(完整版)圆的切点弦方程的九种求法-高中数学
圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识：
1、在标准方程
222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：
200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02
2=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 02
20000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412
121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ） 的公共弦所在的直线
方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆02
2=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆02
2=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：
211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）；
02
21111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式）。 二、题目 已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆
的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。
三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线
方程为：)]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx 由 ???=---+=-+-0
44201422y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2222=+-+---=?k k k k k ②
解②得 0=k 或815=
k 将0=k 或815=k 分别代入①解得 1=x 、17
28-=x 从而可得 A(1728-,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为： )]4([)1(--=--x k y
即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3，得
3)
1(|
1421|22=-+-+-?k k k ③ 解③得 0=k 或8
15=k 所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y 从而可得切点 A(1728-,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。
解法三：用夹角公式求切线的斜率
如图示1，设要求的切线的斜率为k ，根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[22=--+-- ，3=r ，53)4(1)1(2=----=
PC k 在PAC Rt ?中，|PA|=5，53=
∠CPA tg 由夹角公式，得 535
3153
=+-
k k ④ 解④得 0=k 或8
15=k 所以切线PA 、PB 的方程分别为：052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-,17
58)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB 的方程为：0235=-+y x 。 解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点