”的充分不必要条件，答案选A ． 【提示】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【考点】充分，必要条件． 4.【答案】C

【解析】采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即30l =，

第k 组的号码为451(1)309750k ≤-?+≤，令451(1)309750k ≤-?

+≤，而k ∈Z ，解得

1625k ≤≤，则满足1625k ≤≤的整数k 有10个，故答案应选C ．

【提示】构造不等式，直接解出即可． 【考点】系统抽样． 5.【答案】A

【解析】由所给的不等式组可知所表示的可行域如图所示，

而目标函数可以看作3y x z =-，截距最小时z 值最大，当截距最大时z 值最小，

根据条件242

220x y x x y y +==?????+==??

，故当目目标函数过(2,0)时，取到z 的最大，max 6z =，

由1412243x y x x y y ?

-=-=????

?+=??=?，当目标函数经过1,32??

???时，z 取到最小值，min 32z =-，故而答案为A ．

【提示】做出不等式组表示的平面区域，做出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求z 的最大值与最小值，进而可求z 的范围． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 6.【答案】B

【解析】0

0,041,213n p q ==+==+=；

11,145,617n p q ==+==+=，

22,5421,14115,3,n p q n p q ==+==+==>，答案应选B ．

【提示】通过循环求出p ，q 的值，当p q >时结束循环，输出结果即可． 【考点】循环型程序框图． 7.【答案】D

【解析】由ππ,42θ??∈????可得π2,π2θ??

∈????

，1cos28θ==-

，

3

sin 4θ=

=，答案应选D ． 另解：由ππ,42θ??∈????

及sin 2θ可得

3sin cos 4

θθ+===+，

而当ππ,42θ??∈????时sin cos θθ>

，结合选项即可得3sin ,cos 4θθ==．答案应选D ．

【提示】结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．

【考点】二倍角．

8.【答案】B

【解析】根据条件(6)()f x f x +=可知函数是周期为6的周期函数，当31x ≤<-时，

2(2())x f x -+=，

当13x ≤<时()f x x =可知(1)1,(2)2,f f ==

22(3)(3)(32)1,(4)(2)(22)0,f f f f =-=--+=-=-=--+=

(5)(1)1,(6)(0)0f f f f =-=-==，故而(1)+(2)(3)(4)(5)6=f f f f f f ++++（）1，

故而(1)(2)(3)(20123351)(1)(2)338f f f f f f +++?+=?++=故选B ．

【提示】由(6)()f x f x +=可知()f x 是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得

(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f ，，，，，的值，再利用周期性即可得答案．

【考点】函数的周期性． 9.【答案】D 【解析】函数cos6()22x x x f x -=

-，

cos6()()22x x

x

f x f x --==--为奇函数， 当0x →，且0x >时()f x →+∞；当0x →，且0x <时()f x →-∞；

当x →+∞，22x x --→+∞，()0f x →；当x →-∞，22x x --→-∞，()0f x →，答案应选D ．

【提示】由于函数cos6()22

x x

x

f x -=

-为奇函数，其图像关于原点对称，可排除A

，利用极限

思想（如0x →，x →+∞）可排除B ，C ，从而得到答案D ． 【考点】三角函数的图像． 10.【答案】D

【解析】双曲线x2-y2

＝1的渐近线方程为y x =±， 代入可得222

222

,416a b x S x a b

===+，则2222

4()a b a b =+，

又由e =可得2a b =，则42

5b b =，于是225,20b a ==．椭圆方程为221205x y +=，答案

应选D ．

【提示】根据椭圆的离心率及与已知抛物线形成的位置关系，直接求解即可． 【考点】椭圆的简单几何性质． 11.【答案】C

【解析】由题意可知，抽取的三张卡可以分为两类，一类为不含红色的卡，一类是含一张红色的卡片，

第一类的抽取法的种数为33124C 3C 208-=，第二类抽取法的种数为12

412C C 264=，故而总

的种数为208264472+=

【提示】分两类分别计算，最后加和可得结论． 【考点】排列组合． 12.【答案】B 【解析】令

21

ax bx x

=+，则321(0)ax bx x =+≠， 设32()F x ax bx =+，2()32.F x ax bx '=+令2

()320F x ax bx '=+=，则23b x a

=-

， 要使()y f x =的图像与()y g x =图像有且仅有两个不同的公共点只需

32

2221333b b b F a b a a a -??????=-+-= ? ? ???????

，整理得32

427b a =，于是可取2,3a b =±=来研究， 当2,3a b ==时，32231x x +=，解得121

1,2

x x =-=，此时121,2y y =-=，此时

12120,0x x y y +<+>；当2,3a b =-=时，32231x x -+=，解得121

1,2x x ==-，此时

121,2y y ==-，此时12120,0x x y y +>+<．

答另解：令()()f x g x =可得

21

ax b x

=+． 设21

y y ax b x

'''==+，

不妨设12x x <，结合图形可知，

当0a >时如右图，

此时12x x >，即120,x x ->>此时122121

11

0,x x y y x x +<=

>-=-，即120y y +>；同理可由图形经过推理可得当0a <时12120,0x x y y +>+<．答案应选B ．

【提示】画出函数的图像，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论． 【考点】函数图像的应用．

第Ⅱ卷

二、填空题 13.【答案】2

【解析】4224226kx kx kx -≤?-≤-≤?≤≤，

根据解集为{13}x x ≤≤，故而0k >，这是

26x k k ≤≤故而26

13k k

==且得2k = 另解：由题意可知1,3x x ==是42kx -=的两根，则42

,342

k k ?-=??

-=??解得2k =． 【提示】根据不等式化简求出k 与x 的关系，再解出k ． 【考点】绝对值不等式．

14.【答案】1

6

【解析】由题意可知，11111111113326

D EDF F D ED D ED V V DC S --==??=????=

△ 【提示】将三棱锥1D EDF -选择1D E D △为底面，F 为顶点，进行等体积转化

11D EDF F D ED V V --=后体积易求．

【考点】立体几何空间几何体的体积．

15.【答案】

94

【解析】3

32

20

2293

34

a S x a a a ====?=?

． 【提示】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a 的值． 【考点】微积分的应用．

16.【答案】(2sin 2,1cos2)--

【解析】根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了

2

21

=弧度， 此时点P 的坐标为π2c o s 22

s i n 2,2P x ?

?=--=- ???π1s i n 21c o s 2,

2P y ?

?=+-=-

???

(2s i n 2,1OP =-

-

另解：根据题意可知滚动自圆心为(2,1)时的圆的参数方程为2cos ,1sin x y θ

θ=+??

=+?

且3π

2,22PCD θ∠==

-， 则点P 的坐标为3π2cos 22sin 223π1sin

21cos 22x y ???=+-=- ?????

????=+-=- ?????

，即(2sin 2,1cos2)OP =--．

【提示】根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2

21=弧度，确定点P 的坐标，

再用向量公式解出． 【考点】弧度制． 三、解答题

17.【答案】（Ⅰ）6A = （Ⅱ）[3,6]- 【

解

析

】

（

Ⅰ

）

π()3cos sin cos2sin 2cos2sin 2226A A f x m n A x x x A x x A x ??==+

=+=+ ??

?，则6A =． （Ⅱ）函数()y f x =的图像向左平移

π

12个单位得到函数ππ6sin 2126y x ??

??=++

???????

的图像，再将所得图像各点的横坐标缩短为原来的

12，纵坐标不变，得到函数π()6sin 43g x x ?

?=+ ??

?．

当5π0,24x ??∈????时，ππ7ππ14,sin 4,1()[3,6]33632x x g x ???

???+∈+∈-∈- ????????

???，，．

故函数()g x 在5π0,24??

????

上的值域为[3,6]-．

另解：由π()6sin 43g x x ??=+ ???可得π()24cos 43g x x ?

?'=+ ???，

令()0g x '=，则ππ

4π()32

x k k +=+∈Z ，

而5π0,24x ??

∈????，则π24x =，于

是

πππ5π7π(0)6s i n 3

3,6s i n 6,6s i n

33242246

g g g ????

======

- ? ?????

， 故3()6g x -≤≤，即函数()g x 在5π0,24??

????

上的值域为[3,6]-．

【提示】（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A ．

（Ⅱ）通过将函数()y f x =的图像向左平移π

12

个单位，再将所得图像各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像．求出()g x 的表达式，通过5π0,24x ??

∈??

??

求出函数的值域．

【考点】向量的坐标运算，函数sin()y A x ω?=+的图像及变换．

18.【答案】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=，CB CD =，由余弦定理可知

22222cos(180)3BD CD CB CD CB DAB CD =+--∠=

，即BD =，

在ABD △中，60DAB ∠=

，BD ，则ABD △为直角三角形，且AD DB ⊥．

又AE BD ⊥，AD ?平面AED ，AE ?平面AED ，且A D A E A =，故BD ⊥平面AED ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC CB ⊥，设1CB =

，则CA BD =

坐标系，1(0,0,1),(0,1,0),,02F B D ?

-????

，向量(0,0,1)n =为平面BDC 的一个法向量．

设向量(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量，则0

,0

m BD m FB ?=??

=?? 取1y =

，则1x z ==，则(3,1,1)m =为平面BDF 的一个法向量．

cos ,5

m n m n m n

??=

=

=

，而二面角F BD C --的平面角为锐角，

则二面角F BD C --．

【提示】（Ⅰ）由题意及图可得，先由条件证得AD BD ⊥及AE BD ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直，

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，确定法向量(0,0,1)n =和(3,1,1)m =即可求出答案．

【考点】立体几何线面垂直及二面角．

19.【答案】（Ⅰ）2

12

311127

C 4343336

P ??=+= ???， （Ⅱ）0,1,2,3,4,5X =

2

2

12

1113111121

(0).(1),(2)C ,433643124339

P X P X P X ????========= ? ????? 22

123121121321

(3)C (4),(5),

4333439433

P X P X P X ????========= ? ?????，

01234533612939312

EX =?+?+?+?+?+?=．

【提示】（Ⅰ）“该射手恰好命中一次”概率为3

4

，根据事件的独立性和互斥性可求出所求．

（Ⅱ）根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可． 【考点】简单的随机抽样，用样本数字特征估计总体数字特征．

20.【答案】（Ⅰ）98n a n =-

（Ⅱ）21919808

m m

m S ++=-

【解析】（Ⅰ）由34584a a a ++=，9a =73可得44384,28,a a == 而973a =，则94545,9d a a d =-==，14328271,a a d =-=-=于是

1(1)998,n a n n =+-?=-即98n a n =-．

（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，则298998m m n +<<+，即12188

9999

m m n --+

<<+， 而*n ∈N ，由题意可知21

19

9m m m b --=-， 于是132101112999

(999)m m m m S b b b --=++???+=++???+-++???+ 212121212

9919999191091919191980880808m m m m m m m m

++++-----++=-=-==---，即

21919

808

m m m S ++=-

． 【提示】（Ⅰ）由已知及等差数列的性质可求4a ，可求公差d ，进而可求1a ，进而可求通项

（Ⅱ）由298998m m n +<<+可得12188

9999

m m n --+<<+，从而可得21199m m m b --=-，由等比数列的求和公式可求

【考点】等差数列的通项及数列的前n 项和．

21.【答案】（Ⅰ）设抛物线C ：2

2(0)x py p =>的焦点F 0,2p ?? ???

，

设0M 0,(0)2p x ??> ???，(,)Q a b ，由题意可知4p b =，则点Q 到抛物线C 的1,,4Q a ??

???

准线的

距离为33

24244

p p p b p +

=+==，解得1p =，于是抛物线C 的方程为22x y =． （Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，

而0010,(0,0),22x F O M x ????

? ????

?，，，MQ OQ QF ==，

2

222

0011()2416x x a a ??-+-=+ ???

，3

00388x a x =-，

由22x y =可得y x '=，2

00300142388x k x x x -

==-，则422000

13118842x x x -=-，即420020x x +-=， 解得01x =，点M 的坐标为11,2??

???

．

（Ⅲ）若点M

，则点

M ，11,2Q ?

?- ??

?．

由2214x y y kx ?=??=+

??

可得21202x kx --=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，2

22221212(1)[()4](1)(42)AB k x x x x k k =++-=++

圆2

2

1213

:82641632Q x y ???++-=+= ? ?

???

，28k D -==

222

2233243232(1)8(1)k k DE k k ??+=-=??++??

，于是22222

232(1)(42)8(1)k AB DE k k k ++=++++， 令2

51,54k t ??+=∈????

222222

2322111(1)(42)(42)428(1)884

k t AB DE k k t t t t k t t +++=+++=-+=-+++，

设211()4284g t t t t =-++，21()828g t t t '=--，当5,54t ??

∈????

时，21()8208g t t t '=-->，即当51,42

t k ==时min 255111

()424

516441084

g t =?-?++=?．

故当12

k =时，22

min 1()410AB DE +=．

【提示】（Ⅰ）通过0,2p F ??

???

，圆心Q 在线段OF 平分线上，推出1p =，推出C 抛物线的

方程．

（Ⅱ）假设存在点2

00,2x M x ?? ???

，0(0)x >满足条件，抛物线C 在点M 处的切线的斜率为函

数的导数，求出Q 的坐标，利用MQ OQ QF ==，求出M ，

使得直线MQ 与抛物线C 相切与点M ．

（Ⅲ）

当0x =时，求出2

2

1213:2641632Q x y ???++-=+= ? ????

，求出22

2114284AB DE t t t +=-++再构建函数211()4284

g t t t t =-++，判断最值即可．

【考点】抛物线的简单几何性质，圆锥曲线中的探索性问题．

22.【答案】（Ⅰ）由ln ()e x x k f x +=可得1

ln ()e x x k x f x --'=，而(1)0f '=，即10e

k -=，解得1k =；

（Ⅱ）11ln ()e x

x

x f x --'=

，令()0f x '=可得1x =，当()0,1x ∈时，1

()1ln 0f x x x

'=-->；当(1,)x ∈+∞时，1

()1ln 0f x x x

'=--<．

于是()f x 在区间(0,1)内为增函数；在(1,)+∞内为减函数．

（Ⅲ）证明：∵2

()()()g x x x f x =+'，

∴1

(1)e

x x g

x x xlnx +=--（），(0,)x ∈+∞， ∴2

2e 0()1e 1ln (1e )1x x g x x x x x ?><+?--<++﹣﹣，，

由（Ⅱ）()1ln (0,)h x x x x x =--∈+∞，，

∴-2

()(ln lne )h x x '=--，(0,)x ∈+∞， ∴2

)(0e x ∈﹣，时，()0()h x h x '>，递增，

2,(e )x -∈+∞时，()0()h x h x <，递减，

∴22

()(e )1e max h x h -==+﹣，

∴21ln 1e x x x ---≤+，

设(()e 1)x

m x x -=+， ∴0

()e 1e e x x m x -=-'=，

∴(0,)x ∈+∞时，()0()m x m x '>，递增，

∴()(0)0m x m >=，∴(0)x ∈∞,+时()0m x >，，即e

11

x

x >+，

∴221ln 1e 1(1e e

)x x x x x <+--≤++﹣﹣，

∴2

0()1e x g x ?><+﹣，

【提示】（Ⅰ）先求出1

ln ()e x

x

k x

f x --'=

，再得(1)0f '=，从而求出1k =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：1

ln ()e

x x

k x

f x --'=，令()0f x '=可得1x =，从而得()f x 在区间(0,1)内为增函数；在(1,)+∞内为减函数．

（Ⅲ）因1(1ln )e x x g x x x x +=--（），又2

e 1ln (1e 1

)x x x x x --<++﹣，设()e (1)x m x x =-+，

得到()(0)0m x m >=，进而2

21ln 1e 1(1e e )x x x x x

<+--≤++﹣﹣，问题得以证明．

【考点】导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题．