2009数值分析复习题(含答案)
完成以下各题。题目全部使用公式进行计算，不用程序代码。
1.叙述在数值运算中误差的来源？误差分析的原则是什么？
误差的来源于分类：
利用算法求解数学问题之所以产生误差，主要受下面几个因素影响。 A 、模型误差，建立的数学模型与实际问题之间的差别引起的误差。
B 、观测误差，利用实验方法（或测量工具）获得实验(测量)数据时，由于不可能达到绝对准确的程度而造成的误差。
C 、截断误差，算法设计中为了算法的可执行性，用能够计算的或更容易计算的数学问题代替不易计算的问题时产生的误差。
D 、舍入误差。计算机完成的所有计算过程中得到得任何数都只能保留有限位数字造成的。 数值计算中误差是不可避免的， 所以求解任何一个数学问题除研究各种算法外，还必须分析该算法的计算结果是否满足精度要求，这是误差分析的任务。
原则：1要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 2要避免两相近数相减； 3要防止大数‘吃掉’小数 4注意简化计算步骤，减少运算次数
2.将Newton-Cotes 求积公式、复化求积公式、Romberg 算法、Gauss 求积公式等几种数值积分法进行比较。
中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式 插值型求积公式介绍了牛顿─柯特斯公式和高斯公式两类。前者取等距节点，算法简单而容易编制程序。但是，由于在n ≥8 时出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性。因此实用的只是低阶公式。解决长区间与低阶公式的矛盾是使用复化求积公式,
因此，常用的数值积分法都是复化求积公式。高斯公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以通过选择恰当的权函数，用于计算奇异积分和广义积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。 龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法，必须熟练地掌握
3. 对于一阶微分方程的初值问题?
??==00)()
,('y x y y x f y 数值解法的基本特点是采用“步
进法”，将求解区间和微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。现
由已建立的递推公式)],(),([2111+++++≈n n n n n n y x f y x f h
y y ，叙述改进的欧拉
法的基本思想和计算步骤。
用矩形法进行数值积分则
?
-≈1
)())(,()(,(0100x x x x x y x f dt t y t f
因此有
∑
?
?
==≈n
k k k b
a
b
a x f A dx x P x x f 0
)
()(d )(
)
,()
))((,()(000010001y x hf y x x x y x f y x y +=-+≈
可见，用矩形法计算右端的积分与用欧拉法计出的结果完全相同。因此也可以说欧拉法的精度之所以很低是由于采用矩形法计算右端积分的结果。可以想象，用梯形公式计算（9.8）式右端的积分，可期望得到较高的精度。这时
?
-+≈1
0)())}(,())(,({2
1
))(,(011100x x x x x y x f x y x f dt t y t f 将这个结果代入微分公式并将其中的y (x 1)用y 1近似代替，则得
)],(),([2
1
110001y x f y x f h y y ++=
这里得到了一个含有y 1的方程式，如果能从中解出y 1，用它作为y (x 1)的近似值，可以认为比用欧拉法得出的结果要好些。仿照求y 1的方法，可以逐个地求出y 2, y 3，…。一般地当求出y n 以后，要求y n +1，则可归结为解方程：
[]),(),(2
111+++++=n n n n n n y x f y x f h
y y
这个方法称为梯形法则。用梯形法则求解，需要解含有y n +1的方程式，这常常很不容易。为此，在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为
[]
??
???=++=+=+++++,...
2,1,0)
,(),(2),()(11)1(1)0(1k y x f y x f h y y y x hf y y k n n n n n k n n n n n 预报和校正
先用欧拉法由(x n , y n )得出y (x n +1)的初始近似值)
0(1+n y ，然后用上式中第二式进行迭代，反复改进这个近似值，直到ε<-+++)(1)1(1k n k n y y （ε为所允许的误差）为止，并把)(1k n y +取作y (x n +1)的近
似值y n +1。这个方法就叫改进欧拉方法。
4.已知函数2
11
x y +=
的一组数据2,1,0=i x ，2.0,5.0,1=i y 。求分段线性插值函数，并计算)5.1(f 的近似值。
F （1.5）=0.35000
5.函数x e 在区间［-1,1］有近似分段二次插值多项式，在节点等距的情况下，使用多少个插值节点能够保证截断误差不超过5105.0-?。
6. 已知1)1(-=-P ,0)0(')0(==P P ,1)1(')1(==P P ,求一个不高于4次的插值多项式，并写出余项。
7．有数据：4,3,2,1=i x ，15,20,30,60=i y ，用公式bx ae y =求最小二乘拟合方程。
8.确定求积公式)](3)(2)1([3
1
)(2111x f x f f dx x f ++-≈?-中的待定系数，使得求积
公式的代数精度尽可能高，并指明其代数精度。
9. 用龙贝格算法计算积分dx x
I ?=31
1
，真值＝1.098612289。
10. 用简单迭代法求方程01)(3=--=x x x f 在5.10=x 附近的根。用两种以上的迭代函数进行求解，并讨论收敛性。