2017清华大学4.29标准学术能力测考试试题.docx
2017请华丸学4.29标准学术能力测试题
1、坷，。2,…，為是数字1到9的一个排列，则+ a A a 5a 6 + a 7a 8a 9的最小值为（ ）
【解析】设ci^a 2a 3 +6/46/5tz 6 +tz 7tz 86/9=M 则由三元均值M >?a 1--a 9 = 3-^9^ - 3x70
3由题可知 981 + 7 5 2 + 643 = 72 + 70 + 72 = 214
另一方而由均值M > 3河.=3$72? 70? 72 > 3页 = 213 由此，M 的最小值为214.
1008
2、设(匕—兀 + 1) =
+ ciyX + ci^x 2
H 偽 016兀~°"，则+ 2q + 3偽 ---- 2017偽0]6
的值是（
）
A. 1008
B. 1009 【答案】B
【解析】解法两边同乘兀，有％（兀’ -兀+1严=。0兀+。|兀'+…+。2016円7 两边求导，得 1008x(x 2 - X + 1 )1007 (2x -1) = tz () + 26/,% + ? ? ? + 2017^2016x 2016 令 x = l,得 0()+ 2马 -- 2017偽0]6 = 1009 解法2：令x = \ ,可得q + q +???+如］6 =1
对题中等式,两边求导，得a 】+ 2qx +…+ 201602016兀=1008（兀$ —兀+1） 令 x = l,得吗 + 2坷 4 --- 2016^2016 = 1008 因此所求值为1009 o
A. 213
B. 214 【答案】B
C. 215
D. 216
分析: a“2…為=9!三元均值“ 「1离散的
数
0靠近之值
C. 2016
D. 2017
3、集合S=｛1,2,…,25｝, AcS, S.A 的所有子集中元素之和不同，则下列选项正确的
A . |A |
= 6
I I max
4、过椭圆手+专=1的右焦点毘作一条直线交椭圆TA, B,则甘AB 的内切圆面积
可能是（
）
A. 1
B. 2
【答案】A
分析：△片A B 周长C 为定值4 d = 8, S z .WFi =|-C-8焦点弦长公式。
设AF 2=X ,则由余弦定理（2G -
F +（ 2c 『一 2X2仇os &
f 2
所以兀=—-
—— 由焦点弦| |=市-：)一、
a-ccos0
h~ +c~ ?sin&
【解析】设直畑的倾斜角为0,则I 仲石幾n 。3 +宀 因此 昭=^AB^F 2sin & 因此，设内切圆半径为「，则「=奢_如空3
求得S 的范围为。，存
5、仏｝，｛仇｝均为等差数列，已知“严135, a 2b 2 = 304,色伏=529,则下列是｛%亿｝
【答案】A,B,C,D
【解析】由题可得：a fl b tl =a(n-2)2
+b(n-2)+ c
a —
b +
c = 135
B. |A|
=7
I I max
5
]
3 C.若A = {a l9a^9a 39a 49a 5},则 Y — <- 口
4 2
5 1
D.若A = {a },a^,a 3,a 4,a 5],则 Y — <2
/=!①
C. 3
D. 4
焦半径，在厶AF,F 2中ZA 鬥片=&
F }F 2=2C
AF } + AF 2 = 2c
h 2
因此，内切圆而积为S =兀?
2
-71
(3sin& 丫 V + sii?&丿
中的项的有（
）
A. 810
B. 1147
C. 1540
D. 3672
将aQ、= 135,a2b2 = 304, a3b3 = 529 带入得 < c = 304
a +
b +
c = 529
a = 28
解得U = 197；则色+2仇+2 =28H2+197H + 304
c = 304
6、已知函数y = x + ~,过P(l,0)作切线交函数图象于点M和点N,记|MN| = g(/),
? I
则下列说法中正确的有( )
A. r = l时，PM丄PN
B. g(/)在定义域内单调递增
C. r = |时，M , N 和(0,1)共线D? g(l) = 6
【答案】C
分析：共求切点弦。
引理：切点弦定理G(x,y) = Ar2 + Bxy + Cy2 + Px+Ey+F ,过曲线G(兀,y)二0外一点
P(x o,>o)引曲线的切线，切点为时2,则弦人人就为点几关于曲线G(x,y) = 0的切点弦,则对应的直线为G(x,y) = 0.其中
6(3)=做*+8込型+ 5持+卩込+ ￡也+尸
2 2 2
【解析】题中曲线即H:x2-xy + t = 0,由引理知—匕+ f = 即
MN \ 2x- y + 2t = 0 已知MN 与H,得x2 + 2xt -Z = 0 ,得
g(r) =| MN |=71 + 22 .74^+4/,即g(f) = 2厉。
当t =-时，PM^PN = 5x.x^-
4 - 4
7、己知数列{?￡」，其中X]=d, x2=b , x H+] = x n + x fl_} ( a , b是正整数)，若2008为
数列中的某一项，则a + b 可能的取值有（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
8、投掷一枚均匀的骰子六次，存在k 使得1到k 次的点数之和为6的概率是"，则〃的取
值范围是（
）
A. 0 < /? < 0.25
B. 0.25 < /? < 0.5
C. 0.5 < p< 0.75
D. 0.75 < p<\
9、在 \ABC 中，AB = 2, AC = 3, BC = 4, O 为三角形的内心，若 AO = AAB +JLI BC ,
则32 + 6〃的值为（
）
10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿 到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次，则第四次球传回甲的概
率是
( )
7 5 7
21
A.—
B.— c.—
D.— 27 27
8 64
9 ?
交椭圆于M 和N,且OM 丄ON,则椭圆长轴的収值范围是（
）
A. [75,76]
B. [76,77]
C. M ■，闷
D. [78,^9]
12、在直角\ABC 中，以直角边4B,斜边BC 为其中一边分别向三角形所在一侧作正方 形
ABDE 和BCFG ,则向量刊和反的夹角为（
）
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120° 13、正方体ABCD-A^QD,的棱长
为1,底面中心为O, 4Q, CC 】的中点分别为M,
N ,则三棱锥O — MB 、N 的体积为（
）
ci h
9c
c 为止实数，则代数式—^ + ―+
—的最小值为（
b + 3
c 8c+ 3a + 2b
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
=l （d >b>0）的离心率幺的取值范围为
直线y = -z + i
A.
7
24
48
C
' 24
D
' 48
A.
47 48
B ?1
D.
36
【答案】A
1 1 1
a =——x + -y + — z
3 8- 6
【解析】设代数式为加，令h + 3c = x^c + 4c = y^a + 2h = z 则丿b = -x- — y + -z
2 16 4 1 1 1 c = —x + ——y ----------------- Z
6 16" 12
x=y.z = 1:2:3 即 a:Z?:c = 10:21:1 时取
A. CW = V3
B. AB = V3 + 1
C. BC = ?
jr
垃己知实数呎0,汀则下列方程有解的是（）
【解析】对于 Acos(cosx) = sin(—-cosx) > sin(sinx)
? 7t
对于 B sin(cos x) = cos( --- c os x) < cos(sin x)
对于 C 令占=arctan 兀,则 tan(tanx,)一sin(sinx,) <0 令兀2 = arctan —则 tan(ta n x 2) -
sin(si n x 2) > A /3 -1 > 0 对于 D /(x) = tan(sin x) / g (x) = sin(tan x)
作差，h^x) = /(x)-g(x) = tan (sin x)-sin (tan x)
分析:
b + 3
c b + 3c —>
------
于是m=-—+
48 {9x 2y)
9y z
3 r 7 A 47 + —+ — 等号当且反当
3x z (2z 6x)
48
15.在AABC 中，乙4 = 6（）。，ZB =
45° , 则下列正确的是（ ）
的角平分线长度为2, CH 丄AB 于H,
=3
A. cos (cos x) = sin (sin x) C. tan (tan x) = sin (sin x)
【答案】c
分析：化同名(诱导公式)
B. sin (cos x) = cos (sin x) D. tan (sin x) = sin (tan x)
b 3c
j : ; L cosftan x) + 2cosfsin x) / tanx + 2sinx
^cos(tan x) ? cos 「(sin x) < ---------------------------- < cos ----------------- 设函数 P(x) = tanx + 2sinx-3x,求导 P'(x)— +2cosx-3
COS 「X
_ ir , z x 人// \ 八 nrl tanx + 2sinx 因此
带入/2（0） = 0,即题成立 情况二，成立
19、在空间中过点A 作平面兀的垂线，垂足为B,记B = f x （A ）f 设0是两个不同的 平
面，对空间中的任意一点P , Q=%［E （P ）］，2二乙也（P ）］，且有PQ 严PQ?， 则（
）
A. a 丄〃
B. a IIP
C."与0的（锐）二面角为45。
D. Q 与0的（锐）二面角为60。
20、某校共2017名学生，其中每名学生至少要选A , B 中的一门课，也有些学生选了两门 课，已知选修人的人数占全校人数介于70%到75%之间，选B 的人数占40%到45%之
间，则下列正确的是（
）
A.同时选A, B 的可能有200人
B.同时选A, B 的可能有300人
21、己知Z), E 是Rt\ABC 斜边BC 上的三等分点，设AD = a, AE = b,则实数对⑺上)
可以是( )
则 /r (x )= 2 /
、
cosx cos (tan x) _ cos' x- cos(tan x)cos 2(sin x) cos (sinx)cos 2 x
情况一：当兀W 0, arctan — 时，W sinx, tanxG
< 2丿
(2丿
B.
D.
? 、 sin x ? ? 2 sin x sin x < --- <
x X 2
sinx 2
sin A :
、2
x 2
sinx < -----
1 4
A.-
B. 2
C.— 2
3
,由均值及钦森
cos 2 x cos 2 17s 己知0vxvl,则下列止确的是（ A.
C.
18s 已知 X] =sina+2z, 兀丿
x, = 1 + z cos a,
的最小值是
D.
A. (1,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
22、已知函数/（X）= X2+2X,若存在实数/,当XG[1,/H）时，有f（x+t）＜3x恒成立,
则实数加可以等于（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
23、设x,ye R ,函数/（兀,y） = F +6），- 2厂一14x — 6y+ 72 的值域为M，则（）A. le M B. 2G M C. 3G M D. 4G M
【答案】C,D
分析：拉格朗日
【解析】/（x,y）= x2-2（y + 7）＞x +6j2-6y + 72
=（兀_尹_7）2_（〉' + 7）2 +6〉二_6y+ 72
= （x-y-7）2+5（y-2）2+3＞3
24、若N的三个子集A,B, c满足|AnB|=|Bnc|=|cnA|=i,且
则称（&B,C）为N的“有序子集列”，现有N二{1,2,3,4,5,6},则何有（）个有序
子集列.
A. 540
B. 1280
C. 3240
D. 7680