2014年河南省中考数学试卷及答案

2014年河南省普通高中招生考试

数学

(满分120分,考试时间100分钟)

一、选择题(每小题3分,共24分)

1.下列各数中,最小的数是()

A.0

B.1

3C.-1

3

D.-3

2.据统计,2013年河南省旅游业总收入达到约3 875.5亿元.若将3 875.5亿用科学记数法表示为

3.875 5×10n,则n等于()

A.10

B.11

C.12

D.13

3.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠AOM=35°,则∠CON的度数为()

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

4.下列各式计算正确的是()

A.a+2a=3a2

B.(-a3)2=a6

C.a3·a2=a6

D.(a+b)2=a2+b2

5.下列说法中,正确的是()

A.“打开电视,正在播放河南新闻节目”是必然事件

B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖

C.神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样检查

D.了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查

6.将两个长方体如图放置,则所构成的几何体的左视图可能是()

A B C D

7.如图,?ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是()

A.8

B.9

C.10

D.11

8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A.设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是()

A B C D 二、填空题(每小题3分,共21分) 9.计算:√273

-|-2|= .

10.不等式组{3x +6≥0,

4?2x >0

的所有整数解的和为 .

11.如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点B,C 为圆心,以大于1

2

BC 的长为半径作弧,两弧相交于M,N 两点;②作直线MN 交AB 于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB 的度数为 .

12.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴交于A,B 两点,若点A 的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴为直线

x=2,则线段AB 的长为 .

13.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和 2个白球.两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回,则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 .

14.如图,在菱形ABCD 中,AB=1, ∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D',其中点C 的运动路径为CC'

?,则图中阴影部分的面积为 .

15.如图,在矩形ABCD 中,AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点,把△ADE 沿AE 折叠,当点D 的对应点D'落在∠ABC 的平分线上时,DE 的长为 .

三、解答题(本大题共8个小题,满分75分) 16.(8分)先化简,再求值:

x 2-1x 2-x ÷(2+x 2+1

x

),其中x=√2-1.

17.(9分)如图,CD是☉O的直径,且CD=2 cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作☉O的切线PA,PB,切点分别为点A,B.

(1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;

(2)填空:

①当DP=cm时,四边形AOBD是菱形;

②当DP=cm时,四边形AOBP是正方形.

18.(9分)某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼的情况,随机抽取本校300名男生进行了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

请根据以上信息解答下列问题:

(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中,“经常参加”所对应的圆心角的度数为;

(2)请补全条形统计图;

(3)该校共有1 200名男生,请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数;

(4)小明认为“全校所有男生中,课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1 200×27

=108(人).”请你判断这种说法

300

是否正确,并说明理由.

19.(9分)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin 68°≈0.9,cos 68°≈0.4,tan 68°≈2.5,√3≈1.7)

20.(9分)如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A,B的坐标分别为(5,0),(2,6),点D为AB上一点,且BD=2AD.

(x>0)经过点D,交BC于点E.

双曲线y=k

x

(1)求双曲线的解析式;

(2)求四边形ODBE的面积.

21.(10分)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;

(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式;

②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?

(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0

22.(10分)(1)问题发现

如图(1),△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.

填空:

①∠AEB的度数为;

②线段AD,BE之间的数量关系为.

(2)拓展探究

如图(2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.

(3)解决问题

如图(3),在正方形ABCD中,CD=√2.若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出

．．．．点A到BP的距离.

图(1)图(2)

图(3)

23.(11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-3

x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是

4

x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若PE=5EF,求m的值;

(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E'落在y轴上?若存在,请直接写出

．．．．相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2014年河南省普通高中招生考试

1.D 【解析】-3<-1

3<0<1

3

,故选D.

2.B 【解析】 3 875.5亿=3 875.5×108=

3.875 5×103×108=3.875 5×1011,∴n=11,故选B.

3.C 【解析】∵射线OM平分∠AOC,∴∠AOM=∠MOC.∵∠AOM=35°,∴∠MOC=35°.∵ON⊥OM,∴∠MON=90°.∴∠CON=90°-35°=55°.

4.B 【解析】a+2a=(1+2)a=3a,故A不正确; (-a3)2=(-1)2×(a3)2=1×a2×3=a6,故B正确;a3·a2=a3+2=a5,故C不正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故D不正确.

5.D 【解析】打开电视,正在播放河南新闻节目可能发生,也可能不发生,故A是随机事件;某种彩票中奖概率为10%,但买十张不一定中奖,故B是不正确的;为了保证神舟飞船发射成功,发射前需要对零部件进行全面检查,故C是不正确的;由于检查节能灯的使用寿命具有破坏性,因此不适合全面检查,应采用抽样调查,故D是正确的.

6.C 【解析】上面长方体的左视图是两个长方形,由于中间的棱能看见,故这条棱应画为实线;下面长方体的左视图是一个长方形,且上下两个长方体的左视图宽度相等.

7.C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=1

2AC,BD=2BO. ∵AC=6,∴AO=1

2

×6=3.∵AB⊥AC,∴∠BAO=90°.在Rt

△ABO中,AO=3,AB=4,根据勾股定理,得BO=√32+42=√9+16=√25=5,∴BD=2×5=10.

8.A 【解析】当点P在AC上运动时,y=AP=x(0≤x≤1),图象为一条线段;当点P在CB上运动

时,y=√AC2+PC2=√12+(x?1)2=√x2-2x+2(1

方法点拨解决动点函数图象问题时,有时候没有必要求出精确的函数解析式.一般通过自变量的取值范围以及所对应函数的性质来解决.在本题中,点P分别在AC,BC和AB上运动,那么函数图象应分三段.当点P在BC上时,y与x之间显然不是一次函数关系.

技法23 动点问题中函数图象的识别方法

以几何图形中动点为背景,判断函数图象正误的题目,可通过如下两种方法解答.

1.先根据题中条件找出因变量与时间(或线段长)之间的函数关系,用含未知数的式子表示其函数关系式,再根据函数的性质判断函数图象,要注意是否需要根据自变量的取值范围分类讨论.

2.不需要列函数关系式,直接根据几何量的变化趋势判断函数图象:根据题目中动点的运动轨迹,先确定转折点,然后根据转折点前后区间内几何量的变化情况进行判断.

9.1 【解析】√27

3-|-2|=3-2=1.

10.-2 【解析】解不等式3x+6≥0,得x≥-2;解不等式4-2x>0,得x<2,∴不等式组的解集为-2≤x<2,∴不等式组的所有整数解为-2,-1,0,1,所有整数解的和为-2-1+0+1=-2.

11.105°【解析】由题意可知MN是线段BC的垂直平分线,∴CD=BD.∴∠DCB=∠B=25°.∵∠ADC是△BCD的一个外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=25°+25°=50°.∵CD=AC,∴∠CAD=∠ADC=50°,∴∠ACD=180°-50°-50°=80°,∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°.

12.8 【解析】设点B的坐标为(x,0).根据抛物线的对称性可知点A,点B关于直线x=2对称,∴x-2=2-(-2),解得x=6.∴点B的坐标为(6,0),∴线段AB的长为6-(-2)=8.

13. 1

3

【解析】列表表示所有可能的结果如下:

第一个人

第二个人

红1红2白1白2

红1(红1,红2)(红1,白1)(红1,白2)

红2(红2,红1)(红2,白1)(红2,白2)

白1(白1,红1)(白1,红2)(白1,白2)

白2(白2,红1)(白2,红2)(白2,白1)

由表格可知,共有12种等可能的结果,其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的结果有:(红1,白1),(红1,白

2),(红2,白1),(红2,白2),共4种,∴P(第一个人摸到红球且第二个人摸到白球)=4

12=1

3 .

14.π

4-√3+3

2

【解析】如图,连接AC,AC'.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AD∥BC.∵∠BAD=60°,∴∠ADC=180°-60°

=120°,∠DAC=∠BAC=1

2

×60°=30°,∴∠ACB=30°.由题可知∠DAD'=30°,∴∠DAC=∠DAD',∴点D'在线段AC上.同理

点B在线段AC'上.连接BD,交AC于点O,则AC⊥BD,AO=CO,∴∠AOB=90°.在Rt△AOB中,AO=AB·cos∠OAB=√3

2

,∴AC=√3,∴CD'=AC-AD'=√3-1.设BC与D'C'交于点E.∵∠AD'C'=∠ADC=120°,∠ACB=30°,∴∠D'EC=90°.在Rt△D'CE

中,D'E=CD'·sin∠ACB=1

2(√3-1),CE=CD'·cos∠ACB=√3

2

(√3-1),∴S△CED'=1

2

·CE·D'E=√3

8

(√3-1)2=√3

2

-3

4

.同理可求得S△C'EB=√3

2

-3

4

.

∵S扇形CAC'=30π×(√3)2

360=π

4

,∴S阴影=S扇形CAC'- S△CED'- S△C'EB=π

4

-2(√3

2

-3

4

)=π

4

-√3+3

2

.

技巧点拨 本题中的阴影部分是不规则几何图形,若直接求其面积,则难于解决.若将其转化为扇形与两个直角三角形的面积之差,则问题迎刃而解.

15.52或53 【解析】 如图,过点D'作D'F ⊥AB 于点F.设BF=x.∵AB=7,∴AF=7-x.当点D 的对应点D'恰落在∠ABC 的平分线上时,∠FBD'=45°,∴D'F=BF=x.由折叠的性质知AD'=AD=5.在Rt △AD'F 中,由勾股定理,得AF 2

+D'F 2

=AD'2

,即(7-x)2

+x 2

=52

,解得x 1=3,x 2=4.延长FD'交DC 于点G,则D'G ⊥DC,∴CG=BF.∵∠AD'E=∠D=90°,∴∠ED'G+∠AD'F=90°.

又∵∠D'AF+∠AD'F=90°,∴∠ED'G=∠D'AF.又∵∠AFD'=∠EGD',∴△AD'F ∽△D'EG,∴EG D'F =D'G AF .当BF=3

时,D'F=3,AF=7-3=4,∴EG 3=5?34,解得EG=32.∴DE=DC-CG-EG=7-3-32=52;当BF=4时,D'F=4,AF=7-4=3,∴EG 4=5?43,解得EG=43,∴DE=DC-CG-EG=7-4-43=53.综上可知,DE 的长为52或53

.

16.【参考答案及评分标准】 原式=(x+1)(x -1)x(x -1)÷2x+x 2

+1x (4分) =x+1x ·x (x+1)2 =1x+1.(6分)

当x=√2-1时,原式=√2-1+1=√2=√22

.(8分) 17.【参考答案及评分标准】 (1)证明:连接OA.∵PA 为☉O 的切线, ∴OA ⊥PA.(1分)

在Rt △AOP 中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°, ∴∠ACP=12∠AOP=12×60°=30°,(4分) ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP,

∴△ACP 是等腰三角形.(5分) (2)①1(7分) ②(√2-1)(9分)

解法提示:①当四边形AOBD 是菱形时,AO=AD, 又∵AO=OD,

∴△AOD 是等边三角形, ∴∠AOD=60°, ∴OP=2OA=2 cm,

∴DP=1 cm.

②易证△AOP≌△BOP,OA⊥AP,

∴∠AOP=∠BOP.

当四边形AOBP是正方形时,∠AOB=90°,

∴∠AOP=45°,

∴OP=√2OA=√2 cm,

∴DP=(√2-1)cm.

18.【参考答案及评分标准】(1)144°(2分)

(2)经常参加课外体育锻炼的男生有300×(1-15%-45%)=120(人).

条形统计图中篮球项目所对应的人数为120-27-33-20=40(人).

补全条形统计图如下:

(4分) (3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为1 200×40

300

=160(人).(7分)

(4)这种说法不正确.理由如下:

小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数,而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的,因此应多于108人.(9分)

(注:只要解释合理即可)

19.【参考答案及评分标准】过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度.

根据题意,得∠ACD=30°,∠BCD=68°.

设AD=x,则BD=BA+AD=1 000+x.

在Rt△ACD中,CD=AD

tan∠ACD =x

tan30°

=√3x,(4分)

在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°, ∴1 000+x=√3x·tan 68°,(7分)

∴x=1000

√3tan68°?1≈1000

1.7×

2.5?1

≈308,

∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.(9分)

20.【参考答案及评分标准】(1)如图,过点B,D作x轴的垂线,垂足分别为点M,N. ∵A(5,0),B(2,6),

∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3.

∵DN∥BM,

∴△ADN∽△ABM,

∴DN

BM =AN

AM

=AD

AB

=1

3

,

∴DN=2,AN=1,

∴ON=4,

∴点D的坐标为(4,2).(3分) 又∵双曲线y=k

x

(x>0)经过点D,

∴2=k

4

,即k=8,

∴双曲线的解析式为y=8

x

.(5分) (2)∵点E在BC上,

∴点E的纵坐标为6.

又∵点E在双曲线y=8

x

上,

∴点E的坐标为(4

3

,6),

∴CE=4

3

,(7分)

∴S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△AOD

=1 2(BC+OA)·OC-1

2

OC·CE-1

2

OA·DN

=1 2×(2+5)×6-1

2

×6×4

3

-1

2

×5×2

=12.

∴四边形ODBE的面积为12.(9分)

21.【参考答案及评分标准】(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,

则有{10a+20b=4000,

20a+10b=3500.解得{a=100,

b=150.

即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(4分) (2)①根据题意得,y=100x+150(100-x),

即y=-50x+15 000.(5分)

②根据题意得,100-x≤2x,解得x≥331

3

.

∵y=-50x+15 000中,-50<0,

∴y随x的增大而减小.

∵x为正整数,

∴当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.

即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(7分) (3)根据题意得y=(100+m)x+150(100-x),

即y=(m-50)x+15 000.(331

3

≤x≤70)

①当0

∴当x=34时,y取得最大值.

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润.(8分)

②当m=50时,m-50=0,y=15 000.

即商店购进A型电脑数量为满足331

3

≤x≤70的整数时,均获得最大利润;(9分) ③当500,y随x的增大而增大.

∴当x=70时,y取得最大值.

即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.(10分)

22.【参考答案及评分标准】(1)①60°②AD=BE(2分)

(2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE.(4分)

理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.

∴△ACD≌△BCE,(6分)

∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°,

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.(7分)

在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,

∴CM=DM=ME,

∴DE=2CM,

∴AE=DE+AD=2CM+BE.(8分)

(3)√3-1

2或√3+1

2

.(10分)

解法提示:∵PD=1,∠BPD=90°,

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的☉D的切线,点P为切点.分以下两种情况讨论:

①如图(1),连接BD,AP,过点A作AP的垂线,交BP于点P', 易证△APD≌△AP'B,

∴AP=AP',PD=P'B=1.

过点A作AM⊥BP,垂足为点M.

∵CD=√2,

∴BD=2,BP=√3,

∴AM=1

2PP'=1

2

(PB-BP')=√3-1

2

.

②如图(2),同理可得AM=1

2PP'=1

2

(PB+BP')=√3+1

2

.

图(1) 图(2)

名师指导在此类题型中,由“问题发现”到“拓展探究”,一般对结论的探索思路不变;在“解决问题”中,一般需要运用辅助线构造符合上述结论的图形,可直接运用结论解决问题.

23.【解题思路】(1)把点A和点B的坐标分别代入抛物线的解析式中,可得关于b和c的二元一次方程组,解方程组可得b和c的值,进而可得抛物线的解析式.(2)分别用m表示出P,E,F三点的坐标,进而可用含m的代数式分别表示出PE,EF,注意点E可能在点F的上方,也可能在点F的下方,应分情况进行讨论,然后分别根据PE=5EF列方程求解即可.(3)解答本题的关键是,先判断出四边形PECE'是菱形,然后根据PE=CE,列出关于m的方程,解方程即可得出答案.

【参考答案及评分标准】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,

∴{0=?(?1)2-b+c, 0=?52+5b+c.解得{b=4,

c=5.

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(3分)

(2)∵点P的横坐标为m,

∴P(m,-m2+4m+5),E(m,-3

4

m+3),F(m,0).

∵点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧, ∴0

∴PE=-m2+4m+5-(-3

4m+3)=-m2+19

4

m+2.(4分)

分两种情况讨论:

①当点E在点F上方时,EF=-3

4

m+3. ∵PE=5EF,

∴-m2+19

4m+2=5(-3

4

m+3),

即2m2-17m+26=0,解得m1=2,m2=13

2

(舍去).(6分)

②当点E在点F下方时,EF=3

4

m-3.

∵PE=5EF,

∴-m2+19

4m+2=5(3

4

m-3).

即m2-m-17=0,解得m3=1+√69

2,m4=1?√69

2

(舍去),

∴m为2或1+√69

2

.(8分)

(3)点P的坐标为(-1

2,11

4

),(4,5)或(3-√11,2√11-3).(11分)

解法提示:连接PE'.∵点E和点E'关于直线PC对称, ∴∠E'CP=∠ECP.

又∵PE∥y轴,

∴∠EPC=∠E'CP=∠PCE,

∴PE=EC.

又∵CE=CE',

∴四边形PECE'为菱形.

过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD,

∴CE=|5

4

m|.

∵PE=CE,

∴-m2+19

4m+2=5

4

m或-m2+19

4

m+2=-5

4

m.

解得m1=-1

2

,m2=4,m3=3-√11,m4=3+√11(舍去).

可求得点P的坐标为(-1

2,11

4

),(4,5)或(3-√11,2√11-3).