圆周运动的实例分析典型例题解析

圆周运动的实例分析典型例题解析

【例1】用细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中，正确的是[ ]

A ．小球过最高点时，绳子中张力可以为零

B ．小球过最高点时的最小速度为零

C ．小球刚好能过最高点时的速度是Rg

D ．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相

反

解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧作圆周运动的物体等没有支承物的物体作圆周运动，通过最高点时有下列几种情况：

(1)mg mv /R v 2当＝，即＝时，物体的重力恰好提供向心力，向心Rg 加速度恰好等于重力加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件；

(2)mg mv /R v 2当＞，即＜时，物体不能通过最高点而偏离圆周Rg 轨道，作抛体运动；

(3)mg mv /R v mg 2当＜，即＞时，物体能通过最高点，这时有Rg ＋F ＝mv 2/R ，其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、作匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反．

所以，正确选项为A 、C ．

点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题．当小球经越圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经越圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力(法向分力)提供向心力．

【问题讨论】该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内作圆周运动，过最高点时：

(1)v

(2)v

(3)v

当＝时，支承物对小球既没有拉力，也没有支撑力；

当＞时，支承物对小球有指向圆心的拉力作用；

当＜时，支撑物对小球有背离圆心的支撑力作用；

Rg

Rg

Rg

(4)当v＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg，这是有支承

物的物体在竖直平面内作圆周运动，能经越最高点的临界条件．

【例2】如图38－1所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上的水平杆

上穿着两个质量相等的小球A和B．现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用

不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m．试分析角速

度ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B两球的受力情况如何

变化？

解析：由于ω从零开始逐渐增大，当ω较小时，A和B均只靠自身静摩擦

力提供向心力．

A球：mω2r＝f A；B球：mω22r＝f B．

随ω增大，静摩擦力不断增大，直至ω＝ω1时将有f B＝f m，即m

ω＝，ω＝．即从ω开始ω继续增加，绳上张力将出现．1

2

m11

2r f T

f mr

m

/2

A球：mω2r＝f A＋T；B球：mω22r＝f m＋T．

由B球可知：当角速度ω增至ω′时，绳上张力将增加△T，△T＝m·2r(ω′2－ω2)．对于A球应有m·r(ω′2－ω2)＝△f A＋△T＝△f A＋m·2r(ω′2－ω2)．

可见△f A＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小，直至f A＝0

时，设此时角速度ω＝ω2，则有A 球：m ω22r ＝T ；B 球：m

ω＝＋．解之得ω＝．22

m 22r f T f mr m /

当角速度从ω2继续增加时，A 球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直至f A ＝f m 为止．设此时角速度为ω3，并有A 球：m ω32r ＝T －f m ， B 球：m ω322r ＝f m ＋T 解之得ω3＝ 2f mr m /．若角速度ω继续增加，和将一起向一侧甩出．3A B B

点拨：(1)由于A 、B 两球角速度相等，向心力公式应选用F ＝m

ω2r ．(2)分别找出ω逐渐增大的过程中的几个临界状态，并正确分析各个不同阶段的向心力的来源及其变化情况，揭示出小球所需向心力的变化对所提供向心力的静摩擦力及绳子拉力之间的制约关系，这是求解本题的关键．

【问题讨论】一般情况下，同学们大多能正确地指出“A 、B 系统将最终向B 一侧甩出”这一物理现象．但是对于中间的动态变化过程是怎样的？为什么是这样的？很少有同学能讲清楚．对于此类物理过程的挖掘要深刻、分析要细致，只有这样，才能使自己跳出题海．

【例3】长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m ＝2kg ．现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图38－2所示．在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力：(1)A 的速率为1m/s ；(2)A 的速率为4m/s ．(g ＝10m/s 2)

点拨：(1)本题虽是竖直平面内的圆周运动，但由题述可知是匀速率的而不是变速率的．

(2)题目所求A 对杆的作用力，可通过求解杆对A 的反作用力得到答案．

(3)A经越最高点时，杆对A的弹力必沿杆的方向，但它可以给A以向下的拉力，也可以给A以向上的支持力．在事先不易判断该力是向上还是向下的情况下，可先采用假设法：例如先假设杆向下拉A，若求解结果为正值，说明假设方向正确；求解结果为负值，说明实际的弹力方向与假设方向相反．【问题讨论】(1)该题中A球分别以1m/s和4m/s的速度越过最低点时，A 对杆的作用力的大小、方向又如何？

(2)上面的杆如果换成绳子，A能不能以1m/s的速率沿圆周经越最高点？A能沿圆周经越最高点的最小速率为多少？

(3)若杆能承受的拉力和压力各有一个最大值，怎样确定零件A做匀速圆周运动的速率范围？

(4)如图38－3所示，有一半径为R的圆弧形轨道，滑块A、B分别从轨道上表面和下表面沿轨道滑动，如果要使它们在最高点处不离开轨道，对它们在最高点的速率有什么限制？

参考答案

(1)A对杆的作用力为16N的压力 (2)A对杆的作用力为44N的拉力

【例4】如图38－4所示，半径为r的圆桶绕中心轴匀速转动，角速度为ω，一质量为m的小滑块紧靠着圆桶内壁沿桶壁竖直向下的方向下滑，已知滑块与桶壁间的动摩擦因数为μ，求滑块对圆桶的压力及滑块沿桶下滑的加速度．

点拨：(1)小滑块沿桶壁的竖直方向下滑，实际上参与了两个分运动：水平方向以角速度ω作匀速圆周运动，竖直方向以一定的加速度作匀加速直线运动．

(2)滑块在水平方向作匀速圆周运动所需的向心力，源于桶壁对其支持力；滑块在竖直方向的加速度则由竖直方向的重力与滑动摩擦力的合力所产生．

参考答案

N＝mω2r，a＝g－μω2r

跟踪反馈

1．一辆载重卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图38－5所示．由于轮胎已旧，途中爆了胎，你认为在图中A、B、C、D四处中，爆胎的可能性最大的一处是

[ ]

2．图38－6为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象．其中A为双曲线的一支．则由图线可知

[ ] A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的线速度大小不变

3．如图38－7所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距L/2的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是

[ ] A．小球的线速度没有变化

B．小球的角速度突然增大到原来的2倍

C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍

D．绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍

4．如图38－8所示，在电动机距转轴O为r处固定一个质量为m的铁块．启动后，铁块以角速度ω绕轴匀速转动，电动机对地面的最大压力与最小压力之差为

[ ] A．m(g＋ω2r) B．m(g＋2ω2r) C．2m(g＋ω2r) D．2mrω2

参考答案

1．B 2．AC 3．ABC 4．D