的二次曲线称为双曲线.
当033=A ，这时C 为无穷远点，称Γ为无心二次曲线. 此时上面方程有一对相等的实根， 于是二次曲线与无穷远直线有一个实交点，这时的二次曲线称为抛物线.
定义5.7 无穷远点关于二次曲线的极线（极线为无穷远线除外），称为二次曲线的直径.
根据前面的知识知道，有心二次曲线的直径通过中心，无心二次曲线的直径互相平行（见图5-9）.
∞l
a P '
图5-8 图 5-9
定义5.8 如果两条直径之一的极点在另一直径上，则这两条直径称为共轭直径.
设a 与a '是一对共轭的直径（见图5-8），a 的极点a P 在a '上，当然a '的极点a P '在 a 上. 由于a P 是无穷远点，所以与a 平行的直线过a P '，这些直线与二次曲线有两个交点，
这两个交点的中点与a P '关于二次曲线Γ共轭.于是中点在a '上。于是有如下的结论：a 与 a '共轭，与a 平行的弦的中心都在a '上，与欧氏几何学中共轭直径的定义是一致的.
5.4.2 二次曲线的渐近线
定义5.9 设二次曲线Γ与无穷远直线∞l 相交于两点1T ，2T ，那么以交点1T ，2T 为切点的 切线就称为二次曲线Γ的渐近线.
O
图5-10
定理5.15 二次曲线的两条渐近线交于中心，而且调和分离任意一对共轭直径.
证明 设p 与p '是一对共轭直径，与无穷远直线∞l 的交点为P '和P （见图5-10）. 因 为渐近线t ，t '是切线，切点为T T ',，就是t 和t '的极点，T T ',在∞l 上，于是t t ',一定过
∞l 的极点O ，即一定过中心.
此外，p 和p '是一对共轭直径，一定过中心O ．p 过p '的极点P '，p '过p 的极点， 所以
()1,-=''P P T T ，
于是
()1,-=''P P T T O ，
即渐近线T O OT ',调和分离共轭直径P O OP ',.
∞l
图5-11
定理5.16 双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远直线为渐近线.
证明 事实上，二次曲线与无穷远直线的交点与中心的连线就是渐近线，如果与有两个实 交点，这时二次曲线是双曲线，有两条实渐近线. 若有两个虚交点，这时二次曲线是椭圆， 有两条虚渐近线. 若有一个二重实交点（见图5-11），曲线是抛物线. 这时曲线无中心， 当然也可以称为这个交点是中心，因为这个交点是无穷远直线关于二次曲线的极点，连线 就是无穷远直线本身，所以抛物线以无穷远直线为渐近线.证毕.
在仿射坐标下二次曲线的齐次方程为
02222
333322331132
22221122
111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a ．
与无空远直线03=x 的交点满足
022
22221122
111=++x a x x a x a ，
这个方程（看成
2
1x x 的一元二次方程）可以分解为
()()02121=++x x x x δγβα.
这表示过原点()1,0,0的两条直线．因为这两条直线分别过无穷远直线与二次曲线的两个交 点，即它们分别与于两条渐近线交于无穷远点，所以它们分别平行于两条渐近线．把齐次 坐标换成非齐次坐标，将
3
1x x x =
，3
2x x y =
，
代入上面的方程，得到直线非齐次坐标方程还为
()()0=++y x y x δγβα．
通过中心()ηξ,C 作这两条直线的平行线，即以
ξ-=x X ，η-=y Y ，
代替上面方程的y x ,得到的就是渐近线的方程.
例 求曲线
042322
2
=-+-+y x y xy x
的渐近线的方程.
解 系数行列式为
2
1
231111---， 余子式为131=A ，332=A ，0433<-=A ． 曲线是双曲线，中心C 的非齐次坐标为
4
133
31-
==
A A ξ，4
333
32-
==
A A η．
由
0322
2
=-+Y
XY X
，
得
()()03=+-Y X Y X
，
则有
0=-Y X ，03=+Y X ．
将4
3,4
1+
=+
=y Y x X 代入得
,2
1+
=y x 2
53-
-=y x ，
这就是两条渐近线的方程.
练习５－４
1. 求二阶曲线 01242222=+++++y x y xy x 的中心及过点()1,1的直线和共轭直径．
２、求下列二阶曲线的直径，它所平分的弦与给定的直线平行 ⑴,02322=-++-y x y x ;02=+y x ⑵∑=0j i ij x x a ,
.m y l x =
３、求证：二阶曲线的以1p 为中心的弦HK 平行于1p 的极线．又如果
()3211,,y y y p ，求出HK
的方程．
４、求下列双曲线的渐近线． ⑴,01024322=-+-+y x y xy x ⑵,0232=---+y x y xy ⑶.02=-a xy
５、求证双曲线具有如下性质：
⑴ 从双曲线上任何一点引直线各平行于渐近线，证明这二直线和渐近线所
成平行四边形的面积一定．
⑵ 任意一直线交双曲线与渐近线成相等的线段．
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的方法 思维导图 具体方法 相关定义及公式： 移轴公式 1、平面直角坐标变换 转轴公式 一般坐标变换公式： 二次曲线化简的 方法 平面直角坐标变 换 坐标变换 移轴系数变换规 律 转轴系数变换规 律 转轴（主直径） 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线 应用不变量化简二次曲线的方程 中心二次曲线 无心二次曲线 线心二次曲线
其中：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0,l1,l2相互垂直 ① ② 这里需要注意的是①中x的系数应和②中y的系数相等，所以在符号选取时要使得这两项系数同号。 2、不变量：由F（x，y）=0的系数组成的一个非常数函数f，如果经过直角坐标变换函数值不变，那么这个函数f叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量；若这个函数f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量。 ① ②
方法介绍： 一、直角坐标变换： 1、坐标变换 一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴 非中心二次曲线先转轴再移轴。 ①移轴下（）二次曲线的新方程为： 化简整理得： 这里有： 在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1）二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0）与2F2(x0,y0) ②在转轴（）下二次曲线的新方程为： 这里有
在转轴下，二次曲线方程系数的变换规律： （1）二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。 （2）新方程的一次项系数： 在转轴下，二次曲线方程的一次项系数 a13，a23的变换规律是与点的坐标x，y的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不难完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。 （3）常数项不变。 【例题详解方法】 例1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解： 由于二次曲线方程含有xy项，故可先通过转轴消去xy项。设旋转角为α，则有：
上,二次函数应用的类型
教师一对一个性化教案 学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时 教学目标 教学内容 二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题 教学重 点、难点及 考点分析 重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题 教学过程Part1桥·隧道 【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴， 且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为， 点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的 解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。 例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时： （1）求水面的宽度CD为多少米？ （2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B
教学过程 例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长； （3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？ 图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值
第五章二次曲线的一般理论
221340;x kt x y xy y y k t =+?+--=? =+?与二次曲线交于一点{}{}()() 00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得 ()()()2 22112110,00 x x x x x x --------==即 故直线在二次曲线上. 2.试决定k 的值,使得 (1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点; (2) 直线 (3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点; (4) 已知直线11x t y t =+??=-? 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k 的值 解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得 () ()22 250 2450 4160 4,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点. (2). 二次曲线的矩阵为1 2 231/201/20 ---- 且 .
()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120, k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2 210,11210,650,4 k k k k ?=+---=-+=即 即{}{}()()00,,1,,1,0, v X Y k x y ==121,5, k k ==()2 2 21 1 ,2011 01 1 X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时， ()()()()()21211002002100200430,1,3, 11).1,,10,213 2).3,,,150, 2 1,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+ ≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1 1 1 1(1)/20(1)/21 k k ----- 且 令 解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点. (4). 二次曲线的系数矩阵为 2 21/2 211/21 k ----且:1:(1)X Y =- 取00(,)(1,1),0,x y =<令即27 [(1)(1)](2)(3)02 k k k ++---+< 解得 49 24 k > ，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 49 24 k ∴> 时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。 §5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. ()()()22221230; 23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+= 解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.
二次曲线的化简性质及应用1
目录 摘要 (1) 0引言 (1) 1二次曲线的化简 (1) 1.1通过移轴化简二次曲线 (2) 1.2利用不变量化简二次曲线 (3) 1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4) 2二次曲线的性质 (7) 2.1二次曲线的曲率 (7) 2.1.1椭圆的曲率及性质 (7) 2.1.2抛物线的曲率及性质 (8) 2.1.3双曲线的曲率及性质 (8) 2.2二次曲线的重要性质 (9) 2.2.1椭圆中的定值 (9) 2.2.2双曲线的定值 (9) 2.2.3抛物线的定值 (10) 3二次曲线的应用 (10) 3.1二次曲线的光学性质 (10) 3.1.1抛物线的光学性质 (10) 3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12) 参考文献 (13) Abstract (13)
二次曲线的化简、性质及应用 作者:—— 指导老师:—— 摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用. 关键词:正交变换;曲率;光学性质 0 引言 二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形. 针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义. 对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结. 1 二次曲线的化简 我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的
曲线类型
Pro/E 曲线类型 每一页的曲线类型如下： 第1页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第3页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第5页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）；第7页：Talbot 曲线、4叶线、Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第9页：三叶线、外摆线、Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线； 第12页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第14页：蔓叶线、tan曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第16页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第18页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第21页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第23页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8字曲线； 第26页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第28页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线；第31页：ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线； 第33页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第36页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线；第38页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第40页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第42页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第44页：内五环和蜗轨线；
课题名称非圆二次曲线的车削加工
浙江工业职业技术学院 日期年月日 熟练掌握各种常见非圆二次曲线地车削加工方法，学会各种常见非圆二次曲线地车削加工编程、控制尺寸精度及形位公差地方法，并能合理安排加工工艺. 课时安排＜30学时） 1、工艺分析 2、学生编程 3、下料及准备工作 4、数控加工 5、检测评分 检测手段 1、游标卡尺 2、千分尺 4、深度千分尺 5、螺纹塞规、环规 6、半径规 7、曲线样板 安全及注意事项 1、遵守实训场地安全文明生产制度 2、遵守数控车床地安全操作规程 课后分析
其氽玖 图4-1实训图纸一 2、工艺分析 该零件主要地加工内容包括外圆粗、精加工、切槽及螺纹地加工 .加工工艺如 下： <1 ）零件左端加工 左端加工时从 M20X1.5 —直加工到° 40纭mi 外圆.装夹时也应考虑工件长度 应以一夹一顶地装夹方式加工 教案过程: 课题四非圆二次曲线地车削加工 一、 新课导入： 本模块 < 共3个课题）学习非圆二次曲线地车削加工方法 尺寸精度、形状位置公差和表面粗糙度地控制方法和确保方法 地编制方法. 二、 新课讲授： 1、零件图纸 .需要同学们熟练掌握 ，理解数控加工宏程序 7t±0.03
<2 ）零件右端加工 右端加工较简单，只需夹住■- 24 ±^9外圆，粗精加工椭圆即可? 3、刀具选择 <1 ）选用3地中心钻钻削中心孔? <2 ）粗、精车外轮廓及平端面时选用93 °硬质合金偏刀< 刀尖角35 °、刀尖 圆弧半径0.4mm ）. <3 ）螺纹退刀槽采用4mm切槽刀加工. <4 ）车削螺纹选用60。硬质合金外螺纹车刀. 具体刀具参数见下表 4、切削用量选择 （1）背吃刀量地选择.粗车轮廓时选用ap=2mm,精车轮廓时选用ap=0.5mm ； 螺纹车削选用ap=0.5. （2）主轴转速地选择.主轴转速地选择主要根据工件材料、工件直径地大小及加 工地精度要求等都有联系,根据图2-1要求，选择外轮廓粗加工转速800r/min,精车为 1500r/min.车螺纹时，主轴转速n=400r/min. 切槽时主轴转速n=400r/min. （3）进给速度地选择.根据背吃刀量和主轴转速选择进给速度，分别选择外轮廓粗精车地进给速度为130mm/mi n 和120mm/mi n ;切槽地进给速度为 30mm/mi n. 具体工步顺序、工作内容、各工步所用地刀具及切削用量等详见下表切削用量表
二次函数经典类型(全)
第1页，共5页 ………○……装………………○……装………校:___________姓名：______绝密★启用前 2017年12月19日初中数学 考试总分： 197 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、选择题（共 16 小题 ，每小题 3 分 ，共 48 分 ） 1.如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论： ①无论 取何值， 的值总是正数； ② ； ③当 时， ； ④ ； 其中正确结论是（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.二次函数 （ 为常数）的图象如图所示，当 时， ；那么当 时，函数值（ ） A. B. C. D. 3.抛物线 （ 是常数）的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.二次函数 满足以下条件：当 时，它的图象位于 轴的下方；当 时，它 的图象位于 轴的上方，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5.已知二次函数 的图象如图所示，有下列 个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.小轩从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.如图抛物线 的图象交 轴于 和点 ，交 轴负半轴于点 ，且 ，下列结论： ① ；② ；③ ；④ 其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其部分图象如图，则以下结论： ① ；② ；③ ；④方程 有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ）
例谈二次曲线的类型判断
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/9d16499340.html, 例谈二次曲线的类型判断 作者：李彬 来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期 问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？ x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1） 此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接触到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型. 容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况： 问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程. 问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径. 注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型. 下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式： 注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解： 其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作 参考文献 [1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
最新学习情境10非圆二次曲线类零件的车削加工描述
学习情境10非圆二次曲线类零件的车削 加工描述
学习情境10——非圆二次曲线类零件的车削加工描述 第一部分：学习情境4——行动过程及学习内容描述 1. 学习情境4——教学准备与输出材料总体设计 2. 学习情境10——行动过程与教学内容设计描述 2.1资讯、决策、计划 ①分析零件信息：教师布置项目工作任务，引导学生理解零件加工技术要求，学生资讯问题，教师解惑，学生分组讨论，学生填写相应卡片。
②拟定加工顺序，确定工艺装备，选择切削用量：学生在教师引导下学习搜集相关资料，教师听取学生的决策意见，学生填写相应卡片。 ③制定工艺规程：学生制定工艺规程及操作加工方案计划，教师审定并关注预期成果。 2.2实施 ①编写程序清单，在仿真软件上进行虚拟操作加工 ②将程序输入数控车床，校验程序 ③检查加工准备 ④实际操作加工 2.3检查 学生与教师共同对加工完成的零件质量逐项进行检测，学生在教师的关注指导下填写相应卡片，教师提供规范化技术文档范例供学生参考。 2.4学习评价 学生分析超差原因，评估任务完成质量，填写小组总结报告，举行小组成果报告会，教师关注团队合作效果。 3. 学习情境10——行动过程与教学内容总体设计
4. 学习情境10学习环节设计描述 通过对以上六个行动过程分析，来设计学习情境10的学习环节。针对学习情境10的具体学习内容，共设计了五个学习环节。 ①制定工艺方案
②编制程序、仿真操作加工 ③实际操作加工 ④零件检测 ⑤学习评价 第二部分：学习情境10——数控车削加工工艺知识准备轴类零件是机械加工中经常遇到的典型零件之一。在机器中，它主要用来支承传动零件、传递运动和扭矩。轴类零件其长度大于直径。 一般阶梯轴类零件在机械加工中的主要工艺问题是保证台阶轴的相互位置精度（即保证外圆表面的同轴度及轴线与端面垂直度要求）。 1.保证位置精度的方法：在一次安装中加工有相互位置精度要求的外圆表面与端面。 2.加工顺序的确定方法：基面先行，先近后远，先粗后精，即先车出基准外圆后，再车出端面，最后再粗精车各外圆表面。 3.刀具的选择：车削阶梯轴类零件时，要注意保证端面二次曲线面与外圆表面的垂直度要求，因此应选主偏角90°或90°以上的外圆车刀。 4.切削用量的选择：在保证加工质量和刀具耐用度的前提下，充分发挥机床性能和刀具切削性能，使切削效率最高，加工成本最低。 粗、精加工时切削用量的选择原则如下： ①粗加工时切削用量的选择原则：首先，在工艺系统刚度和机床功率允许的情况下，尽可能大的选取背吃刀量，以减少进给次数；其次，进给量的选取主要考虑机床工艺系统所能承受的最大进给量，还要考虑刚性等限制条件，如机床进给机构的强度，刀具强度与刚度，工件的装夹刚度等，应尽可能大的选取进给量；最后根据刀具耐用度确定最佳的切削速度。
二次曲线方程的化简与分类
2015届本科毕业论文（设计）论文题目：二次曲线方程的化简与分类 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-1班 学生姓名：努尔麦麦提.艾则孜 指导教师：候传燕老师 答辩日期：2015年5月6日 新疆师范大学教务处
目录 摘要 (1) 1前言 (3) 2二次曲线方程的化简与分类 (4) 2.1方程的化简 (4) 2 .1.1 中心曲线方程的化简.... . (4) 2 .1.2 无心曲线方程的化简 (4) 2 .1.3 线心曲线方程的化简 (5) 2.2 二次曲线的分类 (6) 2 .2 .1 二次曲线方程的不变量 (7) 2 .2 .2用不变量确定二次曲线的标准方程 (10) 2 .2 .3用配方法化简二次曲线方程 (11) 3总结 (16) 4参考文献 (17) 致谢 (18)
二次曲线方程的化简与分类 摘要：本文基本研究了二次方程化简和分类的多种方法：坐标变换法；不变量法；配方法等.并在此基础归纳总结出两种新的简便的方法，即不变量法和配方法详细介绍了二次曲线化简具体方法与步骤. 关键词：二次曲线；标准方程；不变量；参数法；配方法；
The two curve equation simplification and classification Abstract：This paper studies the method of two kinds of equation simplification and classification: the method of coordinate transformation; invariant method; factorization method. And on the basis of summarizing two new simple method, namely the method and parameter method, described in detail the specific methods and steps two times curve simplification. Key words：Two standard curve; equation; invariant method; parameter method;
非圆曲线数学处理的一般方法
非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理的一般的一般的一般方法方法方法 数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。一个已知曲线的节点数主要取决于逼近线段的形状（直线段还是圆弧段），曲线方程的特性以及允许的逼近误差。将这三者利用数学关系求解，即可求得一系列的节点坐标，并按节点划分程序段。以下简介常用的直线逼近及圆弧逼近的数学处理方法。 2.1 常用非圆曲线直线逼近方法常用非圆曲线直线逼近方法 2.1.1 等间距的直线逼近的节点计算 这是一种最简单的算法。如图2.1所示，已知方程)(x f y =，根据给定的x ?求出i x ，求i x 代入)(x f y =即可求得一系列i y ，即为每个线段的终点坐标，并以该坐标值编制直线程序段。 X Y N M M ) (x f 图2.1 等间距逼近方法的原理图 x ?取值的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ。一般先取1.0=?x 试算并校验。误差校验方法如图2.1中的右图所示，MN 为试算后的逼近线段，作''N M 平行于MN 且两直线的距离为允δ。根据节点的坐标可求得 MN 方程：0=++c by ax ，则''N M 的方程为22b a c by ax +±=+允δ 求解联立方程： ) (22x f y b a c by ax =+±?+＝允δ （2－1） 如果无解，即没有交点，表示逼近误差小于允δ；如果只有一个解，即等间
距与轮廓线相切，表示逼近误差等于允δ；如果有两个或两个以上的解，表示逼近误差大于允δ，这时应缩小等间距坐标的增量值，重新计算节点和验算逼近误差，直至最大的逼近误差小于等于允δ。 等间距法计算简单，但由于取定值x ?应保证曲线曲率最大处的逼近误差允许值，所以程序可能过多。用此种方法进行数学处理，它的逼近曲线与轮廓线的逼近误差参差不齐，程序明显增多，影响机床的加工效率，不适合大批量的加工，成本也比较高。 2.1.2 等弦长直线逼近的节点计算 就是使所有逼近线段的长度相等，如图2.2所示。计算步骤如下： X Y ) (x f y = 允 δ 图2.2 等弦长逼近方法的原理图 （1）确定允许的弦长：由于曲线各处的曲率不等，等弦长逼近后，最大误差max δ必在min R 处（设为图中的CD 段），则l 为 允允）δδmin 2min 2 min 22(2R R R l ≈??= （2）求min R 。曲线)(x f y =任一点的曲率半径为 /y")y'(1R 3/22+= （2－2） 取0/d =dx R ，即 0'")'1("'322=+?y y y y （2－3） 根据)(x f y =求得'""'y y y 、、，并由式（2－3）求得x 值代入式（2－2）即得min R 。
二次曲线方程的化简与应用
山西师范大学 现代文理学院（数计系） 毕业论文 论文题目：二次曲线方程的化简与应用 学生姓名：刘彦雪 学号： 1290110415 专业：数学与应用数学 班级： 1204班 指导教师：范青龙 二零一四年十一月四号
目录 摘要 (2) （一）、二次曲线的相关定义 (2) （二）、平面直角坐标变换 (3) 2.1二次曲线方程的化简与分类 (3) 2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................. 错误！未定义书签。（三）、应用举例.. (7) （四）、结束语 (10) 参考文献 (11)
二次曲线方程的化简与应用 刘彦雪 摘要 二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。 文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系 的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。 关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一）、相关定义 1.1.在平面上，由二元二次方程 ()22111222132333,2220 F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二 次曲线. 1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换. 1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,
二次曲线方程的化简
二次曲线方程的化简 一、平面坐标变换 1.移轴和转轴： 如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为 或 式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为 或 式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵. 2. 一般坐标变换公式为 或 3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0, 其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有 其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的. 二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响 1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为
即新方程为 这里 因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数不变； （2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)； （3）常数项变为F(x0, y0). 从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失. 2．在转轴下，二次曲线 F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 的方程变为 即新方程为 这里 因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为： （1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关. （2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项. （3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使 , 则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失. 三、二次曲线的方程化简 1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴. 例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.
非圆曲线的逼近 讲解
课程课程设计任务设计任务设计任务 用计算机高级编程语言(如VB,VC++等)来实现非圆曲线的逼近,可任选直线逼近(等间距法、等弦长法、等误差法等)或圆弧逼近. 要求在满足允许误差的前提下, 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少(即最优解). 要求如下: (1) 列出一般的直线或圆弧逼近的算法(流程图). (2) 列出改进的直线或圆弧逼近的算法(流程图)—即优化算法. 比 较改进前与改进后的两种算法结果 . (3) 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓, 根据指定 的走刀方向、起刀点 ,自动生成CNC 代码 . (4) 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 . 软件设计过程软件设计过程 非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计 1．等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点算法算法算法 已知方程y=f(x), 根据给定的△x 求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i 、y i 即为每个线段的终点坐标 ,并以该坐标值编制直线程序段. △x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ . 一般先取△x=0.1试算并校验 . 误差校验方法如下 : 如图, MN 为试算后的逼近线段, 作MN
平行于MN且两直线距离为δ允. 图1 等间距逼近 根据节点的坐标可求得MN方程: ax+by+c=0 则ax+by=c±δ允√a⌒2+b⌒2 求解联立方程: δ允=(ax+by-c)/ ±√a⌒2+b⌒2 y=f(x) 如果无解,即没有交点,表示逼近误差小于δ允;如果只有一个解, 即等距线与轮廓线相切, 表示逼近误差等于δ允; 如果有两个或两个以上的解, 表示逼近大于δ允, 这时应缩小等间距坐标的增量值, 重新计算节点和验算逼近误差, 直至最大的逼近误差小于或等于δ允.
二次曲线 即 圆锥曲线
二次曲线即圆锥曲线。 圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。 1简介 2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 2定义编辑 几何观点 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 代数观点 在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。 焦点--准线观点 （严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。 给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。 根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下： 1) e=0，轨迹退化为点（即定点P）； 2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线； 3) 01，轨迹为双曲线。 3概念编辑
关于不同类型缓和曲线的判断及起点
目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言），当两个缓和曲线长度相等时候则称之为对称缓和
二次曲线方程的化简
万方数据
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二次曲线方程的化简 作者：朱玉清， 柳静 作者单位：南阳理工学院,河南,南阳,473004 刊名： 南阳理工学院学报 英文刊名：JOURNAL OF NANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)：2009，1(6) 被引用次数：0次 参考文献(9条) 1.吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987. 2.张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16. 3.翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994(4):24-25. 4.苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249. 5.文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995(2):66-71. 6.林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26. 7.席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13. 8.廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81. 9.崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87. 相似文献(4条) 1.期刊论文张万生.董文瑾综合直角坐标变换对二次曲线方程的作用规律-数学教学研究2008,27(7) 本文进一步总结、探究直角坐标系的移轴和转轴,特别是综合变换对二次曲线方程的作用规律,为利用综合变换一次性化简曲线方程及作图做好必要的准备. 2.期刊论文崔萍.高真秋.Cui Ping.Gao Zhenqiu二次曲线方程化简与作图的简易方法-曲靖师范学院学报2007,26(6) 针对二次曲线方程化简与作图的方法,有的化简简单,但难于作图;有的化简繁琐,但易于作图.寻找一种既易于化简又易于作图的简便方法是一个值得研究的问题.文章在深入探讨二次曲线方程化简并作图的四种方法:坐标变换法、主直径主方向法、不变量与半不变量法、因式分解法的基础上,通过分析,归纳这四种方法之间的联系,给出一种相对于前四种方法对化简二次曲线方程并作图更为简便的方法,得到两个主要结论. 3.期刊论文张宇浅谈二次曲线方程的化简-网络财富2009(17) 二次曲线的化简是解析几何的中心研究问题,本文主要讨论二次曲线方程化简的几种常用的方法:坐标变换法,主直径、主方向法,不变量法,参数法和综合法,并给出各种方法优缺点的比较. 4.期刊论文夏艳.苏中.吴细宝.鄂盛国.XIA Yan.SU Zhong.WU Xi-bao.E Sheng-guo基于结构光的柱体工件直径测量-火力与指挥控制2008,33(12) 为实现柱状工件直径的实时快速非接触测量,利用结构光原理,对柱体直径的视觉测量方法进行了研究.详细介绍了结构光法测直径的原理和步骤,以及激光平面的标定和坐标变换求解空间二次曲线方程及特征参数的方法.实验证明该方法测量速度快,精度适中的特点,适用于大批量产品在线测量,亦适用于恶劣环境下的测量. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/9d16499340.html,/Periodical_nylgxyxb200906017.aspx 授权使用：武汉大学(whdx)，授权号：7161b81c-341e-437d-9f57-9ecd00ff9e62 下载时间：2011年4月22日
