九年级数学二次函数分类讨论思想易错题总结(含答案) (1)
九年级数学二次函数分类讨论思想易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共1小题，共3.0分）
1. 已知y 关于x 的二次函数y =ax 2?6ax +1，当?1≤x ≤4，函数的最小值为?3，
则a =( )
A. ?4
7
B. ?47或4
9
C. 4
9
D. ?47或1
2
【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查了二次函数的性质及最值，由y =ax 2?6ax +1=a (x ?3)2?9a +1，可知当a >0时，最小值是?9a +1=?3，当a <0时，x =?1时，y 有最小值?3，则a +6a +1=?3，解关于a 的方程即可求得． 【解答】
解：y =ax 2?6ax +1=a (x ?3)2?9a +1， 其对称轴为直线x =3，
当a >0时，最小值是?9a +1=?3，解得a =4
9；
当a <0时，x =?1时，y 有最小值?3，则a +6a +1=?3，解得a =?4
7， 所以a 的值为4
9或?4
7， 故选：B ．
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
2. 当?3≤x ≤2时，函数y =ax2?4ax +2(a ≠0)的最大值是8，则a =_____． 【答案】2
7或?32 【解析】 【分析】
本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论有关知识，本题首先求得对称轴，根据x 的取值，分a >0和a <0两种情况讨论求得即可． 【解答】
解：∵函数y =ax 2?4ax +2(a ≠0)的对称轴为直线x =?
?4a 2a
=2，
∴当a >0时，则x =?3时，函数y =ax 2?4ax +2(a ≠0)的最大值是8，
∴把x =?3代入得，9a +12a +2=8， 解得a =2
7；
∴当a <0时，则x =2时，函数y =ax 2?4ax +2(a ≠0)的最大值是8， ∴把x =2代入得，4a ?8a +2=8， 解得a =?32， 故答案为2
7或?32．
3. 已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 的三等分点，连接AE 与对角线BD 交于点F ，
则S ΔBEF ：S ΔABF ：S ΔADF ：S 四边形CDFE= ． 【答案】1：3：9：11或4：6：9：11 【解析】解：∵E 是BC 的三等分点， ∴BE
BC =1
3，或BE
BC =2
3， 当BE
BC =1
3时，如图，
在?ABCD 中，
∵AD//BC ，AD =BC ， ∴△ADF∽△EBF ， ∴
EF AF
=
BE AD =1
3
， ∴S △BEF ：S △ABF ：S △ADF =1：3：9， 设S △BEF =k ，S △ABF =3k ，S △ADF =9k ，
∴S △ABF +S △ADF =1
2S 四边形ABCD =S △BEF +S 四边形CDFE =12k ， ∴S 四边形CDFE =12k ?k =11k ，
∴S △BEF ：S △ABF ：S △ADF ：S 四边形CDFE =1：3：9：11， 当BE
BC =2
3时，如图，
在?ABCD 中，
∵AD//BC ，AD =BC ， ∴△ADF∽△EBF ， ∴EF
AF =BE
AD =2
3，
∴S △BEF ：S △ABF ：S △ADF =4：6：9， 设S △BEF =4k ，S △ABF =6k ，S △ADF =9k ，
∴S △ABF +S △ADF =1
2S 四边形ABCD =S △BEF +S 四边形CDFE =15k ，
∴S 四边形CDFE =15k ?4k =11k ，
∴S △BEF ：S △ABF ：S △ADF ：S 四边形CDFE =4：6：9：11， 故答案为：1：3：9：11或4：6：9：11．
由E 是BC 的三等分点，得到BE
BC =1
3，或BE
BC =2
3，根据平行四边形的性质得到AD//BC ，AD =BC ，再根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
4. 矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点M 在对角线AC 上，且AM: MC =2: 3，过
点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F.在AC 上取一点P ，使∠MEP =∠EAC ，则AP 的长为________． 【答案】7
4或25
4 【解析】 【分析】
本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，分类讨论思想，关键是用锐角三角函数求出EM 的长．根据题意可得AC =10，由AM ：MC =2：3可得AM =4，根据三角函数求EM =3，根据∠MEP =∠EAC ，则tan∠PEM =tan∠DAC =3
4，可求PM 的长，即可求AP 的长．
【解答】
解：如图：
∵矩形ABCD ，
∴AB =CD =6，AD =BC =8， ∴AC =10； ∵AM ：MC =2：3， ∴AM =4，MC =6； ∵tan∠DAC =CD AD
=
EM AM
，
∴6
8=
EM 4
，
∴EM =3； 若P 在线段AM 上， ∵∠EAC =∠PEM ， ∴tan∠PEM =tan∠DAC =PM ME
=
ME AM
，
∴
PM 3
=3
4
， ∴PM =9
4
，
∴AP =AM ?PM =7
4； 若P 在线段MC 上， ∵∠EAC =∠PEM ， ∴tan∠PEM =tan∠DAC =PM ME
=
ME AM
，
∴
PM 3
=3
4，
∴PM =9
4， ∴AP =AM +PM =254
，
∴AP 的长为7
4或25
4．
故答案为74或25
4．
5. 在半径为√2的⊙O 中，弦AB =√6，弦AC =2，则∠CAB =__________．
【答案】75°或15° 【解析】略
6. 如图在RtΔABC 中，∠ACB =90
°
，AC =3，BC =4，
点E 、F 分别在边AB 、AC 上，将ΔAEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在边BC 上．若ΔBDE 是直角三角形，则CF 的长为________．
【答案】72
49或9
8 【解析】 【分析】
本题考查的是折叠的性质，勾股定理，三角函数定义，分类讨论有关知识，分两种情况：①∠BED =90°，
过点F 作FM ⊥AE ，根据折叠性质可知∠AEF =∠DEF =45°，设FC =a ，则AF =3?a ，在Rt △AMF 中用a 表示出AE ，从而得到BE =5?AE ，在Rt △BED 中，根据三角函数用a 表示BE ，则构造出关于a 的方程；②∠BDE =90°，证明∠A =∠DFC ，根据三角函数找到FC 和DF 关系即可． 【解答】
解：①当∠BED =90°时，过点F 作FM ⊥AE ，
根据折叠性质可知∠AEF =∠DEF =45°， 设FC =a ，则AF =3?a ，在Rt △AMF 中， sinA =MF AF =45，∴MF =4
5(3?a)=ME ． cosA =
AM AF
=3
5，∴AM =3
5(3?a)．
∴AE =AM +MF =7
5(3?a)=DE ． 则BE =AB ?AE =5?7
5(3?a)．
在Rt △BED 中，tanB =DE
BE =3
4，∴BE =28
15(3?a)． ∴5?7
5(3?a)=
2815
(3?a)，解得a =
7249
；
②当∠EDB =90°时，如图，
根据折叠性质可知AF =FD ，∠A =∠EDF ， ∵ED//AC ，∴∠EDF =∠DFC ． ∴∠A =∠DFC ．
∴cosA =cos∠DFC =3
5，设FC =x ，则AF =3?x =DF ，
∴x
3?x =3
5，解得x =98． 综上所述CF 长为72
49或9
8． 故答案为72
49或9
8．
7. 已知y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过点A(?1,1)和B(1,?1)，
且当?1≤x ≤1时，有?1≤y ≤1，则a 的取值范围是____． 【答案】?1