(完整版)三、模糊推理2

§3.3 模糊推理系统

系统是指两个以上彼此相互作用的对象所构成的具有某种功能的集体。模糊推理系统又称为模糊系统，是以模糊集合理论和模糊推理等技术为基础，具有处理模糊信息能力的系统。模糊推理系统以模糊理论为主要计算工具，可以实现复杂的非线性映射，而且其输入输出都是精确的数值，因此具有广阔的应用前景。

3.3.1 模糊推理系统的结构

一、模糊推理系统的组成

模糊推理是一种仿生行为的近似推理方法，主要用来解决带有模糊现象的复杂推理问题。由于模糊现象普遍存在，因此，模糊推理系统被广泛使用。目前，已经在自动控制，数据处理、决策分析及模式识别等领域得到成功应用。从功能上来看，模糊推理系统主要由模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊化几部分组成，其基本结构如图3.3.1所示。

图3.3.1模糊推理系统的功能结构

二、模糊推理系统的工作过程

为了满足实际信息处理需要，模糊系统的输入输出必须是精确的数值。由图3.3.1看出，模糊推理系统的工作机理为：首先通过模糊化模块将输入的精确量进行模糊化处理，转换成给定论域上的模糊集合；然后激活规则库中对应的模糊规则，并且选用适当的模糊推理方法，根据已知模糊事实获得推理结果，最后将该模糊结果进行去模糊化处理，得到最终的精确输出量。

关于模糊推理方法，前面已经做了比较详细的介绍。但是模糊推理系统对模糊规则库有何要求？如何将精确值转换成模糊集合，以及如何将模糊集合去模糊化，使之成为精确的数值？这些内容是设计模糊推理系统的基础，现在将详细阐述这方面的内容。

3.3.2 模糊化(Fuzzification)

精确值进入模糊推理系统时，一般要将其模糊化成给定论域上的模糊集合。可见，模糊化的实质是将给定输入*x转换成模糊集合*~A。模糊化的原则是：①在精确值*x处模糊集合*~A的隶属度最大；②输入数据若噪声干扰时，模糊化结果就具有一定的抗干扰能力；③模糊化运算应尽可能简单。下面介绍三种常用的模糊化方法。

一、模糊单值法

模糊单值法是将精确值转化为模糊单值，这种模糊化方法只是形式上将精确值转化成模糊量，实质上仍然是精确量。设*x 为实测的精确值，*~

A 为用模糊单值法转换后的模糊集合，则有

???≠==*

*

~01)(*

x x x x x A μ (3.3.1) 模糊单值法易于实现模糊化运算，当输入数据准确时，模糊化性能良好，是一种常用的模糊化方法。但是，由于模糊单值法舍弃了所有*x x ≠处的隶属度，因此，对输入数据噪声的鲁棒性较差。比如，给定1~A 和2~A 是论域X 上的两个模糊集合，其中1~A 的论域是]2,0[,2~

A 的论域是]3,1[，如图

3.3.2。当输入精确值75.1*=x 时，模糊单值*~A 与1~A 、2~

A 的适配度分别为25.01

~=A

ω、75.02~=A ω。若精确值*x 有噪声干扰，其值变化为6.1?*=x

时，*~A 与1~A 、2~

A 的适配度也将发生明显变化，对图3.3.2所示的情况，变化后的适配度分别为4.0?1~=A ω、6.0?2

~=A ω。可见，用模糊单值法进行模糊化处理，其鲁棒性较差。

图3.3.2 模糊单值法的鲁棒性分析

二、三角隶属函数法

如果输入数据干扰严重，那么用模糊单值法进行模糊化处理将会产生很大的误差。对于这种情况，人们常常采用三角形隶属函数法进行模糊化处理。三角形隶属函数模糊化运算比较简单，模糊化结果具有一定的鲁棒性，是一种常用模糊化方法。

设*x 是给定的精确量，而*~

A 是模糊化后的结果，则三角形隶属函数一般可以写成：

??

?

?

???>-≤-????

?

??--=σ

σσμ***~01)(*x x x x x x x A

(3.3.2)

其中：参数0>σ。

当给定精确值为*x 时，采用三角形隶属函数法得到的模糊集合*~

A 如图3.3.3所示。可以看出：

①当0→σ时，三角形隶属函数模糊集合就变成了模糊单值。②σ越大，*x 的变化对)(*~x A

μ的影响越小。也就是说当σ足够大时，三角形隶属函数法具有足够强的抗干扰能力。

图3.3.3 三角形隶属函数法模糊化过程

三、高斯隶属函数法

高斯隶属函数法模糊化运算较前两种去模糊方法复杂，是另一种常用模糊化方法。这种模糊化方法具有良好的抗干扰能力，且模糊化结果更接近于人的认知特点。

设*x 是给定的精确量，而*~

A 是模糊化后的结果，则高斯隶属函数一般可以写成：

2

2**2)(~)(σμx x A

e x --= (3.3.3)

其中：参数0>σ，决定了高斯函数的陡度。

3.3.3 模糊规则库

模糊规则库是由模糊推理系统中的全部模糊规则组成，是模糊推理系统的核心部分。从某种意义上讲，模糊推理系统的其它部分都是为了有效地执行这些规则而存在。 一、模糊规则的基本形式 1、一维模糊规则

给定论域X 和Y ，且X x ∈、Y y ∈。则一维模糊规则可以表达为：

if x is A ~, then y is B ~

(3.3.4)

其中A ~和B ~

分别是论域X 和Y 上的模糊集合。 2、多维模糊规则

在模糊推理系统中，有些模糊规则的前件由若干条模糊命题组成，构成了多维模糊规则。在给定论域X 和Y 上，n 维模糊规则可以表达如下：

if 1x is 1~A and 2x is 2~A and … and n x is n A ~, then y is B ~

(3.3.5)

if 1x is 1~A or 2x is 2~A or … or n x is n A ~, then y is B ~

(3.3.6)

其中1~A 、2~A 、…、n A ~是论域X 上的模糊集合，B ~

是Y 上的模糊集合。 二、模糊规则库的基本性质

模糊规则库中模糊规则必须满足： 1、完备性

规则完备性是指对于给定论域X 上的任意x ，在模糊规则库中至少存在一条模糊规则与之对应。也就是说：输入空间中的任意值都至少存在一条可利用的模糊规则。这是模糊推理系统能正常工作的必要条件。

例3.3.1 以热水锅炉温度控制为例，说明模糊规则的完备性对推理系统的影响。根据锅炉运行的实际情况可知，在进行水温控制时，必须考虑锅炉内的压力。因此这里选取语言变量“水温”和“压力”作为被调节量，燃气的“阀门开度”作为控制量。首先确定各语言变量的论域，即温度的论域为1X ，压力的论域为2X ，燃气阀门开度的论域为Y 。然后给出各语言变量的语言值，即将温度分为“高”、“低”两档，将压力分为“大”、“中”、“小”三档，将阀门开度也分为“大”、“中”、“小”三档。采用三角形隶属函数来表示上述语言值，隶属函数在论域上的分布如下：

图3.3.4 “温度”、“压力”和“阀门开度”的隶属函数

由于水温调节系统是一个二维输入一维输出的模糊推理系统，而且二个输入分别被分为两档和三档，因此，该模糊推理系统的规则库至少包含以下六条模糊规则：

如果1x 为“低”且2x 为“小”，则y 为“大” 如果1x 为“低”且2x 为“中”，则y 为“大” 如果1x 为“低”且2x 为“大”，则y 为“中” 如果1x 为“高”且2x 为“小”，则y 为“中” 如果1x 为“高”且2x 为“中”，则y 为“中” 如果1x 为“高”且2x 为“大”，则y 为“小”

这些模糊规则实际上确定了语言变量“温度”、“压力”与“阀门开度”在不同情况下，它们之间的模糊关系，见图 3.3.5。显然，在该模糊规则库中缺少任何一条规则，在输入空间上都将会出现盲区，导致推理系统无法工作。

图3.3.5 “温度”、“压力”与“阀门开度”之间的关系

一般地说，一个语言变量可以任意地划分成若干个语言值。有时为了提高模糊推理精度，将输入的语言变量划分为更多的档级。当然，语言变量的档级也不是分得越多、越细，推理系统的精度就会越高。有时候，将输入语言变量分成五档与分成七档的推理效果几乎一样，这时应取五档而舍弃七档。这是因为将语言变量的档级分得太多，所需的模糊规则数目也很多。若将上述的水温调节系统的每个输入变量划分成五级，则模糊规则库至少需要25条规则，若将每个输入变量划分的级数增加到七级，那么规则数目就以级数的平方关系增至49条。另外，如果模糊规则条数太多，必然会出现功能上相近的规则，在推理运算时间上造成不必要的消耗。

为了提高模糊推理的精度，又要避免语言变量分档过细，造成模糊规则泛滥。有时，将语言变量值的隶属函数在整个论域上做不均匀分布处理，也能达到提高推理精度的效果。例如可将三角形模糊集的“零”固定在所谓的“工作区”上，而其他模糊集则向“零”靠拢。图3.3.6给出了隶属函数均匀分布和不均匀分布的情况。

图3.3.6 隶属函数分布的情况

2、交叉性

为了保证模糊推理系统的输入输出行为连续、平滑，一般要求相邻的模糊规则之间有一定的交叉性。模糊规则的交叉性也反映出概念类属的不明确性，通过模糊规则的交叉设计，可以提高推理系统的鲁棒性。

例3.3.2 同样以热水锅炉温度控制为例。首先给定水温的论域为),0( ，为了提高水温的控制精度，将温度分为“低”、“较低”、“中”、“较高”、“高”五档，对应的隶属函数为：

图

3.3.7 “温度”的隶属函数

可以看出当水温为50 o C 时，它既属于“较低”的范围，也属于“中”的范围。这种类属的不确定性正是模糊性的体现，完全符合人类认知的实际情况。说明模糊规则的交叉也是描述模糊性的需要。当然，模糊规则的交叉也有一定的限制，当交叉过度时，可能使模糊推理系统产生混乱的行为。因此，一般要求其重叠率在0.2~0.6之间。下面给出不同重叠率的隶属函数交叉情况：

33

.020

8040

60≈--=

14

.020

9050

60≈--=

=

图3.3.8 交叉模糊规则的重叠率

3、一致性

如果两条模糊规则的条件部分相同，但结论部分相差很大，则称这两条规则相互矛盾。一致性是指模糊推理系统的规则库中不存在相互矛盾的模糊规则。因此，在设计模糊推理系统时，应该尽量避免相互矛盾的模糊规则出现。对于规则自动生成的自适应模糊推理系统，应该给出解决规则矛盾的确切方法。

3.3.4 去模糊化(Defuzzification)

去模糊化又称为清晰化，其任务是确定一个最能代表模糊集合的精确值，它是模糊推理系统必不可少的环节。不过，由于模糊性的存在，获得的代表模糊集合的清晰值可能有所不同，也就是说去模糊化方法并不唯一。但确定去模糊化方法时，一定要考虑到以下准则：①有效性。所得到的精

确值能够直观地表达该模糊集合；②简便性。去模糊化运算要足够简单，以保证模糊推理系统实时使用；③鲁棒性。模糊集合的微小变化不会使精确值发生大幅变化。下面介绍几种在实际中经常用到的清晰化方法。 一、最大隶属度法

最大隶属度法是指选取模糊集合覆盖的论域中，对应隶属度最大的元素作为该模糊集合的精确

值。如果给定模糊集合*~

B ，则精确值*y 应满足Y y y y B

B ∈≥),()(**~*

~μμ。见图3.3.9。

图3.3.9 最大隶属度法去模糊化

最大隶属度法的优点是去模糊运算特别简单，缺点是精确值包含的信息量较少。这种方法完全排除了其它一切元素对精确值的影响，其结果是对两个差异很大的模糊集合，可能获得同样的精确结果（见图3.3.7）。为了保证清晰化后的精确值是唯一的，一般要求给定的模糊集合是正态凸模糊集合。对于离散论域上的模糊集合，直接取对应于隶属度最大的基础变量作为清晰值即可。

例3.3.3 给定模糊集合

7

3

.067.050.147.034.021.0~+

++++=C

试用最大隶属度法求其清晰值。

解：按最大隶属度的原则清晰化，清晰值为5*=y

显然，对于隶属函数只有唯一最大值的模糊集合，最大隶属度去模糊化方法是适用的。但是，模糊推理系统的实际推理结果，其最隶属度对应的基础变量可能并不唯一，甚至有无穷多个基础变量与之对应。比如采用Mamdani 方法进行推理得到的结果，其隶属函数的最大值往往是不唯一的，如图3.3.10。对于这种情况，可以采用以下三种方法清晰化处理：

图3.3.10 隶属函数极大值不唯一时去模糊化

⑴ 左取大法

取模糊集合隶属函数左边达到最大值时所对应的基础变量值作为清晰值的方法。即

)(sup )(),

(inf **

*y y y y Y

y L μμ∈== (3.3.7) 其中inf 为取最小值运算。

⑵ 右取大法

取模糊集合隶属函数右边达到最大值时所对应的基础变量值作为清晰值的方法。即

)(sup )(),

(sup **

*y y y y Y

y R μμ∈== (3.3.8) 其中sup 为取最大值运算。

⑶ 最大平均法

取最大隶属度对应的所有基础变量的平均值作为该模糊集合的精确值。对于图3.3.5，有

2)(***R L C

y y y +=

(3.3.9) 由图3.3.10可以看出，虽然模糊推理结果由*~B 和B '~

两个模糊集合构成，但只要采用最大隶属

度法（包括左取大、右取大和最大平均法）去模糊化，模糊集合B '~

对最终获得的精确值没有任何贡献。说明最大隶属度法对模糊信息的丢失十分严重。

例3.3.4 给定模糊集合“几个”的隶属函数如下

9

1

.083.077.060.150.147.034.022.011.0~+

+++++++=C 试用最大隶属度法求其清晰值。

解：由于该隶属函数中的最大隶属度不唯一，因此根据不同的清晰化原则，可以得到不同的清晰值。其左取大、右取大和最大平均法对应的清晰值分别为

5*=L y ；6*=R y ；5.5*

=C y

二、重心法

重心法是指取模糊集合隶属函数曲线同基础变量轴所围面积的重心对应的元素作为清晰值的方法，也是一种常用的去模糊化方法。在连续论域Y 上，重心法的计算公式为：

??=

max

min

max

min

)()(*

y y y y

dy

y dy

y y y μμ (3.3.10)

其中，*y 为清晰化量，Y y ∈，)(μ为模糊集隶属函数。图3.3.11给出了在连续论域上，用重心法去模糊化的计算结果。

图3.3.11 连续论域上重心法去模糊化

在离散论域上，重心法的计算公式为

∑∑===

N

i i N

i i i y y y y 1

1

*

)

())

((μμ (3.3.11)

其中N 为论域中的元素数，i y 是指论域中的第i 个单点模糊值，)(i y μ为i y 对应的隶属度。 重心去模糊化方法的优点是充分利用了推理结果中的所有模糊信息，得到的清晰值具有很好的鲁棒性。但是，这种方法的计算要求比较高。特别是当推理得到的模糊集合的隶属函数不规则时，对其进行积分是一件困难的事情。

例3.3.5 给定模糊集合

7

3

.067.050.147.034.021.0~+

++++=C 试用重心法求其清晰值。

解：按照重心法去模糊化，其清晰值为

84

.43

.07.00.17.04.01.03

.077.060.157.044.031.02)

())

((1

1

*=+++++?+?+?+?+?+?=

=

∑∑==N

i i i N

i i i i y y y y μμ 三、中心平均法

模糊推理的结果往往是多个模糊集合的并或交，其隶属函数的表达形式比较复杂。最大隶属度法虽然计算简单，但丢失的模糊信息太多，精确化结果鲁棒性较差。重心法充分利用了推理结果中的全部模糊信息，精确化结果的鲁棒性也较好，但这种方法对计算的要求较高。于是，出现了中心平均去模糊化法，其实质上是最大隶属度法与重心法的折中。具体地说，若模糊推理结果由N 个

模糊集合构成，现在令*i y 为第i 个模糊集合的中心，)(max

y i

μ为该模糊集合对应的最大隶属度，则中心平均去模糊化方法得到的清晰值*y 为

(3.3.12)

显然，中心平均去模糊化方法既避开了求取复杂隶属函数的积分运算，同时又考虑了各个模糊集合对精确值的影响。这种方法计算比较简单，清晰值的鲁棒性也比较强，是模糊推理系统中最常用的清晰化方法。当2=N 时，即模糊推理结果由两个模糊集合构成，采用中心平均法去模糊化运算过程如图3.3.12。

图3.3.12 中心平均法去模糊化

图中的清晰值*y 为

)()()()(2

max 1max 2max *21max *1*

y y y y y y y μμμμ++=。 中心平均去模糊化法首先需要求出推理结果中的各模糊集合的中心，然后求出的最大隶属度。由于图中给出的模糊集合*1~B 和*2~

B 都是对称的正则凸模糊集合，它们的隶属函数最大值及其中心的求取都十分方便。其实，对于一般的模糊推理系统，其后件隶属函数更多的是一些对称的规则曲线，因此模糊集合中心的求取比较容易。而重心法需要计算多个模糊集合合成后的面积重心，其运算比较复杂。

对于有N 个元素的离散论域，模糊集合的中心*i y 实质上就是模糊单点值i y ，最大隶属度

)(max y i μ实质上就是i y 对应的隶属度)(i y μ，则中心平均去模糊化方法得到的清晰值*y 为

∑∑===

N

i i N

i i i y y y y 1

1

*)

())

((μμ (3.3.13)

比较式(3.3.13)和式(3.3.11)不难发现，在离散论域上，中心平均法与重心法去模糊化的结果是等价的。

3.3.5 模糊推理系统的设计

由于模糊推理系统主要由模糊化、模糊规则库、模糊推理方法及去模糊化几部分组成，因此模糊推理系统的设计实质上也就是以上几个功能模块的设计。不同的模糊化、模糊推理和去模糊化方

法，可以构成不同的模糊推理系统。前面分别介绍了三种模糊化方法（模糊单值法、三角形隶属函数法、高斯隶属函数法）、三种模糊推理法（Mamdani 法、Larsen 法、Zadeh 法）和三种去模糊化方法（最大隶属度法、重心法、中心平均法），将这些方法进行不同的组合，可以得到27333=??种不同的模糊推理系统。可见，模糊推理系统的设计不是唯一的。

下面以轿车室内温度调节为例，介绍模糊推理系统的设计过程。有过乘坐轿车经历人都知道，车内温度的调节非常简单，打开空调制冷系统，驶乘人员通过旋转风档，调节冷气阀门的开度即可改变车内温度。风档一般分为四级，即“闭”、“小开”、“中开”、“大开”。小轿车的温度调节系统见图3.3.13。

图3.3.13 汽车温度调节系统

一、建立模糊规则库

若将车内温度分为“低”、“较低”、“中”、“高”四档，冷气阀门的开度也分为“闭”、“小开”、“中开”、“大开”四档，则可以写出温度调节系统的模糊规则如下：

规则①：“如果温度低，则关闭冷气阀门”； 规则②：“如果温度较低，则冷气阀门小开”； 规则③：“如果温度中，则阀门开度为中开”； 规则④：“如果温度高，则冷气阀门大开”。

二、语言变量论域及语言值隶属函数的确定

关于温度的论域可以选取为),(∞+∞-，但实际车内的温度不可能遍及该论域。在夏天，北京的气温不会超过0~50℃的范围。若将“温度”这一语言变量的语言值“低”、“较低”、“中”、“高”分别用模糊集合表示，即=1~

A 低、=2~

A 较低、=3~

A 中、=4~

A 高。那么，根据生活经验，一般认为当车内温度为24℃时，人会感到比较舒适；若温度在14℃以下，人会感觉到冷；而温度达到36℃时，人会又会感到酷热。若用三角形隶属函数描述语言变量的语言值，则可以得到各模糊集合对应的隶属函数分布如图3.3.14。

图3.3.14 “温度”的隶属函数分布

对于另一语言变量“阀门开度”，其语言值分别为“闭”、“小开”、“中开”、“大开”。若用模糊集合1~

B 、2~

B 、3~

B 、4~

B 分别来表示该语言变量的语言值，即=1~

B 闭、=2~

B 小开、=3~

B 中开、=4~

B 大开。由于冷气阀门的最大开度为90o，也就是说其论域为[ 0o, 90o]。于是可以写出上述模糊集合对应的隶属函数分布如图3.3.15所示。

图3.3.15 “阀门开度”的隶属函数分布

三、实测值的模糊化

假设实测得知车内温度为26℃，采用模糊单值法进行模糊化处理。由图3.3.16可以看出该实

测温度值对给定论域上各模糊集合从属程度。即0)26(1~=A μ、0)26(2~=A μ、5.0)26(3~≈A μ、2.0)26(4

~≈A μ，也就是说26℃不属于温度“低”和“较低”的范畴，它属于温度“适中”的程度是0.5，属于温度“高”的程度是0.2。这样，就把26℃这一精确的数值转化成温度“适中”或温度“高”这样的模糊量。

图3.3.16 26℃对应的模糊集合的隶属度

四、模糊推理

根据模糊化的结果可知，26℃只激活了模糊规则库中的规则③和规则④，且适配度分别为

5.03

~≈A

ω和2.04

~≈A

ω。这样，车内温度调节问题就是一个单前件两规则的模糊推理问题。采用Mamdani 模糊推理法，那么温度调节模糊推理过程如图3.3.17。

图3.3.17Mamdani推理法模糊推理过程

若采用Larsen推理法，则温度调节的模糊推理过程如图3.3.18。

图3.3.18Larsen推理法模糊推理过程

五、去模糊化

根据模糊推理结果可知，此时阀门开度为“中开”。若采用自动控制来调节车内温度，那么推理结果应该是精确值。因此，还需要进行去模糊化处理。采用中心平均法去模糊化，*y为

∑

∑

=

=

=

N

i

i

N

i

i

i

y

y

y

y

1

max

1

max

*

*

)

(

))

(

(

μ

μ

由激活的规则数可知2

=

N，由适配度可知5.0

)

(

1

max

=

y

μ、2.0

)

(

2

max

=

y

μ，对于Mamdani推理法得到的结果，用求中心的办法得到o

*

1

45

=

y、o

*

2

69

≈

y，于是可以求得*y为

o o o 2max 1max 2max *21max *1*

86.512

.05.02

.0695.045)

()()()(=??==

＋＋＋＋y y y y y y y μμμμ

对于Larsen 法推理的结果，求得中心值o *1

45=y 、o *22.73≈y ，求得*y 为 o o o 2max 1max 2

max *21max *1*

06.532

.05.02

.02.735.045)

()()()(=??==

＋＋＋＋y y y y y y y μμμμ

即当温度为26℃时，采用Mamdani 推理法时，冷气阀门的开度应该为o 86.51。而采用Larsen 推理法时，冷气阀门的开度应该为o 06.53。