二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系
一、知识要点
知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数
y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个
数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函
2 . . 2
数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的
变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 ?求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.
3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 ?
(1)当实数k为何值时，图象经过原点？
(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.
(1 )求m的取值范围；
(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；
(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、
Q、P三点，画岀抛物线草图.
2
例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B
△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0
二次函数
y=ax2+bx+c(a > 0)的图像
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a > 0)的根
无实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集
x < x1或x > x2
(% < x2)
x为全体实数
一元二次不等
ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x
1<
x < x2
(x1< x2)
无解无解
问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
两点(点A在点B的左侧) ，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2
根.
(1)求岀点A、点B的坐标及该二次函数表达式 .
(2)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点 Q不与点
4x 12 0的两个
B重合)，'过点
时，求m 的值广QD II AC交于BC点D,设Q点坐标(m , 0),当CDQ面积号旳大时，求 m 的值”
(3)如图3,线段MN是直线y=x上的动线段(点 M在点N左侧)，且MN ,若M点
的横坐标为n,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点
知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示: 二、典型例题
例1、已知二次函数 y=x2—( m — 3) x— m的图象是抛物线，如图
(1)试求m为何值时，抛物线与 x轴的两个交点间的距离是3?
(2)当m为何值时，方程 x2—( m— 3) x — m=0的两个根均为负数？
(3)设抛物线的顶点为 M,与x轴的交点P、Q,
求当PQ最短时△ MPQ的面积.
Q.以点P, M , Q, N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求岀
说明理由.
变式训练：(2012?资阳)如图是二次函数 y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+cv 0的解集是( )
A. 1 < xv5
B. x>5
C. x<— 1 且 x>5
D. x<- 1 或 x>5
2 2
例3、已知关于x的一元二次方程x 2ax b 0, a 0,b 0.
(1)若方程有实数根，试确定
a, b之间的大小关系；
(2)若 a : b=2 : . 3，且2x1x22，求 a, b 的值;
2 2 (3)在(2)的条件下，二次函数
y X 2ax b 的图象与x 轴的交点为 A 、C (点A 在点
C 的左侧)，与y 轴的交点为B,顶点为
D 若点P (x, y)是四边形 ABCD 边上的点，试 求3x — y 的最大值.
变式训练：(2012甘肃兰州10分)设二次函数y= ax 2 + bx+ c(a^ 0的图象与x 轴的两个交点为
A(x i , 0), B(x 2, 0) ?利用根与系数关系定理可以得到
A 、
B 两个交点间的距离为：
AB= | x i — x 2|
(2)若X 1, X 2是函数图象与X 轴两个交点的横坐标，且满足
2
(k- 1) X 1 +2kx 2+k+2=4x 1x 2.①求 k 的值；②当 k$*+2 时， 请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值.
【家庭作业】
1. (2012 天津市 10 分)已知抛物线 y=ax 2+bx+c ( 0v 2a v b)的顶点为 P( x 0, y 0)，点 A (1, y A )、
B (0 , y B )、
C (— 1, y c )在该抛物线上.
设二次函数y = ax 2 + bx+ c(a > 0)的图象与x 轴的两个交点 显然△ ABC 为等腰三角形.
(H)当y o 》0恒成立时，求 一— 的最小值. y B y c
(1)求k 的取值范围;
■ b 2
4ac 参考以上定理和结论，解答下列问题:
(I)当a=1, b=4, c=10时，①求顶点
P 的坐标；②求一y ^ -的值;
y B y c
(1)当厶ABC 为直角三角形时，求 b 2 — 4ac 的值; 2. ( 2012湖北黄石10分)已知抛物线 C 1的函数解析式为 y 2
ax bx 3a(b 0)，若
⑵当△ ABC 为等边三角形时，求 b 2 — 4ac 的值. 抛物线C 1经过点(0, 3)，方程ax
2
bx 3a
0的两根为x 1, x 2，且| x 1 x 2
例4、(2012广东肇庆10分)已知二次函数 y mx 2
nx p 图象的顶点
横坐标是2，与x 轴交于A (X 1, 0)、B (X 2, 0) , X 1 < 0 < X 2，与y 轴交于 点C, O 为坐标原点，tan CAO tan CBO 1 . (1)求证：n 4m 0 ; (2 )求m 、n 的值； (3)当p>0且二次函数图象与直线 y x 3仅有一个交点时，求二次函 数的最大值.
(1) 求抛物线 C 1的顶点坐标.
1
1
(2)
已知实数x 0，请证明：x
》
2 ,并说明x 为何值时才会有 x
2 .
X
X
(3)若抛物线先向上平移
4个单位，再向左平移 1个单位后得到抛物线
C 2,设 A(m, yj ,
变式训练：(2012湖北荆门10分)已知：y 关于x 的函数
y= (k- 1) x 2
- 2kx+k+2的图象与x 轴有交点. B(n, y 2)是O 上的两个不同点，且满足：
AOB 90°, m 0 , n 0.请你用含有 m 的表
达式表示岀△ AOB 的面积S,并求岀S 的最小值及S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式。(参 考公式：在平面直角坐标系中，若
P(x 1,y 1) , Q(x 2,y 2)，则P, Q 两点间的距离
.(X 2 Xj 2 (y 2 yj 2
)
A(x i , 0), B(X 2, 0),抛物线的顶点为 C,