一个简单的常应变三角形单元刚度矩阵的求法

(Ji Wan de l’université de wuhan)

解答：

对于三角形三节点常应变单元，可以假设位移场为

同时考虑到三个节点坐标，有

得到六个未知系数为

因此

其中

故形函数矩阵

应变矩阵

应力矩阵

而根据图示三角形单元

（泊松比为0）

因此最终有形函数矩阵

应变矩阵

应力矩阵

）

常用单元的刚度矩阵

r u r r u r =-+= πππεθ22)(2 由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。将应变写成向量的形式，则{}?? ?? ? ?????? ?????? ???????+??????=??????????????=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ 根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ?ε= 其中几何矩阵[]????????? ?????????? ??= ij ji ki ik jk kj ji ik kj k j i ij kj jk z r z r z r r r r r z r N r z r N r z r N z z z B 000 0),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D] 依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为 [])(1 θσσσε+-= z r r u E [])(1 z r u E σσσεθθ+-= [])(1 θσσσε+-=r z z u E rz rz E r τμ)1(2+= 所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=

弹性矩阵[]? ? ??????? ???? ?-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμ μμE D 4.单元刚度矩阵[])(e k 与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为 [][][][]dV B D B k V T e ?=)( 在柱面坐标系中，drdz dV π2= 将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k V T e ?=)(，则[][][][]rdrdz B D B k T e ??=π2)( 即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]有的元素（如r z r N i ),(等）是坐标r 、z 的函数，不是常量。因此，乘积[][][]B D B T 不能简单地从式 [][][][]rdrdz B D B k T e ??=π2)(的积分号中提出。如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐标值代替几何矩阵[B]的r 和z 的值。用[]B 表示在形心),(z r 处计算出的矩阵[B]。其中 3 ) (,3 ) (k j i k j i z z z z r r r r ++= ++= 只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：

三角形常应变单元matlab程序的编制与使用

三角形常应变单元程序的编制与使用有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法，该方法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。有限元分析的基本步骤可归纳为三大步：结构离散、单元分析和整体分析。对于平面问题，结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形，以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元，它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性，而矩形或四边形单元较三节点三角形有更高的计算精度。 Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具，因此，用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序有优越性。本章将详细介绍如何利用Matlab语言编制三角形常应变单元的计算程序，程序流程图见图1。有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下： 1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。 2）单元分析，建立单元刚度矩阵。 3）整体分析，建立总刚矩阵。 4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵 5）边界条件处理。 6）解方程，求出节点位移。 7）求出各单元的单元应力。 8）计算结果整理。计算结果整理包括位移和应力两个方面；位移计算结果一般不需要特别的处理，利用计算出的节点位移分量，就可画出结构任意方向的位移云图；而应力解的误差表现在单元内部不满足平衡方程，单元与单元边界处应力一般不连续，在边界上应力解一般与力的边界条件不相符合。图1 程序流程图

1.1 程序说明 %******************************************************************* % 三角形常应变单元求解结构主程序 %******************************************************************* ●功能：运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。 ●基本思想：单元结点按右手法则顺序编号。 ●荷载类型：可计算结点荷载。 ●说明：主程序的作用是通过赋值语句、读取和写入文件、函数调用等完成算法的全过程，即实现程序流程图的程序表达。 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 程序准备 format short e %设定输出类型 clear all %清除所有已定义变量 clc %清屏 ●说明： format short e －设定计算过程中显示在屏幕上的数字类型为短格式、科学计数法； clear all －清除所有已定义变量，目的是在本程序的运行过程中，不会发生变量名相同等可能使计算出错的情况； clc －清屏，使屏幕在本程序运行开始时 %----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 全局变量定义 global NNODE NPION NELEM NVFIX NFORCE COORD LNODS YOUNG POISS THICK global FORCE FIXED global BMATX DMATX SMATX AREA global ASTIF ASLOD ASDISP global FP1 ●说明： NNODE—单元结点数，NPION—总结点数，NELEM—单元数，NVFIX—受约束边界点数，NFORCE—结点力数，COORD—结构结点坐标数组，LNODS —单元定义数组，YOUNG—弹性模量，POISS—泊松比，THICK—厚度

《解三角形》单元测试卷

高二数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（） A ．310+ B ．() 1310- C ．13+ D ．310 2. 在△ABC 中，，c=3，B=300，则a 等于（） A ． C ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（） A ．41- B ．41 C ．32- D ．3 2 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 22=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． () 10,8 D ．() 8,10 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.45° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 12. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．152

解三角形单元测试题(附答案)

解三角形单元测试题班级： ____ 姓名成绩：______________ 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（） A ．无解 B ．一解 C ．二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2

高中数学人教版必修5 第一章解三角形单元测试卷(A)(含答案)

第一章解三角形单元测试卷（A ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分) 1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝5 2b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A ．5 3 B ．5 4 C ．5 5 D ．5 6 2．在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC =10，则BA ·AC →等于( ) A ．－3 2 B ．－2 3 C ．2 3 D ．3 2 3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．以上都不对 4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为1 3，则其外接圆的半径为( ) A ．922 B ．924 C ．928 D ．9 2 6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c 2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( ) A ．2 B ．6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A ．152 B ．15 C ．8155 D ．6 3 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A ．21 B ．106 C ．69 D ．154 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一内角是30°的等腰三角形 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A ．π6 B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π3 12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．43sin ? ????B ＋π3＋3 B ．43sin ? ????B ＋π6＋3

第一节三角形常应变单元(DOC)

第三章平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。第一节三角形常应变单元一、结构离散化用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。 (a) (b) 图3.1 弹性体和有限元模型将整个结构（平板）划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元（三角形单元）。三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。注：1. 全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。2. 节点编码：

总码-----------用于整体分析，如1,2，…，按自然顺序编号局部码--------用于单元分析，i，j，m 要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系 3. 单元间不能有重叠 4. 一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点 5. 所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。

二、位移模式 1. 单元节点位移列阵 i u 图 3.2 平面三角形单元设单元e 的节点号码为i ，j ，m 。由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u ，v ，记为 {}T f u v ????= 故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。3个节点得位移分量分别是 ,,,,,m m i i j j u v u v u v ，用列阵表示为 {} i e i i e j j j m m m u v u v u v δδδδ?? ???????????????????????????? ?????? == （3-1）

从虚功原理推导平面三角单元刚度矩阵

平面问题的三角形单元 ——从能量原理推导刚度矩阵一、虚功原理 1.1虚功如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，即作功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无因果关系，这时力所作的功称为虚功。这个位移称为虚位移。 1.2虚位移虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。 1.3虚功原理处于平衡状态的变形体发生虚位移后，全体外力在对应虚位移所作的外力虚功的等于内力在对应的虚应变上所做的内力虚功。对于一个单元的虚功原理的数学表达式为： {} {}{}{}**T T F d εσΩ?=Ω??? （1-1）

二、平面三角形单元相关矩阵 2.1平面三角形单元得几何和节点描述 3节点三角形单元如图5.1所示。3个节点得编号分别为i、j、m，各自得位置坐标为（）,（），（），各自节点在x方向和y方向的位移为（）,（）,（）。图2-1 2.2三角形单元的位移矩阵对于图5.1所示的平面3节点三角形单元，其位移矩阵为： (2-1)

2.3三角形单元的应变矩阵把位移函数u,v代入几何方程，写成矩阵的形式，则单元上任一点的应变为：（2-2）式（2-16）表示单元节点位移与单元应变的关系。令（2-3）则（2-4）矩阵称为应变矩阵。将其分块可写成：（2-5）式（2-5）表示应变矩阵为常数矩阵，再次证明三节点三角形单元为常应变单元。 2.4 三角形单元的应力矩阵由物理方程：解得：用矩阵表示：（2-6）令：

解三角形单元测试题(附答案)(很好用)

解三角形单元测试题含有答案班级： ____ 姓名成绩：______________ 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（） ~ A ．无解 B ．一解 C ．二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) ] A ．2>x B ．2

3c 虚功原理推导单元刚度矩阵

§3-3 虚功原理推导梁单元的（单元）刚度矩阵设在力P 的作用下，梁单元i-j 的两端点分别发生了线位移和角位移，用{}e δ来表示梁单元的端点位移（又称结点位移）： { }{}T e i i j j v v δθθ= 使梁单元发生结点位移{}e δ的单元结点力（杆端力）为： { }{}T e i i j j F F M F M = 根据材料力学，如果已知梁的两端点位移，则可求出等截面梁上任意一点的位移（挠度）。即梁上任意一点的位移v(x)可以用{}e δ表示出来，设二者的关系为： {}1234()()()()(){}{} i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ?? ???? ==???????? 又设由于某种其他原因，该梁发生了变形，引起梁单元○ e 两端点的位移为（用向量形式表示）： { } * * {}j e i i j v v δθθ= 梁中任意一点的位移为：

{}* ** 1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ?????? ==???????? 相对于力P 引起的位移v(x),称v*(x)为虚位移计算梁单元○ e 的外力虚功和内力虚功对梁单元来说，两端点的力即是外力，则外力虚功为： **{}{}({}){}e T e e T e ex W F F δδ== 内力虚功 = 虚应变能 2*22* * 222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ??=== ??? ??? ∵ 2 22 2 2 312 422 222{''}{}{}[]{}T T e e e d N d N d N d N d v N B dx dx dx dx dx δδδ?? ===???? 22222** **312422 2 2 2 {''}{}{}[]{}T T e e e d N d N d N d N d v N B dx dx dx dx dx δδδ??===???? ∴ ****[]{}[]{}{}[][]{}{}[][]{}{}[]{} e e in l e T T e l e T T e l e T e e W EI B B dx B D B dx B D B dx k δδδδδδδδ====??? 式中： [][][]e T l k B D B dx =? 虚功原理：系统保持平衡状态的充要条件是外力虚功=内力虚功即： ex in W W = **{}{}{}[]{}e T e e T e e F k δ δδ= 而虚位移为任意、不为零，所以上式等价于：

解三角形单元测试题及答案

第一章解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即（其中R是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）． 2）化边为角：； 3）化边为角： 4）化角为边： 5）化角为边：二.三角形面积 1. 三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 2.变形：注意整体代入，如：利用余弦定理判断三角形形状：设、、是的角、、的对边，则： ①若，，所以为锐角 ②若 ③若，所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角： 4) 三角形内的诱导公式： 7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) 2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝ (b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) 3.在△ABC 中，已知|AB |＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC → 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 5．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) 6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1

解三角形单元测试题及答案(汇编)

第一章解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ; sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;s i n s i n c b C B =;s i n s i n c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 二.三角形面积 1. B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21=== ? 三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 A bc c b a cos 22 2 2 -+= B ac c a b cos 22 2 2 -+= C ab b a c cos 2222-+= 2.变形：bc a c b A 2cos 2 22-+= ac b c a B 2cos 2 22-+= ab c b a C 2cos 2 22-+=

(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）： 1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝2 3AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( ) A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 5 5.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=?，105CAB ∠=?后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( ) A. 100m B. 3m C. 2m D. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 8.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( ) A. 3 B ．5 3 C ．6 3 D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35 10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是 ( )A ．5(6＋2) km B ．5(6－2) km C ．10(6＋2) km D ．10(6－2) km 11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( ) A ．5 B.6 C ．7 D ．8 12.在ABC △中，角 A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=?=，则（） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）： 13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752 =--x x 的根，则此三角形的面积是。 14.△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________. 15.在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sin A ：sin B ：sin C ＝________. 16.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45?和60?，而且两条船与炮台底部连线成30?角，则两条船相距 m ．三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤)： 17．(本题满分10分) 在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2 ＝b(b ＋c)． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)资料

第2章弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????

一个简单的常应变三角形单元刚度矩阵的求法

常用单元的刚度矩阵

三角形常应变单元matlab程序的编制与使用

《解三角形》单元测试卷

解三角形单元测试题(附答案)

高中数学人教版必修5 第一章解三角形单元测试卷(A)(含答案)

第一节三角形常应变单元(DOC)

从虚功原理推导平面三角单元刚度矩阵

解三角形单元测试题(附答案)(很好用)

最新解三角形单元测试题

最新【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)

3c 虚功原理推导单元刚度矩阵

解三角形单元测试题及答案

解三角形单元测试题及答案(汇编)

最新7.4-单元刚度矩阵组装及整体分析

(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)资料

一个简单的常应变三角形单元刚度矩阵的求法

常用单元的刚度矩阵

三角形常应变单元matlab程序的编制与使用

《解三角形》单元测试卷

解三角形单元测试题(附答案)

高中数学人教版必修5 第一章 解三角形 单元测试卷(A)(含答案)

第一节三角形常应变单元(DOC)

从虚功原理推导平面三角单元刚度矩阵

解三角形单元测试题(附答案)(很好用)

最新解三角形单元测试题

最新【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)

3c 虚功原理推导单元刚度矩阵

解三角形单元测试题及答案

解三角形单元测试题及答案(汇编)

最新7.4-单元刚度矩阵组装及整体分析

(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)资料

高中数学人教版必修5 第一章解三角形单元测试卷(A)(含答案)