简单的线性规划问题与基本不等式

简单的线性规划问题与基本不等式

一、选择题：

.(·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组(\\(＋－≥，－≤，－＋≥))(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为()

．－．．．

解析：不等式组(\\(＋－≥，－≤，－＋≥))所围成的区域如图所示．

则()，()，(＋)

且>－，∵△＝，∴(＋)×＝，解得＝. 答案：

．已知是由不等式组(\\(－≥，＋≥))所确定的平面区域，则圆＋＝在区域内的弧长为()

解析：如图，、的斜率分别是＝，＝－，不等式组表示的平面区域为阴影部分．

∵∠＝＝，

∴∠＝，∴弧长＝·＝. 答案：

.(·天津高考)设变量、满足约束条件(\\(＋≥，－≥－，－≤，))则目标函数＝＋的最小值为()

．．7 C．．

解析：约束条件(\\(＋≥，－≥－，－≤))表示的平面区域如图

易知过()时，目标函数＝＋取得最小值．

∴＝×＋×＝. 答案：

．(·陕西高考)若，满足约束条件(\\(＋≥，－≥－，－≤，))目标函数＝＋仅在点()处取得最小值，则的取值范围是()

．(－) ．(－) ．(－] ．(－)

解析：可行域为△，如图

当＝时，显然成立．当＞时，直线＋－＝的斜率＝－＞＝－，＜.

当＜时，＝－＜＝，∴＞－.综合得－＜＜.

答案：

.(·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将台洗衣机运往邻近的乡镇．现有辆甲型货车和辆乙型货车可供

使用．每辆甲型货车运输费用元，可装洗衣机台；每辆乙型货车运输费用元，可装洗衣机台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为() ．元．元．元．元

解析：设需使用甲型货车辆，乙型货车辆，运输费用元，根据题意，得线性约束条件(\\(＋≥，≤≤，≤≤，))求线性目标函数＝＋的最小值．

解得当(\\(＝，＝))时，＝. 答案：

．(·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用原料吨、原料吨；生产每吨乙产品要用原料吨、原料吨．销售每吨甲产品可获得利润万元、每吨乙产品可获得利润万元.该企业在一个生产周期内消耗原料不超过吨、原料不超过吨，那么该企业可获得最大利润是()

．万元．万元．万元．万元

解析：设该企业生产甲产品为吨，乙产品为吨，则该企业可获得利润为

＝＋，且(\\(≥，≥，＋≤，＋≤，))联立(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))

由图可知，最优解为()，∴的最大值为＝×＋×＝(万元)．

答案：

.设、均为正实数，且＋＝，则的最小值为()

．．4 ．．

解析：由＋＝可得＝＋＋. ∵，均为正实数，

∴＝＋＋≥＋(当且仅当＝时等号成立)，即－－≥，

可解得≥，即≥，故的最小值为. 答案：

．(·天津高考)设>，>.若是3a与的等比中项，则＋的最小值为()

．．4 C．

解析：∵是3a与的等比中项，∴()＝3a·. 即＝3a＋，∴＋＝.

此时＋＝＋＝＋(＋)≥＋＝(当且仅当＝＝取等号)．答案：

．已知不等式(＋)(＋)≥对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为()

．．6 C．．

解析：(＋)(＋)＝＋·＋＋≥＋＋＝＋＋，

当且仅当·＝等号成立，所以()＋＋≥，

即()＋－≥，得≥或≤－(舍)，所以≥，即的最小值为.

答案：

．设、是正实数，以下不等式

①>；②>－－；③＋>－；④＋>恒成立的

序号为()

．①③．①④．②③．②④

解析：∵、是正实数，∴①＋≥?≥?≥.

当且仅当＝时取等号，∴①不恒成立；②＋>－?>－－恒成立；

③＋－＋＝(－)≥，当＝时，取等号，∴③不恒成立；

④＋≥＝>恒成立．答案：

.若是－与＋的等比中项，则的最大值为()

．1 C

解析：∵是－与＋的等比中项，∴＝－?＋＝.

根据基本不等式知≤≤＝. 即的最大值为. 答案：

．若，是正常数，≠，，∈(，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数()＝＋(∈(，))取得最小值时的值为()

．．

解析：由＋≥得，()＝＋≥＝.

当且仅当＝时取等号，即当＝时()取得最小值. 答案：

二、填空题：

．点()和(－)在直线－＋＝的两侧，则的取值范围是．

解析：点()和(－)在直线－＋＝的两侧，

说明将这两点坐标代入－＋后，符号相反，

所以(－＋)(－－＋)＜，解之得－＜＜. 答案：(－)

. 设为实数，

若错误!?{(，)＋≤}，

则的取值范围是．

解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：

如果－>，则可行域取到＜－的点，不能在圆内；

故－≤，即≥.

当＋＝绕坐标原点旋转时，直线过点时为边界位置．此时－＝－，

∴＝.∴≤≤. 答案：≤≤

．(·太原模拟)若直线－＋＝(>，>)和函数()＝＋＋(>且≠)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数()的解析式是．

解析：函数()＝＋＋的图象恒过(－)，故＋＝，＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当＝时取等号，将＝代入＋＝得＝－，故()＝(－)＋＋.

答案：()＝(－)＋＋

．已知关于的不等式＋≥在∈(，＋∞)上恒成立，则实数的最小值为．

解析：因为>，所以＋＝(－)＋＋2a≥＋

＝2a＋，即2a＋≥，所以≥，即的最小值为. 答案：

三、解答题：

．已知关于、的二元一次不等式组(\\(＋≤，－≤，＋≥.))

()求函数＝－的最大值和最小值；

()求函数＝＋＋的最大值和最小值．

解：()作出二元一次不等式组(\\(＋≤，－≤，＋≥))表示的平面区域，如图所示．

由＝－，得＝－，得到斜率为，在轴上的截距为－，随变化的一组平行线，

由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距－最大，即最小，

解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得(－)，∴＝×(－)－＝－.

当直线经过可行域上的点时，截距－最小，即最大，

解方程组(\\(＋＝，－＝，))得()，∴＝×－＝.

∴＝－的最大值是，最小值是－.

()作出二元一次不等式组(\\(＋≤，－≤，＋≥))表示的平面区域，如图所示．