北京市海淀区中考数学一模试卷

北京市海淀区中考数学一模试卷

数学 2011.5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个

．．是符合题意的．

1．-2的相反数是

A．

1

2

- B.

1

2

C. -2

D. 2

2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．将82 000 000 000 用科学计数法表示为

A．11

0.8210

? B．10

8.210

? C．9

8.210

?D．9

8210

?

3．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是

4. 一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一个球，取到

黄球的概率是

A.

1

8

B.

3

8

C.

1

3

D.

1

2

5. 用配方法把代数式245

x x

-+变形，所得结果是

A．2

(2)1

x-+B．2

(2)9

x--C．2

(2)1

x+-D．2

(2)5

x+-

6. 如图，ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC

的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是

A．20 B．22

C．29 D．31

7．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复赛. 若小新知道了自己的成绩，则由其他19名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是

A．平均数B．极差C．中位数 D．方差

8．如图，在Rt ABC

△中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A出发，

A B

D C

E

F

B C D

A

以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止.设2y PC =, 运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式

1

4

x -有意义，则x 的取值范围是 . 10. 分解因式: 269mx mx m -+= .

11. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°，

CH =1cm ，则AB = cm ．

12．如图，矩形纸片ABCD

中，AB BC =第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与

BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使

点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与

BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．

…

第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 …

D

C A B D

B A

D

C

B

B A D B A D

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13

021

1)()4sin 452

-+-?．

14．解不等式组：48011.3

2x x x -

+?-

15．如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，

DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， CO =DO ，A B ∠=∠. 求证：AE =BF .

16．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22

()(1)m m m m

--+的值.

17．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m

y x

=

的图象交于A （2，1），B （-1，n ）两点. （1）求k 和b 的值； （2）结合图象直接写出不等式0m

kx b x

+->的解集.

18．列方程或方程组解应用题：

“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑

换方法见右表. 爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里

积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种

礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种

礼品，各多少件?

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

A C D B

E

F

O

19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．

20. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;

（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.

21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选

择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）.

（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；

（2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学

生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率； （3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？

22．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），

记△DEF 的周长为p .

A D C

B A F

C O

B

M 32%其他16%音乐

12%美术%

体育

音乐美术体育其他

类别扇形统计图条形统计图

（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；

（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .

小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；

（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的

对称点恰好是点M ，求m 的值.

A B

D F

C E 1

图A

B D F

C E 1F 1

A 1

B 2D 1D 1

E 2

图（备图）

24．已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A . （1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及

梯形AOMN 的面积.

25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =

1

2

. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．

求证：BE -DE =2CF ；

（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长

度的最大值．

海淀区九年级第二学期期中练习

（备图1

）（备图2）

B C

A

D

E F

B D

E

A F

C

B

A

C

1

图2

图备图

数 学

参考答案及评分标准 2011.5

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=14+-

(4)

分

= 3.

…………………………….……………………………5分

14．解：解不等式480x -<，得 2x <, …………………………….……………………………2分

解不等式

1132

x x

+-<，得 2263x x +-<, 即 4x >-, (4)

分

所以，这个不等式组的解集是42x -<<. …………………………….……………………………5分

15．证明：在△COD 中,

∵ CO =DO ,

∴ ∠ODC =∠OCD . …………………………….……………………………1分 ∵ AC =BD ,

∴ AD =BC . (2)

分

在△ADE 和△BCF 中,

∵,,,A B AD BC EDA FCB ∠=∠??

=??∠=∠?

∴ △ADE ≌△BCF .

…………………………….……………………………4分

∴ AE =BF .

(5)

分

16．解：∵ m 是方程220x x --=的一个根，

∴ 220m m --=.

∴ 22m m -=，22m m -=.

(2)

分

∴ 原式=22

2

()(1)m m m m

--+

(3)

分

=2(

1)m

m

?+ (4)

分

=22?=4.

(5)

分

17．解：（1）∵ 反比例函数m

y x

=

的图象过点A （2，1）， ∴ m =2.

(1)

分

∵ 点B （-1，n ）在反比例函数2

y x

=的图象上， ∴ n = -2 .

∴ 点B 的坐标为（-1，-2）.

…………………………….……………………………2分

∵ 直线y kx b =+过点A （2，1），B （-1，-2）， ∴ 21,2.k b k b +=??-+=-?

解得1,1.k b =??=-?

(3)

分

（2）10x -<<或2x >. （写对1个给1分）

…………….……………………………5分

18．解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶.

设小华兑换了x 个保温杯和y 支牙膏，

(1)

分

依题意，得10,

20005008200200.x y x y +=??+=-?

(3)

分

解得2,

8.x y =??=?

(4)

分

答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏.

…………….……………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°. (1)

分

∵ AC ⊥AB ，

∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°,

∴ ∠ACB =30°.

∵ AD ∥BC ，

∴ ∠DAC =∠ACB =30°.

(2)

分

∴ 在Rt △ADE 中，DE =1

2

AD =3，AE

=，∠ADE =60°. ….………3分

∵ ∠ADC=105°，

∴ ∠EDC =45°.

∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3.

…………….……………………………4分

∴ AC =AE +CE

=3.

∴ 在Rt △ABC 中，AB =AC ?tan ∠ACB

=3)3=. (5)

分

20．证明：连接OF . （1） ∵ CF ⊥OC,

∴ ∠FCO =90°. ∵ OC =OB ， ∴ ∠BCO =∠CBO . ∵ FC =FB ， ∴ ∠FCB =∠FBC .

…………………………..1分

∴ ∠BCO +∠FCB =∠CBO +∠FBC . 即 ∠FBO =∠FCO =90°. ∴ OB ⊥BF . ∵ OB 是⊙O 的半径, ∴ BF 是⊙O 的切线. (2)

分

A

F

C

O

B

M

A

D

C

B

E

（2） ∵ ∠FBO =∠FCO =90°，

∴ ∠MCF +∠ACO =90°，∠M +∠A =90°. ∵ OA =OC ， ∴ ∠ACO =∠A. ∴ ∠FCM =∠M. (3)

分

易证△ACB ∽△ABM, ∴

AC AB

AB AM

=

. ∵ AB =4，MC =6， ∴ AC =2.

(4)

分

∴ AM =8，BM

∴cos ∠MC F = cos M =BM AM

. ∴ ∠MCF =30°.

(5)

分

21.（1）

…………………………….……………………………2分

（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人.记选择音乐类的4人分别是12,,,A A A 小丁；选择

美术类的3人分别是12,,B B 小李.可画出树状图如下：

由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都

音乐

美术

体育

其他

类别

扇形统计图

条形统计图

32%

其他16%

音乐12%

美术40%

体育1

A 1

B 2B 小李2

A 1

B 2B 小李3

A 1

B 2B 小李1B 2B 小李

小丁

被选中的概率是112

. (4)

分

或列表：

由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是

112

. (4)

分

（3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占40%，得 50040%200?=

所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名. (5)

分

22． 解：（1）3

2

p =; (2)

分

（2）3

32

p <≤.

(5)

分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ?=-=---=-+=-≥0，

所以方程总有两个实数根.

(2)

分

解：（2）由（1）2(5)m ?=-，根据求根公式可知,

方程的两根为：x =

即：11x =，24x m =-,

由题意，有448m <-<，即812m <<. (5)

分

（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的

交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得：

14m -=-或44m m -=-，即3m =或4m =.

(7)

分

24．解：（1）由题意，可得8164(1)a a =-+及84k =，解得1,2a k ==，

所以，抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =.

…………………………2分

（2）设点P 的坐标为4(,2)(0)t t t ≤≤，可得点Q 的坐标为2(,2)t t t -，则 2222(2)4(2)4PQ t t t t t t =--=-=--+ 所以，当2t =时，PQ 的长度取得最大值为4.

………………………………4分

（3）易知点M 的坐标为（1，-1）.过点M 作直线OA 的平行线交抛物线于点N ，如图所示，四边形AOMN

为梯形.直线MN 可看成是由直线OA 向下平移b 个单位得到，所以直线MN 的方程为2y x b =-.因为点M 在直线2y x b =-上，解得b =3,即直线MN 的方程为23y x =-，将其代入22y x x =-，可得 2232x x x -=-

即 2430x x -+= 解得 11x =，23x = 易得 11y =-，23y =

所以，直线MN 与抛物线的交点N 的坐标为（3,3）.

…………5分

如图，分别过点M 、N 作y 轴的平行线交直线OA 于点G 显然四边形MNHG 是平行四边形.可得点G （1,2），H （113(10)[2(1)]222OMG S MG =?-?=?--=△

113

(43)(63)222ANH S NH =?-?=?-=△

(31)236MNHG S NH =-?=?=△

所以，梯形AOMN 的面积9OMG MNHG ANH AOMN S S S S =++=△△△梯形. ……………………7分

25． 解：（1）k =1；

(2)

分

（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q .

由题意，tan ∠BAC =12

， ∴

1

2

BC DE AC AE ==. ∵ D 、E 、B 三点共线， ∴ AE ⊥DB .

D E

A

F

Q

∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,

∴∠QBC=∠EAQ.

∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.

∴BCG ACE

△∽△.

∴

1

2 BC GB

AC AE

==.

∴GB=DE.

∵F是BD中点，∴F是EG中点.

在Rt ECG

△中，

1

2

CF EG

=,

∴2

BE DE EG CF

-==. (5)

分

（3）情况1：如图，当AD=1

3

AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=1

2

，且BC= 6,

∴AC=12，AB

=

∵M为AB中点，∴CM

=

∵AD=1

3 AC，

∴AD=4.

∵M为AB中点，F为BD中点，

∴FM=1

2

AD= 2.

∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM

=2+.

(6)

分

情况2：如图，当AD=2

3

AC时，取AB的中点M，

连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF

的最大值为4+

………….……………………………7分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的

三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4 .

(8)

分