与圆有关的位置关系及圆中的计算(讲义与习题)含答案

与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义）

?课前预习

1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________．

2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________．

3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________．

4.默写圆周角定理的相关推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：________________________________________；

_______________________________________________．

推论3：圆内接四边形对角互补．

5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下一个圆心角度数为n的扇形，用其

围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________．

6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．

?知识点睛

与圆有关的位置关系，

关键是找d．和r．．

1.点与圆的位置关系

d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________；

A

主视图左视图俯视图

②点在圆上：_____________；

③点在圆内：_____________．

2.直线与圆的位置关系

d表示__________________的距离，r

表示__________．

①直线与圆相交：____________；

②直线与圆相切：____________；

③直线与圆相离：____________．

切线的性质定理：__________________________________；

切线的判定定理：__________________________________

__________________________________________________．

*切线长定理：______________________________________

__________________________________________________．

*3. 圆与圆的位置关系

d表示__________的距离，R表示________，r表示_________．

①圆与圆外离：_________________；

②圆与圆外切：_________________；

③圆与圆内切：_________________；

④圆与圆内含：_________________；

⑤圆与圆相交：_________________．

4.圆内接正多边形

_______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________.

中心角：___________________________________________；

边心距：___________________________________________．

5.圆中的计算公式

弧长公式：____________________．

扇形面积公式：①________________；②________________．

圆锥的侧面积公式：_________________________________．

圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．

扇形及其所围圆锥间的等量关系：

①________________________________________________；

②________________________________________________．

?精讲精练

1.矩形ABCD中，AB=8，BC ，点P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，

PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A．点B，C均在圆P外

B．点B在圆P外、点C在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外

D．点B，C均在圆P内

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆

A

心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．

3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有

一个公共点，则R 的取值范围是_________________．

4. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为1 cm ，4 cm ，则⊙A ，

⊙B 的位置关系是_______．

5. 若有两圆相交于两点，且圆心距为13 cm ，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）

A ．25 cm ，40 cm

B ．20 cm ，30 cm

C ．1 cm ，10 cm

D ．5 cm ，7 cm

6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的

延长线于点E ，则∠E =______．

第6题图 第7题图 7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠

ACB =_______．

8. 9. O

F

E D

C B

A 10. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为8．分别以F ，C 为圆心，以⊙O 的半径R 为半径作弧，与⊙

O 相交于点E ，A 和D ，B ，则A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，

顺次连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A ． 过点O 作OG ⊥BC ，垂足为G ，则OG 长为_______．

F

D

11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，点F 在线段AC

的延长线上，且1

2

CBF CAB ∠=∠．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；

（2）若AB =5

，sin 5

CBF ∠=

，求BC 和BF 的长．

12. 如图，⊙O 的半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧BC 的长是___________．

第12题图 第13题图

13. 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面

积是________．

14. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末

端各点所在圆的直径AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．

15. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则

这个几何体的侧面展开图的面积为__________．

俯视图

左视图

主视图

44

16. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则图中阴影部分的面积为__________．

17. 如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm ．小红同学为了在圣诞节联欢

晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．

18. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个

圆锥，则圆锥的高为_______．

图1图2

【参考答案】 ? 课前预习

1. 2πr ，πr 2

2. 180

n r π，2360n r π 3. 6 cm

4. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

5. 90

6.

图形略．

? 知识点睛

1. 点到圆心；圆的半径；d ＞r ；d =r ；d ＜r ．

2. 圆心O 到直线l ；圆的半径；d ＜r ；d =r ；d ＞r ．

圆的切线垂直于过切点的半径；

过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线； 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 3. 圆心之间；大圆半径；小圆半径;

d ＞R +r ；d =R +r ；d =R -r ；0≤d ＜R -r ；R -r ＜d ＜R +r 4. 顶点都在同一圆上的正多边形；外接圆；

一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角叫中心角； 正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离叫做边心距．

5. 180n R l π=．①2360n R S π=；②2

lR

S =；

S =πlr ；

全面积；侧面积；底面积；

圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积．

? 精讲精练

1. C

2. 相交

3. 3＜R ≤4或125

R = 4. 外切 5. B 6. 50° 7. 110° 8.

99°

9. 2

10.

11. （1）证明略；（2）BC =203

BF =

． 12.

25π

13. 6π 14. 54π 15. 4π

16. 163π

17. 18°

18.

与圆有关的位置关系及圆中的计算（习题）

? 巩固练习

1. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2．下列说法中不正确．．．

的是（ ）

A ．当a ＜5时，点

B 在⊙A 内 B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内

C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外

D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外

2. 已知⊙O 1，⊙O 2的半径分别是12r =，24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

3. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线CD 与⊙O 的位置关系

是（ ） A

第3题图 第4题图

4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°．点P 在数轴上运动，若

过点P 且与OA

平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是_______．

5. 如图，PA

，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．如果OP =4，PA =

．

A

第5题图 第6题图 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在线段AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ．若∠A =25°，则∠D =_________．

7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AC 是⊙O 的直径．若∠BAC =35°，则∠

P =________．

6cm 12cm

8. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ．

9. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°，

CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为__________cm ．（结

果保留根号）

E

C B

A

A

B C

D

图1

图2

10. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA =AB =3，若弦

BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为

________．

第10

题图

第11题图

11. 一圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为________． 12. 已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面积为__________cm 2．

13. 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸

筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则该圆锥的底面半径是________cm ．

第13题图 第14题图

14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4．分别以A ，B ，C 为圆心，以

2

1

AC 为半径画弧，则三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是____________．

15. 已知在△ABC 中，AB =6，AC =8，∠A =90°．把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其

表面积为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2=________． 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，P 是BC 边上的动点．设BP =x ，若能在AC

边上找到一点Q ，使

∠BQP =90°，则x 的取值范围是________．（提示：考虑90°的圆周角所对的弦是直径）

Q

P

A

B

C

17. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，已知∠AEC =∠ODB ． （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．

? 思考小结

1. 判断与圆有关的位置关系，关键是找准_____和_______，在直线与圆位置关系中，它们分别代表

____________________和_________________．

2. 已知圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，借助扇形及其所围成圆锥间的等量关系，推导圆锥的

侧面积公式S lr =π．（写出证明的关键环节）

3. 借助圆中思考角度及问题处理时“见到什么想什么”处理下面两道题目． 【试题1】已知：点P 是⊙O 外一点，P A 是圆的切线，PC 与⊙O 交于另一点B ． 求证：2PA PB PC =?． 思路分析

① 由要证明的比例形式，将其改写成

PB PA

PA PC

=的形式，问题转化为证明△PBA

F

E C

D

B

O

A

∽△P AC ；

② 分析相似三角形的特征，问题进一步转化为证明∠P AB =∠PCA ；

③ ∠P AB 跟切线有关，考虑“遇切线，连接圆心和切点”，∠PCA 为圆周角，由角看弧，找圆心角，

连接OB ，转移边，转移角分析． 根据上面提供的思路，写出证明过程．

【试题2】如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AC ，BD 相交于点E ，弦CD =2

7

，且BD =5，则DE 等

于_________．

思路分析

① “遇直径，找直角”，结合已知的AB 和BD 的长，连接AD ，可求出AD 的长，此时DE 放到Rt △DEA 中；

② CD 长度与半径长相等，则连接OD ，OC ，可以得到△ODC 是等边三角形，圆心角∠DOC =60°； ③ “由角看弧，由弧找角”，由圆周角定理可以得到∠DAE =30°，进而得到DE 的长． 你还能想到其他的求解方式吗？简要写出求解思路．

【参考答案】

?巩固练习

1.A

2.B

3.A

4.0≤x

5.120°

6.40°

7.70°

8.25 6

9.16)

10.

3

11.90

12.60π

13.4

14.8-2π

15.2:3

16.3≤x＜4

17.（1）相切，证明略；（2）

20

3 BD=

?思考小结

1.d，r，圆心O到直线l的距离，圆的半径．

2.略

【试题1】证明略

【试题2】