2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．

并集及其运算．

考

点：

集合．

专

题：

分

由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：

合的并集即可

解

解：

答：

故答案为

点

本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：

义

．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高

二年级抽取 名学生．

考

分层抽样方法．

点：

专

概率与统计．

题：

分

根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：

所占的比例 得到要抽取的高二的人数．

解

答：

解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：

高二在总体中所占的比例是

用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本

要从高二抽取

故答案为：

点

评：

本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．

．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．

考

点：

复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．

专

题：

数系的扩充和复数．

分

析：

由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案

解答：解：由题

所以 故

故答案为

点

评：

本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．

．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．

循环结构．

考

点：

算法和程序框图．

专

题：

分

利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：

环 得到结果即可．

解

解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：

不满足判断框的条件

则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立

所以结束循环

输出 ．

故答案为： ．

点

本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．

评：

．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．

专

函数的性质及应用．

题：

分

根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：

数的单调性解出不等式的解集 得到结果．

解

解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞

答：

＞

＞

＞

故答案为：（

点

本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：

方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．

．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考

等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．

点：

等差数列与等比数列；概率与统计．

专

题：

分

先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：

典概论的计算公式即可求解

解

解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：

）

其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）

共 个数

这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是

故答案为：

点

本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：

试题

．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中

则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．

棱柱、棱锥、棱台的体积．

考

点：

专

空间位置关系与距离；立体几何．

题：

分

过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．

析：

解

解：过 作 于 是棱锥的高 所以

答：

的体积为 ．

所以四棱锥 ﹣

故答案为： ．

点

本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．

评：

．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．

双曲线的简单性质．

考

点：

专

圆锥曲线的定义、性质与方程．

题：

分

由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：

＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得

建立关于 的方程： 解之得 ．

解

解： ＞

答：

双曲线的焦点必在 轴上

因此 ＞

双曲线的离心率为

可得

所以 解之得

故答案为：

点

本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：

重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．

．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．

考

点：

平面向量数量积的运算．

专

题：

平面向量及应用．

分

析：

根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．

解

答：

解：

﹣

（）（） ﹣ ﹣

故答案为：

点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知

向量的和的形式 本题是一个中档题目．

．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．

考

点：

函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

专

题：

函数的性质及应用．

分

析：

由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．

解

答：

解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）

（） （﹣） ﹣ （） ；又

﹣

又 （﹣ ） （ ）

由 解得 ﹣ ；

﹣ ．

故答案为：﹣ ．

点

评：

本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．

考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；

二倍角的正弦．

专

题：

三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分

析：

先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．

解

答：

解：设

﹣

（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．

故答案为：．

点

本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：

考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．

考

圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．

点：

直线与圆．

专

题：

分

由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：

与直线 ﹣ 有公共点即可．

解

解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：

圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；

又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点

只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．

设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为

则 即 ﹣

．

的最大值是．

故答案为：．

点

本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：

﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考

一元二次不等式的应用．

点：

函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

专

题：

分

根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：

根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．

解

解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）

答：

（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则

不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）

即为 ＜ 解集为（ ）

则 ﹣ 的两个根为

﹣

解得

故答案为：

点

本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：

析求解的能力和计算能力 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣

则的取值范围是 ．

导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．

考

点：

导数的综合应用；不等式的解法及应用．

专

题：

分

由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由

析：

可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．

解

解： ﹣ ＞

答：

＞

﹣ ﹣

．

从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．

又

＜

从而 设函数 （ ） （ ＞ ）

（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）

当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．

（ ） （ ） ．

等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．

从而的取值范围是 双闭区间．

点

评：

本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．

二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．

（ ）求证： ；

（ ）若 求 的值．

解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考

点：

专

三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．

题：

分

（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：

除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；

（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由

的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程

求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．

解

解：（ ）

答：

即

由正弦定理 得：

又 ＜ ＜ ＞ ＞

在等式两边同时除以 可得 ；

（ ） ＜ ＜

则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣

﹣

将 代入得： ﹣

整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）

解得： 或 ﹣

又 ＞

又 为三角形的内角

则 ．

点

此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：

理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中

分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：

（ ）平面 平面 ； （ ）直线 平面 ．

考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：

空间位置关系与距离；立体几何．

分析：

（ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而

结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到 平面 从而平面 平面 ；

（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法 证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ． 解答：

解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面 平面

又 、 是平面 内的相交直线 平面 平面

平面 平面 ；

（ ） 中 为 的中点

平面 平面

又 、 是平面 内的相交直线

平面 又 平面

平面 平面 直线 平面 ．

点评：

本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平

面垂直的判定等知识点 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣

（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指

炮弹落地点的横坐标．

（ ）求炮的最大射程；

（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．

函数模型的选择与应用．

考

点：

函数的性质及应用．

专

题：

分

（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：

求出后应用基本不等式求解．

（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．

解

解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：

．

由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．

当且仅当 时取等号．

炮的最大射程是 千米．

（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立

即关于 的方程 ﹣ 有正根．

由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于

故只需 ﹣ （ ） 得 ．

此时 ＞ ．

当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．

点

本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：

能力 属于中档题．

．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）

的两个极值点．

（ ）求 和 的值；

（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；

（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．

考

函数在某点取得极值的条件；函数的零点．

点：

导数的综合应用．

专

题：

分

（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：

（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．

（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．

解

解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．

答：

和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点

（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．

（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣

﹣ ．

（ ﹣ ） （ ） 解得

当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞

﹣ 是 （ ）的极值点．

当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．

（ ）的极值点是﹣ ．

（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．

先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣

当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数

（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．

当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜

一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．

由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．

当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．

此时 （ ） 在（ ）无实根．

当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．

又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断

（ ） 在（ ）内有唯一实根．

同理 在（一 一 ）内有唯一实根．

当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．

又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．

因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足

；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．

现考虑函数 （ ）的零点：

（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足

．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．

（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．

而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．

综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点． 点评：

本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的

零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．

．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆

（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）

都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．

（ ）求椭圆的方程；

（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．

（ ）若 ﹣

求直线 的斜率；

（ ）求证： 是定值．

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程． 专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程． 分

析：

（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解．

（ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣

用待定系数法求解；

（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得

由此可

求得 是定值．

解

答：

（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得

﹣ ．

由点（ ）在椭圆上 得