常微分方程的基本概念

考点：常微分方程的基本概念【☆☆☆☆☆】

1.微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 若未知函数是一元函数，则称为常微分方程； 若未知函数是多元函数，则称为偏微分方程. 考题链接：

例：*320y x y x y xdy ydx ''=++=+=，， 2.阶：未知函数的最高阶导数的阶数. 考题链接：

例：微分方程()2

420x y y x y '''+-=的阶数是（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

3.性微分方程：

()()()()()()*012n

n f x y f x y f x y f x y f x '?+?+?+

+?=

考题链接：

例：判断下列函数是否为线性方程. （1）2y x y '=+ （2）2sin y x y x '=++ （3）sin 0y x y '-+= （4）2y yy x '''-= （5）()2

3y x y '=+

4.解：若()y x ?=代入方程成为恒等式，则称()y x ?=为方程的一个解.

（1）通解：含有相互独立（不能合并，212y C x C x =+与12y C x C x =+）的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的微分方程的解. （2）特解：不含任意常数的解.

例1：某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ） A.sin y C x =

B.12sin cos y C x C x =+

C.sin cos y x x =+

D.()12cos y C C x =+

例2：函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是微分方程0y y ''+=的（ ） A.通解

B.特解

C.解

D.不是解

例3：已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a =________.

考点：可分离变量的微分方程【☆☆☆☆☆】

（1）标准形式：()()f y dy g x dx =

（2）解法：①分离变量，化为标准形式；②两边同时积分. 例1：微分方程0dx dy y x

+=的通解是（ ） A.2225x y += B.34x y C += C.22x y C +=

D.227y x -=

例2：方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=的通解为________. 例3：微分方程220dy xy dx -=满足条件()11y =-的特解是（ ） A.21

y x

=

B.21y x

=-

C.2y x =

D.2y x =-

考点：齐次方程【☆☆☆☆☆】

（1）标准形式：y y f x

??

= ???

考题链接： 例：22x y x y '=+不是

222x y x y '=+是

（2）解法：①化为标准形式； ②令y

u x

=

，代入方程消去y ； ③化为x 与u 的可分离变量的微分方程，求解. 例：求sin 0y xy x y x

'--=的通解.

考点：一阶线性微分方程【☆☆☆☆☆】

（1）标准形式：()()y P x y Q x '+=

（2）解法：①化为标准形式；

②套公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -????=+ ???

?

注：在此公式中，解不定积分时，不加绝对值，也不加任意常数C . 例：解方程3xy y x '-=.

考点：二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x '''++=【☆☆☆☆☆】 1.解的结构定理

()()0y p x y q x y '''++=（齐次）..............① ()()()y p x y q x y f x '''++=（非齐次）..............②

若()Y x 是①的通解，()*y x 是②的特解，则()()*Y x y x +为②的通解. 2.写出特解形式

①若()()x n f x P x e λ=，特解形式应设为()*k x n y x Q x e λ=，其中012k λλλ??

???

不是特征根是单根是重根

例1.用待定系数法求方程()24421x y y y x e '''-+=+的特解时，特解应设为________. 例2.微分方程2x y y y xe -'''+-=的特解用特定系数法可设为（ ） A.()*x y x ax b e -=+ B.()*2x y x ax b e -=+ C.()*x y ax b e -=+ D.*x y axe -=

例3.微分方程x y y xe -'''+=的特解形式应设为*y =（ ） A.()x x ax b e -+ B.ax b + C.()x ax b e -+

D.()2x x ax b e -+

例4.对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A.*2y ax bx c =++ B.()*22y x ax bx c =++ C.()*y x ax b =+

D.()*2y x ax bx c =++

②若()()cos sin x f x C x D x e λωω=+，特解形式应设为()*cos sin k x y x A x B x e λωω=+，其

中01i k i λωλω±?=?

±?不是特征根

是特征根

考题链接：

例1：微分方程sin cos y y x x ''+=+特解形式应设为*y =________. 例2：微分方程32cos x y y y e x -'''++=特解形式应设为*y =（ ） A.cos x Ce x

B.()12cos sin x e C x C x +

C.()12cos sin x xe C x C x +

D.()212cos sin x x e C x C x +

3.求通解

①求出与其对应的齐次方程*0y py qy '++=的通解Y ； ②利用待定系数法求出非齐次的一个特解*y ； ③写出非齐次的通解*y Y y =+.

考点：可降阶的高阶微分方程【☆☆☆☆☆】

1.()()n y f x =型 解法：作n 次不定积分 考题链接：

例：微分方程24y x '''=通解为________. 2.()y f x y '''=，型

解法：令y p '=，两边对x 求导，y p '''=，然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.

例：微分方程4xy y x '''+=的通解为. 3.()y f y y '''=，型

解法：令y p '=，两边对x 求导，dp dp dy dp

y p dx dy dx dy

'==?=，然后代入原方程，转化为一阶微分方程求解.

例：求微分方程()2

0yy y '''-=的通解.

考点：二阶常系数齐次线性微分方程【☆☆☆☆☆】

1.解的结构定理：

若()()12y x y x ，都是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则线性组合1122C y C y +（12C C ，为任意常数）仍为它的解.若()()12y x y x ，线性无关（()210y ky k ≠≠），则1122C y C y +为它的通解. 2.求通解：

①写出相应的特征方程20r pr q ++= ②求出特征根12r r ， ③写出通解.

通解形式：不同实根1

2

1212r x r x r r y C e C e ≠=+，

重根1212rx rx r r r y C e C xe ===+，

共轭复根()1,212cos sin x r i y e C x C x ααβββ=±=+，

例1：微分方程20y y y '''++=的通解为（ ） A.12x x C e C e -+

B.12x C C e -+

C.12x x C e C e --+

D.()12x C C x e -+

例2：微分方程40y y ''-=的通解为（ ） A.2212x x y C e C e -=+ B.()212x y C C x e =+ C.212x y C C e =+

D.12cos2sin 2y C x C x =+

例3：求微分方程222430d y dy

y dx dx

++=的通解.

3.已知通解，反求微分方程 ①找出特征根； ②写出特征方程； ③写出微分方程. 考题链接：

例1：通解为312x x y C e C xe -=+（为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为________.

例2.以3312x x y C e C xe --=+为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________.

考点：空间直角坐标系【☆☆☆☆☆】

1.空间直角坐标系

三个坐标轴：x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），它们的正向满足右手法则

三个坐标平面 八个卦限

2.空间内点的坐标()x y z ，，

（1）坐标轴上的点：x 轴（x ，0，0），y 轴（0，y ，0），z 轴（0，0，z ） （2）坐标平面上的点：xOy 平面（x ，y ，0），yOz 平面（0，y ，z ），xOz 平面（x ，0，z ） 3.两点间的距离

()()

1111222212M x y z M x y z M M =

，，，，，考点：向量的概念【☆☆☆☆☆】

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量. （2）向量的表示方法 ①坐标表示：()x y z a a a a =，，

已知()()111222A x y z B x y z ，，，，，，则()212121AB x x y y z z =---，，. ②向量表示：x y z a a i a j a k =++

其中分别为沿坐标轴x ，y ，z 正向的单位向量，即()()()1,0,00,1,00,0,1i j k ===，

， （3）向量的横：2x a a a =+考题链接：

例：向量34a i j k =+-的模a =________. （4）单位向量：模长为1的向量. （5）单位化：

a a

（6）方向角与方向余弦

①方向角：非零向量a 与三条坐标轴的夹角αβγ，，称为向量a 的方向角.

[]0αβγπ∈，，，

②方向余弦：cos cos cos y x z a a a a

a

a

αβγ=

=

=

，，，222cos

cos cos 1αβγ++=

例1：已知两点(A 和B （1，3，0）计算向量AB 的模、方向余弦和左向角. 例2：下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ） А.446

πππ

，，

B.432

πππ

，，

C.434

πππ

，，

D.433

πππ

，，

考点：向量的线性运算【☆☆☆☆☆】

（1）{}x x y y z z a b a b a b a b ±=±±±，， （2）()x y z a a a a λλλλ=，，，a λ与a 平行. 定理：//y x z

x y z

b b b b a b a a a a λ?=?== 考题链接：

例：已知向量{}5,,2a x =-和{},6,4b y =平行，则x 和y 的值分别为________.

考点：向量的数量积（点积、内积）

（1）定义：cos ,cos a b a b a b a b θ∧??

?== ???

两向量的夹角余弦：cos a b a b

θ?=

（2）计算：x x y y z z a b a b a b a b ?=++.

例1：已知向量{}1,1,2a =和{}2,1,1b =-的夹角为________. 例2：已知向量{}01,1,2a =和{}2,0,1b =的夹角为________. （3）性质： ①2

a a a ?= ②a

b b a ?=?

（4）充要条件：0a b a b ?=?⊥

考点：向量的向量积（叉积、外积）

（1）定义：c a b =? ①大小：sin a b a b θ?=

几何意义：以,a b 为邻边的平行四边形的面积. ②方向：,c b c a ⊥⊥，且,,a b c 满足右手法则. （2）计算：

x

y z x

y

z

i

j k a b a a a b b b ?= 例1：设{}{}2,1,11,1,2a b =-=-，

，则a b ?=________. 例2：若{}{}{}0,1,11,0,11,1,0a b c ===，

，，则()a b c ??=________. 例3：由{}{}1,0,10,1,2a b =-=，

为邻边构成的平行四边形的面积为________. 例4：已知点()()()412122201A B C --，

，，，，，，，，求△ABC 的面积.

（3）性质： ①0a a ?= ②a b b a ?=-? 考题链接：

例：对任意两向量a b ，，下列等式不恒成立的是（ ） A.a b b a +=+ B.a b b a ?=?

C.a b b a ?=?

D.()()2

2

2

a b a b a b ?+?=

（4）充要条件：0//a b a b ?=?

考点：a 在b 上的投影【☆☆☆☆☆】

a 在

b 上的投影：0

Pr cos b a b a b j a a b

θ??===

考题链接：

例：向量{}112a =-，

，在{}0,3,4b =上的投影为________.

考点：空间曲面及其方程【☆☆☆☆☆】

1.球面

球心在点()0000M x y z ，，，半径为R 的球面方程为

()()()

222

2000x x y y z z R -+-+-=

球面的一般方程：2220Ax Ay Az Dx Ey Fz G ++++++=

球面方程特点：①三元二次方程，②缺交叉项③平方项系数相同. 2.柱面

柱面：直线（母线）沿着定曲线（准线）平行移动所产生的曲面. 柱面方程特点：二元方程. 考题链接：

例1：方程2221x y -=表示的二次曲面是（ ） A.球面 B.旋转抛物面 C.柱面

D.圆锥面

例2：下列方程在空间直角坐标系中所表示图形为柱面的是（ ）

A.22

273

x z y += B.22

144

x y z -=-

C.222

14169

x y z =--

D.2220x y x +-=

3.旋转曲面

（1）坐标面内的曲线绕某坐标轴旋转，得到的旋转曲面的方程为：该坐标轴对应的变量不变，而另一变量改成该变量与第三个变量平方和的正负平方根. ①xOy 平面上的曲线()0

0f x y z ?=?

=?

，，

绕x 轴旋转得到的曲面方程为：(

0f x ±=，

绕y 轴旋转得到的曲面方程为：()0f y =

②yOz 平面上的曲线()0

0f y z x ?=?

=?

，

绕y 轴旋转得到的曲面方程为：(0f y ±=，

绕z

轴旋转得到的曲面方程为：()

0f z = ③xOz 平面上的曲线()0

0f x z y ?=?

=?

，，

绕x

轴旋转得到的曲面方程为：(

0f x ±=，

绕z

轴旋转得到的曲面方程为：()0f z =

例1：双曲线22

1

340x z y ?-=???=?

绕z 轴旋转所成的曲面方程为（ ）

A.222134

x y z +-=

B.222

134x y z +-= C.

()

2

2

13

4

x y z +-=

D.()2

2134

y z x +-= 例2：曲线L ：220y x

z ?=?=?

绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为________.

（2）特点：至少有2个变量的二次项系数相等. 考题链接：

例：下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（ ）

A.22

132

x z += B.22z x y =- C.22y x z =-

D.2222z x y -=

4.常见的二次曲面

（1）椭球面：222

2221x y z a b c ++=

（2）单叶双曲面：222

2221x y z a b c +-=

双叶双曲面：222

2221x y z a b c

+-=

（3）锥面：222

2220x y z a b c

+-=

（4）椭圆抛物面：22

22x y z p q +=（p ，q 同号）

双曲抛物面：22

22x y z p q

-=（p ，q 同号）

考点：空间平面方程【☆☆☆☆☆】

1.平面的点法式方程：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 考题链接：

例：求过点（2，-3，0）且以()123n =-，

，为法向量的平面方程. 2.平面的一般式方程：0Ax By Cz D +++= 特殊的平面方程：

①0D =，π过原点（0，0，0）； ②0//C z π=，轴；

③0C D π==，，π过z 轴； ④0//B C yOz π==，平面.

例：求通过x 轴和点（4，-3，-1）的平面的方程.

3.平面的截距式方程1x

y z a

b

c

++=（a b c ，，平面在x ，y ，z 轴上的截距） 4.平面方程的求法 方法一：点法式法

①确定平面上一点()000x y z ，， ②求出平面的一法向量()n A B C =，， ③代入点法式方程，化简为一般式. 方法二：待定系数法 ①设出所求方程；

②将已知点的坐标代入方程，解方程（组）； ③回代，化简得方程.

例1：一平面过点（1，0，-4）且平行于向量{}2,1,1a =-和{}1,1,2b =-，求此平面的方程.

例2：过Oz 轴及点（3，-2，4）的平面方程为（ ） A.320x y += B.20y z += C.230x y +=

D.20x z +=

考点：两平面的位置关系【☆☆☆☆☆】

()

()

1111111112222222220

0A x B y C z D n A B C A x B y C z D n A B C ππ+++==+++==：，，：，，

①111

1212222

////A B C n n A B C ππ==?? 若1111

12222

A B C D A B C D π===，与2π重合. 若

1111

12222

A B C D A B C D π==≠，与2π平行但不重合. ②12121212120A A B B C C n n ππ++=?⊥?⊥.

③121212

cos cos 0,2n n n n n n πθθ∧?????==∈ ????????，

， 考题链接：

例1：平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A.重合

B.平行

C.垂直

D.斜交

例2：平面1x y z ++=与2x y z +-=的位置关系是（ ） A.重合

B.平行

C.垂直

D.相交但不垂直

例3：已知平面12570x y z π+-+=：与平面243130x y mz π+++=：垂

直，则m =________.

考点：点到平面的距离【☆☆☆☆☆】

1.点()0000M x y z ，，到平面0Ax By Cz D π+++=：的距离为d

=

考题链接：

例：点（3，2，-1）到平面10x y z ++-=的距离是________. 2两平行平面间的距离

11220

0Ax By Cz D Ax By Cz D d ππ+++=+++==

：：

考点：空间直线方程【☆☆☆☆☆】

1.直线的一般方程

11112222

00A x B y C z D L A x B y C z D +++=??

+++=?： 2.直线的点向式方程000

x x y y z z m n p

---==

考题链接：

例：过点（4，-1，3）且平行于直线31

215

x y z --==

的直线方程为________. 3.直线的参数方程

000000x x mt

x x y y z z t y y nt m n p z z pt

=+?---?

===?=+??=+?

4.直线的两点式方程111

212121

x x y y z z x x y y z z ---==--- 考题链接：

例：过两点()1321M -，

，和()2102M -，，的直线方程为_________. 5.直线的方程的求法 ①确定直线上一点()000x y z ，，

②求出直线的一方向向量()s m n p =，，； ③代入点向式方程.

例1：求过点A （1，2，1）且与直线l ：240

329x y z x y z -+=??

--=?

平行的直线方程.

例2：求过点A （2，-3，-1）且与直线l ：235

21x y z x z +-=??

+=?

平行的直线方程.

考点：两直线的位置关系【☆☆☆☆☆】

()

()

111

11111111222

22222222

x x y y z z L s m n p m n p x x y y z z L s m n p m n p ---==

=---==

=：，，：，，

①

1111212222

////m n p s s L L m n p ==?? ②12121212120m m n n p p s s L L ++=?⊥?⊥

③121212

cos cos 0,2s s s s s s πθθ∧?????==∈ ????????，

， 例1：直线

121113x y z --+==和24121

x y z +-==

-的关系是_________. 例2：直线1312x t

y t z t

=-??

=+??=-?

和234112x y z ---==

-的关系是（ ） A.平行但不重合 B.重合 C.垂直但不相交 D.垂直相交

考点：直线与平面的位置关系【☆☆☆☆☆】

()()

0000

x x y y z z L s m n p m n p

Ax By Cz D n A B C π---==

=+++==：，，：，，

①

////A B C

n s L m n p

π==?? ②0//Am Bn Cp n s L π++=?⊥?

将直线上已知点的坐标()000x y z ，，代入平面方程中，若恒成立，则直线在平面上，否则，平行.

③sin cos 02s n s n s n

πφφ∧?????

==∈ ????????，

，， 例1：直线L ：124

231

x y z -+-==

-与平面2340x y z -+-=的位置关系是（ ） A. L 在π上

B. L 与π垂直相交

C. L 与π平行

D. L 与π相交，但不垂直

例2：直线

112

311

x y z -+-==

-与平面230x y z +-+=的位置关系是（ ） A.互相垂直 B.互相平行但直线不在平面上 C.直线在平面上

D.斜交

例3：直线32

112

x y z -+==

-与平面10x y z --+=的位置关系是（ ） A.垂直

B.相交但不垂直

C.直线在平面上

D.平行

例4：若直线L ：

135

21

x y z m -+-==

-与平面210x y z π-+-=：平行，则m =________.

考点：空间曲线及其在坐标面上的投影

1.判断空间曲线的一般方程

()

()

1

2

F x y z

F x y z

?=

?

?

=

??

，，

，，

所表示的曲线类型

方法：解方程组后再判断.考题链接：

例1：方程

228

8

x y z

z

?-=

?

=

?

在空间直角坐标下的图形为________.

例2：方程

22

1

94

2

x y

x

?

+=

?

?

?=-

?

在空间直角坐标下的图形为________.

2.空间曲线在坐标面上的投影

（1）空间曲线关于坐标面的投影柱面方程（二元方程）；

①母线平行于哪个坐标轴，就把它对应的变量消去.

②求关于哪个坐标面的投影柱面，就把另外的变量消去.（2）空间曲线在坐标面上的投影（曲线）方程（方程组）：由上述二元方程和坐标面方程联立的方程组.

例1：母线平行于x轴且以曲线

222

222

216

x y z

x y z

?++=

?

-+=

?

为准线的投影柱面方程为

________.

例2：曲线

22

2

2

2

z x y

z x

?=+

?

=-

?

关于xOy平面的投影曲线方程为________.