线性代数复习题(选择填空题)知识分享

线性代数复习题

一、选择题

练1、如果排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为 B

A 、a -

B 、10a -

C 、10a -

D 、2a -或2a +

练2、如果排列12...n a a a 的逆序数为k ，则排列11...n n a a a -的逆序数为 C

A 、1k -

B 、n k -

C 、(1)2

n n k -- D 、2n k - 练3、若12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则j i ,的值为 A

A 、1=i 2=j

B 、2=i 1=j

C 、2=i 3=j

D 、3=i 2=j

4、下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是___A_______

A 、

1544223153a a a a a B 、2132411554a a a a a C 、3125431452a a a a a D 、1344324155a a a a a 练5、行列式103100204

199200395301300600

等于___A______

A 、2000

B 、2000-

C 、1000

D 、1000-

练6、行列式0001

0020

0300

4000等于 A

A 、24

B 、24-

C 、0

D 、12

练7、根据行列式定义计算2121

11()3

21111x

x x f x x x -=中4x 的系数是 B

A 、1

B 、2、

C 、2-

D 、1-

练8、利用克莱姆法则判断齐次线性方程组解的个数时，当系数行列式0D =时，

说明方程解的个数是 C

A 、1

B 、0

C 、无穷多个

D 、无法判断

练9、如果能够利用克莱姆法则求解线性方程组时，若方程的个数是m 个，未知

数的个数是n 个，则 C

A 、n m <

B 、n m >

C 、m n =

D 、无法比较和m n

10、已知齐次线性方程组1231231

230020ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有非零解，则,a b 满足 D

A 、1a b +=

B 、1a b -=

C 、01a b ==或

D 、10a b ==或

练11、若齐次线性方程组000x y z x y z x y z λλλ++=??++=??++=?

有非零解，则λ= B

A 、1或1-

B 、1或2-

C 、1-或2-

D 、1-或2

12、若 304050x ky z y z kx y z ++=??+=??--=?

有非零解，则k =___B_____

A 、0k =或 2k =

B 、1k = 或3k =

C 、2k =或2k =-

D 、2k =-

13、设A 是三阶方阵，且4A =，则2

12A ??= ??? B A 、4 B 、14

C 、1

D 、2 练14、设X 是n 维列向量，则X λ= D

A 、X λ

B 、X λ

C 、n X λ

D 、n X λ

练15、设A 为三阶方阵，2λ=-，3A =，则A λ=___B_______

A 、 24

B 、24-

C 、6

D 、6-

练16、设C B A ,,都是n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则222A B C ++= A

A 、E 3

B 、E 2

C 、E

D 、O

17、设,A B 都是(2n n ≥）阶方阵，则必有__B_____

A 、A

B A B +=+ B 、AB BA =

C 、AB BA =

D 、 A B B A -=-

练18、设B A 、都是n 阶方阵，λ为常数，则下列正确的是___D_______

A 、()///A

B A B = B 、()111AB A B ---=

C 、/A A λλ=

D 、B A AB =

练19、若n 阶方阵A 、B 都可逆，AXB C =，则X = C

A 、11A

C -- B 、11CB A -- C 、11A CB --

D 、11B CA --

练20、设A 是()2≥n n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则A A *=_____D_____

A 、2A

B 、 n A

C 、2 n A

D 、21 n A -

练21、设A 是()2n n >阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则正确的是 C

A 、AA A *=

B 、/1A A A

*= C 、0A ≠，则0A *≠ D 、若()1R A =，则()1R A *= 练22、设A 是n ()2n ≥阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则

A 、A

B = B 、A B ≠

C 、若0A >则0B >

D 、若0A =，则一定有0B =

练23、以下的运算中，能同时利用初等行变换和初等列变换求解的是 A

A 、计算行列式的值

B 、求逆矩阵

C 、解线性方程组

D 、以上都不是

练24、设A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，???? ?

?=00B A C ，则C 等于__D_____ A 、B A B 、B A - C 、()B A n m 1-+ D 、()B A mn 1-

练25、设矩阵A 是m n ?矩阵，矩阵C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，矩阵B AC =，

且()1R B r =，则 ____C______

A 、1r r <

B 、1r r >

C 、1r r =

D 、无法判断

练26、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 B

A 、????? ??001010100

B 、

????? ??010000001 C 、 ????? ??100020001 D 、????

? ??-100210001 练27、向量组12,,...,n ααα线性相关的充要条件为___C_____

A 、12,,...,n ααα中有一个零向量

B 、12,,...,n ααα中任意两个向量成比例

C 、12,,...,n ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合

D 、12,,...,n ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合

练28、n 维向量组12,,...,s ααα()n s ≤≤3线性无关的充要条件为_____C________

A 、12,,...,s ααα中任何两个向量都线性无关

B 、存在不全为0的数12,,...,s k k k ，使得1122...0s s k k k ααα+++≠

C 、12,,...,s ααα中任何一个向量都不能由其余向量的线性表示

D 、12,,...,s ααα中存在一个向量不能由其余向量的线性表示

29、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 A

A 、12αα-，23αα-，31αα-

B 、12αα+，23αα+，31αα+

C 、1α，12αα+，123ααα++

D 、122αα+，232αα+，312αα+ 练30、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 A

A 、12αα-，23αα-，31αα-

B 、12αα+，23αα+，31αα+

C 、122αα-，232αα-，312αα-

D 、122αα+, 232αα+，312αα+ 练31、设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 A

A 、12αα-，23αα-，31αα-

B 、12αα+，23αα+，31αα+

C 、1α，12αα+，123ααα++

D 、12αα+，232αα+，313αα+ 练32、已知12,ββ是方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则Ax b =的通解为____B________

A 、()12112122k k -++

ββαα+α B 、()12112122

k k ++-+ββααα C 、()12112122k k -+++ββαββ D 、()12112122

k k ++++ββαββ 33、若A 是正交阵，则下列各式中 D 是错误的 A 、E A A =' B 、E A A =' C 、1-='A A D 、A A =' 练34、下列矩阵中哪个是正交矩阵 D

A 、?????? ??-212221

B 、???? ??-0111

C 、?????? ??53545453

D 、?????

? ??-53545453 35、已知三阶矩阵A 有特征值1,1,2-，则下列矩阵中可逆的是 D Ａ、E A - B 、E A + C 、2E A - D 、2E A +

练36、设????

? ??-=10021421x A ，且A 的特征值为1,2,3 ，则=x __B_______

A 、5

B 、4

C 、3

D 、1-

练37、n 阶方阵A 可逆的充要条件是 B

A 、A 的特征值全为0

B 、A 的特征值全不为0

C 、A 至少有一个特征值不为0

D 、A 的特征值全为0或1 练38、设2λ=是可逆矩阵A 的特征值，则矩阵1

23A -?? ???有一个特征值等于______C______

A 、43

B 、12

C 、34

D 、14

练39、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是与对角矩阵相似的 B

A 、充分必要条件

B 、充分非必要条件

C 、必要非充分条件

D 、既非充分又非必要条件练40、n 阶方阵A 与对角矩阵相似，则 D

A 、方阵A 有n 个不都相等的特征值

B 、()r A n =

C 、方阵A 一定是对称阵

D 、方阵A 有n 个线性无关的特征向量

41、、设三阶实对称矩阵A 的特征值为122λλ==，38λ=，对应于122λλ==的

特征向量是1110x -??

?= ? ??? ，2101x -?? ?= ? ???

，则对应于38λ=的特征向量是 C A 、12,x x 中的一个 B 、()/123 C 、()/

111 D 、相交但不垂直练42、设A 为三阶矩阵，1231,1,2λλλ==-=为A 的3个特征值，对应的特征向量依次为123,,ααα，令321(,2,3)P ααα=，则1P AP -= D

A 、100010002?? ?- ? ???

B 、200020003?? ?- ? ???

C 、100020006?? ?- ? ???

D 、200010001?? ?- ? ??? 练43、实二次型()2

322212132132,,x tx x x x x x x f +++=，当=t B ，其秩为2 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

二、填空题

练1、排列2，6，3，5，1，9，8，4，7的逆序数是 13 练2、当i = 8 ，j = 3 时，1274569i j 是偶排列

练3、带负号且包含因子23a 和31a 的项为 14233142a a a a -

练4、带正号且包含因子23a 和31a 的项为 14233241a a a a

5、在五阶行列式中，项1231544325a a a a a 的符号应取正号

练6、在六阶行列式中，项132432455661a a a a a a 的符号应取负号

练7、在函数x

x x x x x f 211

12)(---=中，3x 的系数为 2

8、311

()13

x f x x x x x -=--中，3x 的系数为 3-

练9、21120

310

1311112

x x ----的展开式中2x 的系数为 7 练10、设111213212223313233

a a a A a a a a a a =，且3A =，则1112

132122

233132332222222222a a a A a a a a a a == 24 练11、设五阶行列式3A =，先交换第1，5两行，再转置，最后用2乘以所有

元素，其结果为 96-

练12、设行列式010

200003

D =，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式，则313233A A A ++=

13、计算()40132573?? ?

?- ? ?-??

= ()5- 14、222()2A B A AB B +=++的充要条件为 AB BA =

练15、22()()A B A B A B -=+-的充分必要条件是 AB BA =

16、设3318

A ?= ，则()22A = 1 17、设442A ?=，552

B ?=-，则A B -= 64

18、设A 是3阶矩阵，2A =，1A -为A 的逆矩阵，则12A -的值为______4________ 练19、设A 是3阶矩阵，12A =，则1(3)A A -*-= 1108

- 练20、已知为A 四阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且3A =，则

1143A A *--=_27__ 练21、设A 是3阶矩阵，且9A *=，则1A -= 13

± 练22、设A 是三阶方阵，且13A -=，则2A = 83

练23、设,A B 都是n 阶方阵，且2A =，3B =-，则12A B

*-= 2123n -- 24、设111111111111k k A k k ?? ? ?= ? ???

，且秩()3r A =，则k = 3- 练25、A 为n 阶反对称矩阵，则/A A += 0

练26、设矩阵A 满足240A A E +-=，其中E 为三阶单位矩阵，

则1()A E --= 1(2)2

A E + 练27、设矩阵A 满足220A A E --=，其中E 为三阶单位矩阵，

则1A -= 1()2

A E - 28、设是3阶矩阵，且A

B E =，200010003A ?? ?= ? ???，则B = 10020101003B ?? ? ?= ? ? ??

29、设33100111100011111011001222001?????? ? ???---= ? ??? ? ?????????

1145520228?? ? ? ???

30、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12αα-=_()1,0,1-_______

31、已知向量()()()1231,1,0,0,1,1,3,4,0ααα===，则12332ααα+-=__()0,1,2__

32、已知1233()2()5()αααααα-++=+，其中()12,5,1,3,α=()210,1,5,10,α=

()34,1,1,1,α=-则α=_()6,12,18,24__________

练33、已知)9,7,5,3(=α，()1,5,2,0β=- ，x 满足βα=+x 32 ，

则=x ()17,5,12,183

- 34、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，则23+-=αβγ (5,4,2,1)

35、设向量()(2,0,1,3),(1,7,4,2),0,1,0,1=-=-=αβγ，若有x ，满足

3520x -++=αβγ，则x = 57,1,,822??-- ???

练36、当=k 8- 时)5,,1(k =β能由1(1,3,2)α=-，2(2,1,1)α=-线性表示

37、设有向量组()13,2,5α=，()22,4,7α=，()35,6,αλ=，()1,3,5β=。

当λ 12≠ 时，β能由321,,ααα线性表示。

练38、设()/

1,0,1,2α=-，()0,1,0,2β=，矩阵A αβ=，则()R A = 1

39、向量组()()()1231,1,1,0,2,5,1,3,6ααα===是线性相关（填相关还是无关）

40、向量组()()()1231,1,0,0,2,0,0,0,1ααα===是线性无关（填相关还是无关）

41、向量组1(1,0,1)α'=，2(2,2,0)α'=，3(0,3,3)α'=是线性无关（填相关还是

无关）

42、向量组1(3,1,0,2)α'=，2(1,1,2,1)α'=--，3(1,3,4,4)α'=-是线性相关（填

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质定义记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式（一）要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

线性代数知识点总结归纳

线性代数知识点总结归纳第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数必考知识点

2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：

大一线性代数必考知识点

2012年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基；

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++

线性代数知识点总结(第5章)

线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。 2、特征多项式、特征方程的定义： |λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。 |λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。注:特征方程可以写为|A-λE|=0 3、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。 △4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解 5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn 注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略) （2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解） 6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1≤n-r（λi E-A）≤k i （3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii （4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵 7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B 8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量10、相似对角化的充要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件：（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）（2）A为实对称矩阵

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