一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识
这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
1一阶常微分方程组的首次积分
1.1首次积分的定义
从第三章我们知道，n 阶常微分方程
()()()
1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1）
在变换
(
)
1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2）
之下，等价于下面的一阶微分方程组
()()()1
112221212,,,,,,,,,,,,,,.
n n
n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx
dy f x y y y dx
?=??
?=????
?=?
? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常
系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。
例1 求解微分方程组
()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt
=-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()()
12222-++-=+y x y x dt
dy
y dt dx x ，
()()()2222221
12
d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为
122
2221C e y x y x t
=+-+， （ 1.5）
1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到
22y x dt dy x dt dx y
+=-， 即
()
22y x dt
dx y dt dy x
+-=-， 亦即
1arctan -=??
? ??
dt
x y d 。
积分得
2arctan C t x
y
=+， （ 1.6）
其中2C 为积分常数。
利用首次积分（ 1.5）和（ 1.6）可以确定（ 1.4）的通解。为此，采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==，这样由（ 1.5）和（ 1.6）推得
212211,.t e C t C r θ??-=+= ???
或 t C e
C r t
-=-=
-221,11θ.
因此我们得到方程组（ 1.4）的通解为 ()t
e
C t C x 2121cos ---=
，()t
e
C t C y 2121sin ---=
. （ 1.7）
例2 求解微分方程组 ()()(),,.du
vw dt dv
wu dt dw
uv dt αβγβγαγαβ?=-???=-???=-??
（ 1.8）
其中0αβγ>>>是给定的常数。
解 利用方程组的对称性，可得
0du dv dw
u v w dt dt dt
αβγ++=,
从而得到首次积分
2221u v w C αβγ++=, （ 1.9） 其中积分常数10C ≥。同样我们有 2220du dv dw
u v w dt dt dt
αβγ++=, 由此又得另一个首次积分
2222222u v w C αβγ++=, （ 1.10） 其中积分常数20C ≥。有了首次积分（ 1.9）和（ 1.10），我们就可以将u 和v 用w 表示，代入原方程组（ 1.8）的第三式，得到
dw dt =, （ 1.11）
其中常数a ，b 依赖于常数12C C 和，而常数 ()()()
()
0,0.A B γβγγαγααββαβ--=
>=>--
注意（ 1.11）是变量可分离方程，分离变量并积分得到第三个首次积分
3t C αβ
γ--=, （ 1.12） 其中3C 是积分常数。因为方程组（ 1.8）是三阶的，所以三个首次积分（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）在理论上足以确定它的通解
()()()123123123,,,,,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C C C ?ψχ=== 但是由于在式（ 1.12）中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达
式。
现在我们考虑一般的n 阶常微分方程
()n i i
y y y x f dx
dy ,,,,21 =，()n i ,2,1=, （ 1.13） 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21 在1+?n R D 内对()12,,,
,n x y y y 连续，而且对
n y y y ,,,21 是连续可微的。
定义1设函数()12,,,
,n V V x y y y =在D 的某个子域G 内连续，而且对
12,,,
,n x y y y 是连续可微的。又设()12,,,
,n V x y y y 不为常数，但沿着微分方程
（ 1.3）在区域G 内的任意积分曲线
()()()()1122:,,,n n y y x y y x y y x x J Γ===∈
函数V 取常值；亦即
()()()()()
()12,,,
n V x y x y x y x C x J =∈常数，
或当12(,,,
,)n x y y y ∈Γ时，有
()12,,,,n V x y y y =常数， 这里的常数随积分曲线Γ而定，则称
()12,,,
,n V x y y y =C （ 1.14）
为微分方程（ 1.13）在区域G 内的首次积分。其中C 是一个任意常数，有时也
称这里的函数()12,,,
,n V x y y y 为（ 1.13）的首次积分。
例如（ 1.5）和（ 1.6）都是微分方程（ 1.4）在某个区域内的首次积分。这里对区域G 有限制，是要求首次积分（ 1.5）和（ 1.6）必须是单值的连续可微函数。因此区域G 内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。同理，式（ 1.9）、（ 1.10）和（ 1.12）都是方程（ 1.8）的首次积分。
对于高阶微分方程（ 1.1），只要做变换（ 1.2），就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程（ 1.1）。而其首次积分的一般形式可以写为
()(
)
1',,,
,n V x y y y C -=。 （ 1.15）
例如，设二阶微分方程组
()222sin 0
0d x
a x a dt
+=>为常数，
用
dx
dt
乘方程的两端，可得
22
2sin 0dx d x dx a x dt dt dt
+=， 然后积分，得到一个首次积分
2
21cos 2dx a x C dt ??
-= ???
。
一般的，n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分，如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分，则可求n 阶常微分方程组的通解。
1.2首次积分的性质和存在性
关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。
定理1设函数()12,,,,n x y y y Φ 在区域G 内是连续可微的，而且它不是
常数，则
()12,,,
,n x y y y C Φ= （ 1.16）
是微分方程（ 1.13）在区域G 内的首次积分的充分必要条件是 11
0n n
f f x y y ?Φ?Φ
?Φ
+++
=??? （ 1.17） 是关于变量()12,,,
,n x y y y G ∈的一个恒等式。
这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程（ 1.13）首次积分的有效方法。因为根据首次积分的定义，为了判别函数()
12,,,
,n V x y y y 是否是微分方程（ 1.13）在G 内的首次积分，我们需要知道（ 1.13）在G 内的所有积分曲线。这在实际上是由困难的。而定理1避免了这一缺点。
定理 2 若已知微分方程（ 1.13）的一个首次积分（ 1.14），则可以把微分方程（ 1.13）降低一阶。
设微分方程组（ 1.13）有n 个首次积分
()()12,,,
,1,2,,i n i x y y y C i n Φ==， （ 1.18）
如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式
()
()1212,,,0,,,n n D D y y y ΦΦΦ≠， （ 1.19）
则称它们在区域G 内是相互独立的。
定理3设已知微分方程（ 1.13）的n 个相互独立的首次积分（ 1.18），则可由它们得到（ 1.13）在区域G 内的通解
()()12,,,
,1,2,,i i n y x C C C i n ?==， （ 1.20）
其中12,,
,n C C C 为n 个任意常数（在允许范围内），而且上述通解表示了微分方
程（ 1.13）在G 内的所有解。
关于首次积分的存在性，我们有
定理 4 设()00001,,
,n p x y y G =∈，则存在0p 的一个邻域0G G ?，使得微分
方程（ 1.13）在区域0G 内有n 个相互独立的首次积分。
定理5 微分方程（ 1.13）最多只有n 个相互独立的首次积分。
定理6 设（ 1.18）是微分方程（ 1.13）在区域G 内的n 个相互独立的首次积分，则在区域G 内微分方程（ 1.13）的任何首次积分
()12,,,
,n V x y y y =C ，
可以用（ 1.18）来表达，亦即 ()()()1211212,,,,,,,
,,,,,,
,n n n n V x y y y h x y y y x y y y =ΦΦ????，
其中[]*,
,*h 是某个连续可微的函数。
为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组（ 1.3）改写成对
称的形式
12
12
1
n n dy dy dy dx
f f f ===， 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地，人们常把上述对称式写
成
()()
()
12
11221212,,,,,,,,,,n
n n n n dy dy dy Y y y y Y y y y Y y y y ==
（ 1.21）
并设12,,,n n Y Y Y G R ?在区域内部不同时为零，例如如果设0,n Y ≠ 则（ 1.21）
等价于
()()
()1212,,,1,2,,1,,,i n i n n n Y y y y dy i n dy Y y y y =
=-。 （ 1.22）
请注意，式（ 1.22）中的n y 相当于自变量，()1,2,,1i x i n =-相当于未知函数，
所以在方程组（ 1.21）中只有n--1个未知函数，连同自变量一起，共有n 个变元。
不难验证，对于系统（ 1.21），定理1相应地改写为：设函数()
12,,,n y y y ?连续可微，并且不恒等于常数，则()12,,,n y y y ?=C 是（ 1.21）的首次积分的
充分必要条件是关系式
()()()
()1121212121
,,
,,,,,,
,,,,0n n n n n n
Y y y y y y y Y y y y y y y y y ???
?
+
+=??
（ 1.23） 在G 内成为恒等式。如果能得到（ 1.21）的n -1个独立的首次积分，则将它们联立，就得到（ 1.21）的通积分。
方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。
例3 求
dx dy dz
y x z
==的通积分。 解 将前两个式子分离变量并积分，得到方程组的一个首次积分
221x y C -= （ 1.24）
其中1C 是任意常数，再用比例的性质，得
()()d x y dz
x y z
+=
+， 两边积分，又得到一个首次积分
2x y
C z +=， （ 1.25）
其中2C 是任意常数。（ 1.24）和（ 1.25）是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分
221x y C -=，2x y C z +=.
例4 求
dx dy dz
cy bz az cx bx ay
==---的通积分。
解 利用比例的性质，可以得到 .00
dx dy dz xdx ydy zdz adx bdy cdz
cy bz az cx bx ay ++++====---
于是有
0,
0.
xdx ydy zdz adx bdy cdz ++=++=
分别积分，就得到两个首次积分
22212,.x y z C ax by cz C ++=++= 将它们联立，就得到原系统的通积分，其中12C C 和为任意常数。 例5 求解二体问题，即求解方程组
()
()
()
2322222232222223222220,0,0.d x x
dt x y z d y y
dt x y z d z z
dt x y z ααα+=+++=+++=++ 其中常数,GM G M α=是引力常数，是相对静止的这个天体的质量。现在求二体问题的运动轨线。
以x 乘第二式两边，以y 乘第三式两边，然后相减，得
22220,d y d z
z y dt dt
-=
即
0d dz dy y z dt dt dt ??-= ???
， 积分便得到
1,dz dy
y
z C dt dt
-= （ 1.26） 这里1C 是任意常数，用类似的方法，可以得到
23,
.dx dz
z
x C dt dt
dy dx x y C dt dt
-=-= ()()4.1.274.1.28
其中23,C C 都是任意常数。分别用x 、y 、z 乘（ 1.26），（ 1.27）和（ 1.28）的两边，然后三式相加，得到
1230.C x C y C z ++= （ 1.29） 这时一个平面方程。说明二体问题的运动轨迹()()(),,x x t y y t z z t ===位于（ 1.29）所表示的平面内。因此二体问题的轨迹是一条平面曲线。重新选取坐
标平面，不妨将轨迹线所在的平面选为（x ，y ）平面，于是二体问题的运动方程是
()()232
2222322220,0.d x x
dt x y d y y dt x y αα?+=?+?
??+=?+?
()()4.1.304.1.31
由这两式可以看到
()22322220dx d x dy d y dx dy x y x y dt dt dt dt dt dt α-????++++= ? ?????， 上式可以写成
()22
12220,d dx dy d x y dt dt dt dt α-??????+-+=?? ? ?????????
两边积分，得到一个首次积分
()22
1222.dx dy x y A dt dt α-????+-+= ? ?????
其中A 为积分常数。引入极坐标cos ,sin x r y r θθ==，经过简单的运算，上式
可以写成
22
22.dr d r A dt dt r θα
????+-
= ? ????? （ 1.32） 另一方面，以y 乘（ 1.30），以x 乘（ 1.31），然后两式相减，得
22220d x d y
y x dt dt
-=，
即
0d dy dx x y dt dt dt ??-= ???
， 积分后得到另一个首次积分 dy dx
x y B dt dt
-=， 化成极坐标，便得
2
d r B dt
θ
=。 （ 1.33） 设0B ≠，则由（ 1.32）和（ 1.33）解得
dr d θ=，
不妨把“±”与B 合并，仍记为B ，则上式可以写成
B d d θ?? ?=， （ 1.34）
记2
,0A B α??
?=+?≤ ???若，则上式没有意义，故总设0?>。将（ 1.34）积分，
得到
0arccos .B αθθ??- ?
=-
这里0θ又是一个积分常数。从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程
()
2
01B r B
α
θθ=
+
-。 （ 1.35）
由平面几何知道，这是一条二次曲线。它的离心率是
0ε=
>。
当1ε<时，轨迹为一个椭圆；当1ε=时，轨迹为一个抛物线；当1ε>时，轨迹为一双曲线。由（ 1.35）可知，r 依赖于常数,A B α和，其中GM α=是系统常数；A 和B 由初始条件00
,
,t t t dr d r dt
dt
θ===和
确定。
如果0
0(0)t d B dt
θ===即，则由（ 1.33）知
()0,d t dt
θ
θ=等于常数，这表示运动的轨迹是一条射线，这是显然的事。
这个例子说明，虽然二体问题的解x=x （t ）和y=y （t ）没有求出来，但是利用首次积分，却完整地求出了运动的轨迹方程。
2 一阶齐次线性偏微分方程
下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。 2.1一阶线性偏微分方程
一阶线性偏微分方程的一般形式为
()
()()0,,,,,,,,2122121211=??++??+??n
n n n n x u x x x A x u x x x A x u x x x A ， 或简记为
()
0,,,1
21=??∑=i
n
i n i x u
x x x A ， （ 2.1） 其中u 为n x x x ,,,21 的未知函数()2n ≥。假定系数函数12,,
,n A A A
()1,,n x x D ∈对是连续可微的，而且它们不同时为零，即在区域D 上有
()1
2
1
,,
,0n
i
n i A x x x =>∑。
注意微分方程组（ 2.1）是线性齐次的。
对于偏微分方程组（ 2.1）, 我们考虑一个对称形式的常微分方程组
()()()
n n n n n x x x A dx x x x A dx x x x A dx ,,,,,,,,,212122
2111 ===， （ 2.3）
它叫做（ 2.1）的特征方程，注意特征方程（ 2.3）是一个（n -1）阶常微分方程
组，所以它有n -1个首次积分 ()()12,,
,1,2,,1i n i x x x C i n ?==-。 （ 2.4）
我们的目的是通过求（ 2.3）的首次积分来求（ 2.1）的解。( 2.1)的解与( 2.3)的首次积分之间的关系有如下的定理
定理1 假设已经得到特征方程组( 2.3)的1-n 个首次积分( 2.4) ()i n i C x x x =,,,21 ?， ()1,,2,1-=n i 则一阶偏微分方程( 2.1)的通解为
()()()()()12112212112,,
,,,
,,,,,,,,
,n n n n n u x x x x x x x x x x x x ???-=Φ( 2.5)
其中Φ为一任意1-n 元连续可微函数。 证明 设
()12,,
,n x x x C ?= （ 2.6）
是方程（ 2.3）的一个首次积分。因为函数12,,,n A A A 不同时为零，所以在局部
邻域内不妨设()12,,,0n n A x x x ≠，这样特征方程（ 2.3）等价于下面标准形式的
微分方程组
()
()()()11111111,,,,,,,.,,n n n n n n n n
n n A x x dx dx A x x A x x dx dx A x x --?=???
???=?? （ 2.7）
因此（ 2.6）也是（ 2.7）的一个首次积分，从而有恒等式
110n i i n n i
A x A x ??
-=??+=??∑， 亦即恒有
()
11
,
,0n
i n i i
A x x x ?
=?=?∑。 （ 2.8） 这就证明了（非常数）函数()12,,,n x x x ?为方程（ 2.3）的一个首次积分的充
要条件为恒等式（ 2.8）成立。换言之，()12,,,n x x x ?为方程（ 2.3）的一个首
次积分的充要条件是()12,,
,n u x x x ?=为偏微分方程（ 2.1）的一个（非常数）
解。
因为（ 2.4）是微分方程（ 2.3）的n -1个独立的首次积分，所以根据首次积分的理论得知，对于任意连续可微的（非常数）n -1元函数Φ，
()()112112,,
,,,,,
,n n n x x x x x x C ??-Φ=????
就是（ 2.3）的一个首次积分。因此，相应的函数（ 2.5）是偏微分方程（ 2.1）
的一个解。
反之，设()12,,
,n u u x x x =是偏微分方程（ 2.1）的一个（非常数）解，则
()12,,,n u x x x C =是特征方程（ 2.3）的一个首次积分，因此，根据首次积分的
理论得知，存在连续可微函数()11,
,n ??-Φ，使恒等式
()()()12112112,,
,,,
,,
,,,
,n n n n u x x x x x x x x x ??-≡Φ????
成立，即偏微分方程（ 2.1）的任何非常数解可以表示成（ 2.5）的形式。
另外，如果允许Φ是常数，则（ 2.5）显然包括了方程（ 2.1）的常数解。 因此，公式( 2.5)表达了偏微分方程组（ 2.1）的所有解，也就是它的通解。 例1 求解偏微分方程
()()0=??--??+x
z
y x x z y x （022>+y x ）. （ 2.9）
解 原偏微分方程( 2.9)的特征方程为
y
x dy
y x dx --=+ 它是一阶常微分方程组，求得其一个首次积分为
C e
y x x
y
=+arctan
22,
由定理1知，原偏微分方程的通解为
()???
? ??+Φ=x y e y x y x z arctan 22
,,
其中Φ为任意可微的函数。
例2 求解边值为题
()
0,0,0,01,.f z x y z z z f xy ?=>>>??==?
（ 2.10）
解 原偏微分方程（ 2.10）的特征方程为
z
dz
y
dy x
dx =
=
, 由
1C ==; 再由
2,ln dz
z C z ==得. 故方程的通解为
()()
z y y x z y x f ln 2,,,--Φ= （ 2.11）
其中Φ为任意二元可微的函数，可由边值条件确定, 因为
()()1ln 2,1,,--Φ=y y x y x f ()
xy y y x =-Φ=2,，
令y y x 2,=-=ηξ，则2
η
ξ+
=x ，
4,22
2
ηηξ=
???
?
?
+=y x ， ()=Φηξ,4222
ηηξ??? ?
?
+。
代入（ 2.11）式，得到 ()(
)
z y y x z y x f ln 2,,,--Φ
=
()(
)()2
2
2
ln 2
4
ln 2??
?
????
?-+
-
-=
z y y x z
y
()()
16
ln 2
ln 22
2
z
x z
y --=
.
2.2一阶拟线性非齐次偏微分方程
下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程
()
()()()
u x x x B x u u x x x A x u u x x x A x u u x x x A n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,212122121211 =??++??+??
（ 2.12）
的求解方法。
式（ 2.12）中函数()11,
,,,,n n A A B x x u G ∈和关于变元是连续可微的。这
里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的，各个系数
()u x x x A n i ,,,21 ，()n i ,,2,1 =中可能含有未知函数u ，而“非齐次”是指存在
不含未知函数偏导数的自由项()u x x x B n ,,,,21 。和一阶线性偏微分方程
()
()()120121121
,,
,,,,,,,n
i n n n i i
u
A x x x
B x x x B x x x u x =?=+?∑ （ 2.13）
相比较，显然式拟线性方程（ 2.12）比线性方程（ 2.12）更广泛。
我们将求解（ 2.12）的问题化成求解线性齐次方程的问题，设
()C u x x x V n =,,,,21
是（ 2.12）的隐函数形式的解，且
0≠??u
V
，则根据隐函数微分法得 u
V x V x u
i i
????-=??， ()n i ,,2,1 = （ 2.14）
将（ 2.14）代入（ 2.12）中，经过整理得
()
()
()()
1122121
21212,,,,,,,,,
,,,,,0.n n n n n n
V
V
A x x x u A x x x u x x V
V
A x x x u
B x x x u x u
??++????++=?? （ 2.15）
由此，可以将V 视为关于u x x x n ,,,,21 的函数，（ 2.15）变成了关于未知函数
()u x x x V n ,,,,21 的一阶线性齐次偏微分方程。于是函数()u x x x V n ,,,,21 应是方
程（ 2.15）的解。
反过来，假设函数()u x x x V n ,,,,21 是（ 2.15）的解，且0≠??u
V
，
则由（ 2.15）和（ 2.14）可以推出由方程
()u x x x V n ,,,,21 =0 所确定的隐函数()12,,
,n u u x x x =是方程（ 2.12）的解。这样求解方程（ 2.12）
的问题就化成了求解（ 2.15）的问题。为了求解（ 2.15），先写出其特征方程组为
()()()()
u x x x B du u x x x A dx u x x x A dx u x x x A dx n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,212121222111 =
===.（ 2.16） 式（ 2.16）可化为n 个常微分方程，求得它的n 个首次积分为
()i n i C u x x x =,,,,21 ?， ()1,2,
,i n =
就得到（ 2.15）的通解为
()()()()()u x x x u x x x u x x x u x x x V n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221121 ???Φ=
（ 2.17） 其中Φ是所有变元的连续可微函数。我们将（ 2.16）称为方程（ 2.12）的特征 方程组。上述过程写成定理就是 定理 设函数()()12,,;1,2,i n A x x x u i n =和()12,,;n B x x x u 在区域1n G R +?
内连续可微，12,,,n A A A 在G 内不同时为零，设()012,,
,;n V V x x x u =是
（ 1.25）的一个解，且
()0
0120,,,,;0n V V x x x u u
?≠=?则必是方程（ 2.12）的一个隐式解。
反之()12,,,;n x x x u ?是
（ 2.12）的一个隐式解，并且0,u
?
?≠? 则从它确定的函数 ()12,,,n u u x x x =，必是（ 2.15）的某个解()012,,
,;n V V x x x u =，使
()()01212,,
,;,,
,0.n n V x x x u x x x ≡
一阶线性非齐次偏微分方程（ 2.13）为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况，其解法完全与求解方程（ 2.12）的解法相同。
例4 求解 (
)21=??+??--+y
z x z y
x z . （ 2.18） 解 原一阶拟线性非齐次偏微分方程()18.1.5的特征方程为
2
11dz dy y
x z dx ==
--+, 故由
21dz
dy =
，积分后得12C z y =-，求得一个首次积分z y -=21?,再利用合比定理，有
1
dy y
x z dy dx dz =
-----, 积分后得22C y x z y =--+，故求得另一个首次积分为 y x z y --+=22?, 所以（ 2.18）的通解为
()
02,2=--+-Φy x z y y z .
例5 求解 ()1
212
,0n
n
u u u
x x x mu m x x x ???+++=≠???.
（ 2.19）
解（ 2.19）式为线性非齐次偏微分方程，是拟线性非齐次偏微分方程的特例，其特征方程为
mu
du
x dx x dx x dx n n ==== 2211, 分别积分，得n 个首次积分
m n n n x u x x x x x x 1
11132121,,,,====
-???? .
故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为
0,,,,111312=????
??Φm n x u x x x x x x , 其中Φ是各个自变量的连续可微函数，解出u 得显式通解
()????
??=11
312121,,,,,,x x x x x x F x x x x u n m n . 习题四
1 求解下列偏微分方程 （1）()1
212
0,0.k
k
y y
y
x x x k x x x ???+++=≥???
（2）()
()()0,u u u y z z x x y x y z
???+++++=??? （3）()
()()2222220.h h h
a b c b c a c b a a b c
??
?++++-
=??? 2
求解下列初值问题 （1）0,1,x u y z =?==-?当时。 （2）()()20,1,.z z x y y x y x z f ???-+=?????==?
当时。y
3 求解下列偏微分方程的通解。 （1）
23.u u u xyz x y z ???++=??? （2）()()()344333229.z z
xy x y x y
z x y x y
?
?-+-=-?
? 4、求解：
0,1,.f xz =?==?当y 时
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
一阶偏微分方程基本知识资料
一阶偏微分方程基本 知识
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,, ,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组
()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得
一阶线性微分方程解的存在唯一性证明
一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dx dy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 对于所有的 都成立,L 称 2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dx dy +=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ?=h x x ≤-0且满足初始条件: 这里 00)(y x =?),min(M b a h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只 就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首路习题到位。在管路敷对设备进行调整使其在正限度内来确保机组高中
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ， （ 1.1） 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。
例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得
第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解
第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性，
[整理]一阶微分方程解的存在定理.
第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）
(整理)一阶线性偏微分方程.
第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。
评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，
Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)
第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供
一阶偏微分方程初步
第六章 一阶偏微分方程初步 6.2 一阶常微分方程的首次积分 1.求下列方程的首次积分及通积分。 （1）???????==z y dx dz y z dx dy 22 （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（2）式除以（1）式可得 3 3 z y dy dz = 即033=-dy y dz z 积分可得： 14 4c y z =- 从而求得一个首次积分：44y z -=φ 其次，由???==dx y zdz dx z ydy 22 （上式为（3）式，下式为（4）式） 将（3）和（4）相加可得：()dx z y zdz ydy 22+=+ 即dx z y zdz ydy 22222=++ 积分可得到又一个首次积分x e z y 22 2+=ψ。于是微分方程组的通积分为 ?????=+=-2222144c e z y c y z x （2）???????-=-=y x x dt dy y x y dt dx （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（1）式除以（2）式，可得,x y dy dx =即ydy xdx =
积分后得122c y x =-。从而求得一个首次积分2 2y x -=φ （2）-（1）可得1)(=-dt x y d 即dt x y d =-)( 积分可得2c t x y =--。从而有得到一个首次积分t x y --=ψ 于是微分方程组的通积分为 ? ??=--=-2122c t x y c y x （3）xy dz xz dy yz dx == 解：由xz dy yz dx =，可得0=-ydy xdx 。积分可得：122c y x =- 从而求得一个首次积分22y x -=φ 由xy dz xz dy =，可得0=-zdz ydy ，积分可得222c z y =-。于是又得到一个首次积分： 22z y -=ψ 于是微分方程组的通积分为 ???=-=-2 22122c z y c y x （4）x y dz z x dy y z dx -=-=- 解：利用合比定理可得： x y dz z x dy y z dx -=-=-=()0z y x d ++ 由此可得()0=++z y x d ，于是得到一个首次积分： z y x ++=φ 另外，我们有()()()() 2222222 22z y x d x y z zdz z x y ydy y z x xdx ++=-=-=- 于是得到另一个首次积分222z y x ++=ψ。于是微分方程的通积分为： ???=++=++2 2221c z y x c z y x
一阶常微分方程解法归纳
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy
一阶线性偏微分方程
第七章一阶线性偏微分方程 7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。 dx dt dy dt 空2z dt 解之得 所以，方程组的通积分为 1 1 2t 1（t,x, y ） （x y -t -）e G ， 2 4 z C 1e 2t 即得一个首次积分为 1 (t, x, y) (x 1t 2 1 y 2t 1 4）e 2t C 1。 方程组的两式相减，得 d （x y ） dt 解之得另一个首次积分为 2（t, x, y ） 1 t 1 2 2 C 2。 易验证det x det 0。 因此，1(t,x, y) C 1和 2 （t,x, y ） C 2是两个独立的首次积分, 1) 2) 3) dx dt dy dt dx 1) 2y dy x z ，当 t 0 时，x y 1 dz d(x y) dt x y ，上方程化为一阶线性方程 方程组的两式相加，得 2（x y ） t 。
从中可解得通解为 即 i (t,x,y) (x y)2 y 2 C ；。 给方程组第一式乘以 y ，第二式乘以x ，再相减得 yx yy xy yy 2 2 (x y) y yx yy xy yy 1 1 (x y) y 两边积分，得另一个首次积分为 y 2 (t,x, y) arctan t C 2， x y 2 易验证 i (t,x, y) C i 和 2(t,x,y) C 2是两个独立的首次积分， 222 y 所以，方程组的通积分为 (x y) y C i ，arctan t C 2， x y x (C 2 CJcost (C 2 C i )si nt ，其中 C I C i si nc 2，C 2 C 1 cosC 2。 y C 1 cost C 2 si nt C 2 1 2 1 1 t -t — 4 4 8 C 2 1 2 1 1 -t -t 4 4 8 dx x 2y dy x y 2ydy ydx xdy 0， x C i e 2t y C i e 2t 2)方程组的两式相比，得 变形得恰当方程 xdx 容易得满足t 0时，x y 1的解为 x cost sint y cost 3) 三个分式相加，得 d(x y z) dy x z dz y x 解之得一个首次积分为 2 2 x 2y 2xy C 1， yx xy (x 2 2y 2 2xy) [(x y)2 y 2]， 通解为
一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 研究对象 初值问题(Cauchy Problem) ?????==(3.2) 3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念 1）利普希兹(Lipschitz)条件 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。其中L 称为利普希兹常数。 2 ）局部利普希兹条件 称函数),(y x f 在区域2R G ?内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。 注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。 3）一致利普希兹条件 称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ??2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ?，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式 2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ 其中L 是与λ无关的正数。 4）解的延拓 设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义， ],[),(b a x x y ∈=?是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ?，