第十讲 特殊四面体及其性质2
[接上] 第十讲:特殊四面体及其性质
[直角四面体的应用]
例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。 证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高
DH=
3
，而ＡＨ＝3a ，DO=OH
＝6
a ，在Rt AHO ?中?2
1
2
OA =
a 2
,同理
OB=OC=OA=
2
a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。
证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中，
则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点
[3]
，由定比分点公式得：
O(
2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）?AO OB ?=（22,,333a a a -）?（22,,333a a a
）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。
例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α?tan β?tan γ∈ ( )
A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1，
简析：由2．2 (1) I 有cos
2
a+cos
2
β+cos
2
γ=l ?sin
2
α=1–cos
2
α
=cos 2
β+cos
2
γ≥2cos β?cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘
有tan 2αtan 2βtan
2γ≥8 ∴选(A)
或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ?
tan α?tan β?tan γ≥ abc
=例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底
面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ） (A).
2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 2
6
解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =S
S '
? S 侧 =
S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）=
2
1
23++ ∴选 ( A )
解后反思：由2．2(1)Ⅲ 知cos 230+cos 245+cos 260=
3
2
1≠，故此题是一道流行很广的错题!
例4． 已知直线四面体O —ABC 中，三直角面与斜面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ，则（ ）
Ａ．cos αcos βcos γ=
1
3 B ．cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l Ｃ．sin αsin βsin γ=1
3
D ．sin 2α +sin 2β+sin 2γ=1
解法一：由2．2 (1) Ⅲ 知cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ? sin 2α +sin 2β+sin 2γ=2 ． ∴选
(B)
解法二：由2．4有S 4
2
＝21S ＋22S ＋23S ，两边同时除以S 4
2
，由cos θ =S
S '
得：
cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ．
解法三：补成长方体，则α、β、γ?长方体对角线OH 与OA 、OB 、OC 所成的角，特殊值法，令
OA ＝OB==O Ｃ=１，则方向角α＝β＝γ，且方向余弦cos α=cos β=cos γ(B)对。
例5． 直角四面体O —ABC 中，若分别满足下列条件，试求其体积V O ABC -的最大值。 ①．若S ABC ?= S 4为定值；②．若外接球半径为R(定值)； ③．若六条棱长和Ｌ为定值。
分析：V O ABC - =1
6
a bc =记为V
①．由性质2．3或2．4 ?2
4
S =()222222
14a b b c a c ++≥?a bc 3
243S ≤
?
∴当且仅当a =b=c ，即时， V max 324S ．
②．由性质2．8?2
＝2
2
2
a b c ++ 为定值，由均值不等式得：
33
2222222
433a b c R a b c ????++≤= ? ?????
∴当且仅当 a =b=c ＝3R 时， V max
=331627a R =．
③．
a 十
b 十
c (定值)，此式是关于a 、b 、c 的轮换式，
故由均值不等式知：当且仅当a =b=c L 时，等号成立! 或[4]
1L ?≥+ ?
(3
3
1621L V ≥?+? V max =)
3
3
3
71162
162
L L ?
=
例6.（２００４年湖南省高中数学竞赛题）已知三棱锥O —ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ.求证：3
3
arcsin
32
≤++<γβαπ
证明：由 题意可得 ： 1sin sin sin 2
22=++γβα，且α、β、 )2
,
0(π
γ∈ 所以
)cos()cos()2cos 2(cos 2
1
sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=
--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2
[
sin )(cos sin 2
2
2
γβπ
γβα+-=+>
当2
π
γβ≥
+时，2
π
γβα>++；
当2
π
γβ<
+时，)(2
γβπ
α+->
，同样有 2
π
γβα>
++ 故 2
π
γβα>
++
另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 3
3sin ,33sin ≤≥
γα; 令 βγα2211sin )3
3
(1sin ,33sin --==
，则 1sin sin sin 12212=++γβα )cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=
因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥-;所以)cos()cos(11γαγα+≥+
所以 11γαγα+≤+;如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大.所以，当α=β=γ=33arcsin
时，α+β+γ取最大值 33
3
arcsin .综上可知： 3
3
arcsin
32
≤++<γβαπ
． 注释：［1］．2．2中，如图一，利用2．1推导 ? Rt ?COD ，且OH ⊥CD ，AB ⊥面COD ，则 (1)： II 、取ＡB ，利用好R ｔ?AOB ，分析∠BAO 、∠ ABO 及90； III 、取α=∠CDO=∠COH ，结合I 中OH 即可证；(2)：II 、如 OC 与斜面所成角∠OCD=∠DOH 转化为I 得证； Ⅲ、分析AB ?∠BAO 、∠ABO 及0可证此关系式。 [２]．2．7中?12
(a+b+c)=()22
1234S S S S ++-，由各直角面的面积公式及性质2．4，将上式化简得证。
［3］．例1中， 3DE a =， 由性质2．6 (2 ) ? 直角四面体E —ABC 中，底面上的高
31
3
EH a DO OH DE =
===，∴点O 、H 为DE 的两个三等分点， 或可由O 、E 关于点H 之对称性知O —ABC 也是直角四面体。
[4]．例5③，由均值不等式 ?a 十b 十c 十
22a b +十22b c +十22a c +
33222abc ab bc ac ≥+++333322abc abc ≥+≥ ()
333612V +? ．
四. 等腰四面体
定义: 四个面都是全等三角形的四面体称为等腰四面体;三对对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.
它的外解六面体是长方体.它有许多有趣的性质。 (1)等腰四面体的性质与判定
定理1 四面体的三组对棱对应相等是该四面体是等腰四面体的充要条件。
证明 充分性显然成立，现证必要性。用反证法。已知等面四面体ABCD ，假设AB ≠CD ，由△ABC 与△DBC 全等，BC 是公共边，因此必有AB=BD ，AC=CD ，即△BAD 与△CAD 都是等腰三角形。又因为△BAD ≌△CAD ，AD 是公共边，所以AB=BD=CA=CD ，这与假设矛盾，因此必要性成立。 定理2 四面体各面的周长相等是该四面体成为等腰四面体的充要条件。 证明 必要性显然，现证充分性。设四面体ABCD 的各棱长为
c BC b DB a CD z AD y AC x AB ======,,,,,。由各面周长相等，得
,c b a b x z a z y c y x ++==+=++=++由c b a c y x ++=++可得b a y x +=+；
由b x z a z y ++=++可得b x a y +=+。由所得二式左右相减，可得a x =，同样得,,c z b y ==再由定理1，可得此四面体是等腰四面体。
定理3 四面体各面面积相等是该四面体成为等腰四面体的充要条件。
证明 必要性显然。现证充分性。如图3—1，已知
BCD ADB ACD ABC S S S S ????===，作AE ⊥AD 于E ，
DF ⊥BC 于F ，BN ⊥AD 于N ，CM ⊥AD 于M 。假设 AB ＞CD ，由DBC ABC S S ??=，可得AE=DF ，因此BE>CF
CA BD CE BF >?>?。再由CAD BAD S S ??=，得
CM=BN ，由BD>CA ?DN>AM ?DM>AN ?CD>AB ，
这与假设矛盾，因此CD AB ≤。但若AB 例1 求证：等腰四面体以对棱为棱的两个二面角相等。 分析 由于等面四面体ABCD 的各面面积相等(如图3—2），因此各顶点到对面的距离均相等，即AN=DM 。又由等面四面体的对棱相等，即AB=CD ，及 ACD ABD S S ??=，得高DE=AF 。于是易证∠DEM=∠AFN ，这两个角就是一组对 棱为棱的二面角的平面角。 (2)等腰四面体的外接平行六面体及内接八面体 先研究一般四面体的外接平行六面体。过四面体的每一条棱作其对棱的平行平面，得三对平行平面。这三对平行平面围成的几何体是四面体的外接平行六面体，显然，四面体的外接平行六面体是唯一的。反之，一个平行六面体的内接四面体有两个。如图3—3，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1有两个内接四面体ACB 1D 1及BDA 1C 1，这两个四面体是全等的（镜象全等）。四面体的棱是其外接平行六面 体的面对角线，四面体的体积是该平行六面体体积的1/3（如图3—3， 1111111111116 1 D C B A ABCD ADC D ABC B C D B C D B A A V V V V V -----====） 引理 四面体对棱中点连线交于一点且相互平分。 证明此引理，只需考虑四面体的外接平行六面体，四面体的对棱中点 连一即此平行六面体对面中心连线，它们都过平行六面体的中心（对角线交点）。 定理4 四面体对棱中点连线互相垂直是该四面体成为等腰四面体的充要条件。 证法1 先证充分性。四面体对棱中点连线互相垂直?四面体外接平行六面体对面中心连线互相垂直?该平行六面体是长方体?长方体各面是矩形，对角线相等?四面体对棱相等?四面体是等腰四面体。 以上步步可逆，于是必要性也证得。 证法2 如图3—4，四面体ABCD 对棱中点连线MN 、PQ 、RS 互相垂直?四边形MPNQ 、MRNS 、RPSQ 是菱形?MP=MQ 、MP=NR 、RP=RQ ?AB=CD 、BC=AD 、BD=AC ?ABCD 是等腰四面体。 例2 已知四面体四个面都是边长为13、25、5的三角形，求它的体积。 分析 如果利用公式Sh V 3 1 = 来求四面体的体积，将很难解决，主要困难是高不易求得。但如果考虑四面体的外接平行六面体，就简单多了。 解 ∵已知四面体四个面都是全等三角形，∴该四面体是等面四面体， ∴该四面体的外接平行六面体是长方体，13、25、5分别是该长方体三个面上的对角线长。 设该长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则有?? ???=+=+=+201325 222 222a c c b b a 解得 234 ===c b a ∴V 长方体=4×3×2=24 83 1 == ∴长方体四面体V V 说明 不少有关四面体的问题，考虑四面体的外接平行六面体，常常可以化难为易。 例3 求证：空间四边形的两组对边分别相等的充要条件是它的两条对角线的中点连线垂直于两对角线（每六届美国数学竞赛题）。 分析 本题有多种证明方法，请读者对比它们的优劣，考虑四面体的外接平行六面体或内接八面体是比较简便的方法。 证法1 先证必要性。如图3—5， 由AB=CD 、BC=AD ，可得△ABC ≌△CDA （CA 是公共边）。由全等三角形的对应中线 相等，得BE=DE ，所以EF ⊥BD ，同理， EF ⊥AC 。 再证充分性。利用反证法，假设AB>CD ， 由EF ⊥BD 且BF=FD ?EB=ED 。在△AEB 及△CED 中， 图3—3 图3—4 图3—5 必背经典结论---提高数学做题速度！ 立体几何（必背经典结论） 之 正四面体性质（李炳璋提供） 【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！ 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 （1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段 的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离， 若一个球与正四面体的6条 棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） （3） 正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥 正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ； （5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=） （6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =） （7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =） （8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。 （11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H （1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形； （2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ； （4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径 （9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。 我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。 性质2：Rt Δ的两个锐角互余。 性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。 性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。 性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。 (所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。 性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab +++＝2 1(a ＋b －c)。 现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。 ∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥ 面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两 两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于 D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而 PC ⊥面PAB ?PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ， AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。 由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐 角，从而有： 性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。 由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ?PD ＝22b a ab +；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2 ＝(22b a a b +)2＋ c 2 ＝222 22222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ?PH 2＝222CD PC PD ?＝2 2222222222)(b a a c c b b a c b a ab +++?+＝222222222a c c b b a c b a ++，∴21PH ＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋2 1c 。因此有： 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c 。 正四面体性质及其应用 Revised by Jack on December 14,2020 正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12 a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高 的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。 例3：（06年陕西卷）将半径为R 的球心到桌面的距离为 。 解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为2 6 3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距 离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。 例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ） A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DC E 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。 例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积S全 = 2a； (2)体积 V=3 12 a； (3)对棱中点连线段的长 d= a；(此线段为对棱的距离，若一个 球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角α= 1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β= 1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a； (8)切球半径 r= 12 a. (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积V= 1 6 a b c； ④底面面积S△ABC ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； A B C D O H ⑥S 2 △BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 22 221111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 R= ⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)切球半径 r= a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； A O H 直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。 我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。 性质2：Rt Δ的两个锐角互余。 性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。 性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。 性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。 (所以Rt Δ的外接圆半径R ＝ 21c ＝2122b a +)。 性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝ 2 2b a b a ab +++＝ 2 1 (a ＋b －c)。 现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。 ∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ?PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。 由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐角，从而有： 性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。 由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。 在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ?PD ＝ 2 2b a ab +；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2 ＝(22b a ab +)2＋c 2 ＝222 22222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ?PH 2 ＝222CD PC PD ?＝2 22222222 22)(b a a c c b b a c b a ab +++?+＝2 22222222a c c b b a c b a ++，∴21PH ＝ 2 222 22222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋21c 。因此有： 正四面体的性质及应用 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则存在以下性质： 【性质1】正四面体的3对相对棱互相垂直，任意一对相对棱之间的距离为 a 22 【性质2】正四面体的高=h a 3 6 【性质3】正四面体的表面积为23a .体积为 3122a 【性质4】正四面体的内切球半径为=r a 126.外接球半径为=R a 4 6且4:3:1::=h R r 【性质5】正四面体底面内任一点O 到三个侧面的距离之和为 a 36 【性质6】正四面体内任一点到四个侧面的距离之和为a 3 6 【性质7】正四面体的侧棱与底面所成的二面角大小为: 36arccos 【性质8】正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为: 3 1arccos 【性质9】设正四面体侧棱与底面所成的角为α,相邻两侧面所成的二面角的大小为β,则有βαtan 2tan = 【性质10】正四面体的外接球的球心与内切球的球心O 重合且为正四面体的中心 【性质11】中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等为3 1arccos -π 【性质12】正四面体内接于正方体,且它们共同内接于同一个球.球的直径等于正 方体的体对角线.( V 正四面体: V 正方体 : V 球 = 2 : 6 : 3 3) 二.正四面体性质的应用 【例1】一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a.求此球的体积.【例2】在正四面体ABCD.E,F分别为棱AD,BC的中点,连结AF,CE.①异面直线AF 和CE所成的角_______②CE与平面BCD所成的角_______ 【例3,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为________ 【例4】四面体的ABCD的表面积为S , 其四个面的中心分别为E , F , G , H .设四面体EFGH的表面积为T , 则 S : T = _______ 四面体的性质 不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱，四个面. 研究四面体的有关性质可以加深对四面体，空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力. 性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线.如图1中AB 和CD ，BC 和AD ，AC 和BD 都是异面直线. 性质2：四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心，则四面体的三组对棱分别互相垂直. 证明：如图2的四面体中，设顶点A 在面BCD 内的射影H 是BCD △的垂心.AH BCD ⊥平面.连结BH ，CH ，DH ，则BH CD ⊥，CH BD ⊥，DH BC ⊥.根据三垂线定理得AB CD ⊥，AC BD ⊥，AD BC ⊥. 性质3：四面体中，若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直. 证明：设四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，过A 作AH BCD ⊥平面，H 为垂足（如图2）.连结BH ，CH ，则BH 为AB 在平面BCD 内的射影，根据三垂线定理的逆定理，BH CD ⊥；同理CH BD ⊥，所以H 是BCD △的垂心.由性质2知AD BC ⊥. 根据性质2,3立即可以得到： 性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心，则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心. 利用全等三角形的判定和性质，可以证明下面两条性质： 性质5：四面体中，若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等.反之也真. 特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点. 性质6：四面体中，若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心，则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等. 性质7：四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形. 证明：如图3，设90APB BPC CPA ∠=∠=∠=o ，PA a =，PB b =，PC c =，不妨设a b c ≤≤，则222AB a b =+，222BC b c =+，222CA c a =+.显然BC 是ABC △的最大边，BAC ∠是ABC △中最大内角.根据余弦定理，有 ⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; 2 2 2 2 & ⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC 1 1 + -- ? 2 2 J b c R= 1 J a 2 + b 2 +c 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos ⑤ S △ BO =S BHC ? & ABC ⑧外接球半径 C 2 ⑨内切球半径r= S^OB +S^OC +S^OC~S m c a + b +c ⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos C 正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3 a ； （3） 体积V = 2 12 a 3 ； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2 a ； （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4 a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球 心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3 ，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3 ，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8 a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12 a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12 a ，因此选 例3：（06年陕西卷）将半径为R 心到桌面的距离为 。 解析 正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12 a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。 例3：（06年陕西卷）将半径为R 球的球心到桌面的距离为 。 解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则 ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为 2 6 3 R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。 例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60 ○ ，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿重合于点 P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ）A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DCE 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。 例5：（06年湖南卷）棱长为2球球心的一个截面如图1 [文件] sxglija0031.doc [科目] 数学 [年级] 高中 [章节] [关键词] 四面体 [标题] 四面体性质探索 [内容] [主讲教师] 北京四中李建华 [教学课题] 四面体性质探索 [教学目标] 1．通过教学使学生了解和掌握四面体﹑有一个顶点处三条棱相互垂直的四面体和对棱相等的四面体的基本性质，理解长方体、有一个顶点处三条棱相互垂直的四面体和对棱相等四面体的本质联系，并能够对四面体在多面体中的重要地位有所领会； 2．通过教学使学生初步体会到类比﹑转化与整合在认识事物过程中的重要作用，并能够初步理解和掌握转化与整合的思想方法； 3．通过教学培养学生的空间想象能力，提出问题﹑分析问题和解决问题的能力，特别是几何图形的分解与组合能力； 4．通过教学渗透科学理性精神，爱国主义情怀，激发学生学习数学 的兴趣，并逐步提高数学审美能力。 [教学重点] 类比、转化与整合思想方法的展示。 [教学难点] 几何图形之间各种联系的发掘和应用。 [课时安排] 1课时（45分钟）。 [教学模式] 启发式为主，辅以讲授。 [教学工具] 计算机以及常规教学工具。 [教学过程] 一、课题引入 师：从小学到高中，大家最熟悉的多面体大概就是长方体了。 （演示） 然而，从数学角度来看，长方体并不是最简单的多面体。比如，大家知道，如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体，就象从边的数目上来说，三角形是最简单的多边形一样。 那么，有没有可能将长方体分解为若干个四面体呢？ 我们先来回顾在平面几何当中，我们是怎样将任意多边形分解为三角形的。 （演示） 我们再来看看如何将长方体进行分解，请看演示： 正四面体 常用性质： 1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。因此，正四面体是特殊的正三棱锥。 3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。 正四面体的对边相互垂直。正四面体的对棱相等。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 3 。 4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： （中心把高分为1:3两部分} 2体积： 3 12 对棱中点的连线段的长： 2，两邻面夹角满足 1 cos 3 α=。 若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为 2，其实，正四面体的棱切球 即为次正方体的内切球。 5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a 以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为 其他性质： 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。 化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。正四面体键角是109度28分，约为109.47°。 正四面体的结构与稳定性 江苏省如皋市丁堰中学冒春建 226521 物质的组成、结构决定物质的性质。如果某物质具有稳定的空间构型，就有稳定的性质。那么怎么样的空间构型才是稳定的呢？按照价键理论，只要化学键的键角方向与其成键原子的价电子云在空间的伸展方向一致，则成键原子间的作用力最强烈，而成键电子与成键电子之间的排斥力最小（即通常所说的“键角张力”），非成键原子或原子团之间的空间距离最大，达到最大程度的舒展，使非成键原子或原子团间的空间位阻最小，具有这样的结构其内能最小，结构稳定。 正四面体结构是中学生所遇化学物质中最常见的空间构型之。例如，原子晶体中的金刚石、晶体硅、水晶等，它们的熔沸点高、硬度大，通常情况下很难跟一般的化学试剂反应，表现出较强的稳定性；分子晶体中的甲烷、四氯化碳等，它们在通常情况下与大多数化学试剂如强酸、强碱、强氧化剂、强还原剂等都不起反应，也表现出较强的稳定性。这是什么原因呢？因为在这些物质中，碳原子、硅原子都是以四个sp3杂化轨道与其相邻的四个原子形成典型的共价键基团“CC4”、“SiSi4”、“SiO4”或小分子“CH4”、“CCl4”，它们的键角方向与其中心原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向一致，均为109°28′，不存在“键角张力”。并且它们的成键原子的电子云之间达到最大程度的重叠，键能大，内能低，结构稳定，所以它们的性质也稳定。 我们知道，浓硫酸中+6价的硫具有强氧化性，而稀硫酸中同样为+6价的硫却没有氧化性，这是为什么呢？在浓硫酸中，+6价的硫绝大多数是以H2SO4分子形式存在，而H2SO4分子的空间构型是不规则的四面体，在H2SO4分子中O—S—O键的键角与硫原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向（夹角为109°28′）不一致，化学键之间存在较强的“键角张力”，内能较大。并且四个S—O键的键长不等，使位于中间的+6价硫原子的周围空间相对来说有一定的空隙，易受到具有还原性微粒的攻击，夺得电子，从而表现出氧化性。 在稀硫酸中，+6价的硫原子是以自由移动的SO42-离子形式存在，而SO42-离子的空间构型是正四面体，所有的S—O键都是沿着硫原子的四个sp3杂化轨道在空间的伸展方向成键，不存在化学键之间的“键角张力”，四个S—O键的键长、键能完全相同，四个氧原子均匀地、等距离地分布在硫原子周围，使位于正四面体中心的+6价硫原子难以被其它原子或原子团攻击，也就没有得电子的可能性，故稀硫酸中+6价的硫没有氧化性。 又如，氨气和硝酸中的氮元素分别处于最低价态-3价和最高价态+5价，按理说，前者具有较强的还原性，后者具有很强的氧化性，两者相遇应发生强烈的氧化还有反应，而事实上，它们之间发生的是非氧化还原反应（简单的化合反应），这又是什么原因呢？这是由于N H3分子中的氮原子在成键时的四个sp3杂化轨道有一个被自身的孤对电子占领，当它遇到H+后很快形成N→H配位键，变成N H4+离子。而N H4+离子的空间构型又是正四面体，四个N—H键的键长、键能均完全一样，键角均为109°28′，与N原子的四个sp3杂化轨道的夹角完全吻合，不存在“键角张力”；四个氢原子也均匀地分布在氮原子周围，使位于中心的-3价氮原子难以被其它原子或原子团进攻。故氨气在遇到硝酸、浓硫酸等酸性强氧化剂时，表现不出还原性。但是，当N H3在一定条件下，遇到CuO、Cl2等氧化剂时又表现出一定的氧化性。这是因为N H3分子中，N原子的四个sp3杂化轨道中有一个被孤对电子占用，根据价电子对互斥原理，N—H键间的夹角受孤对电子的排斥挤压，键角不再是109°28′，而是107°，故N H3分子中氮原子的周围空间不是被氢原子均匀包围，氮原子的价电子云有了一定程度的“裸露”，较易受到其它氧化性微粒的进攻，从而表现出一定的还原性。 正四面体性质及其应用 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】 正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3a ； （3） 体积V = 2 12 a 3； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高 的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。 例3：（06年陕西卷）将半径为R 的球心到桌面的距离为 。 解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为 2 6 3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距 离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。 例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（ ） A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DC E 实质上是棱长为1的正四面体， 则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。 例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3； (3)对棱中点连线段的长 d= 2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16 a b c ； ④底面面积S △ABC ； ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 2222 1111OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H 正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。 正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。 正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。 正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。 正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。 正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。 化学中CH4,CCl4等分子也呈正四面体状。 相关数据 当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： 高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。 表面积：√3a^2 体积：√2a^3/12 对棱中点的连线段的长：√2a/2 外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 棱切球半径：√2a/4. 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 两邻面夹角：2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。 [接上] 第十讲:特殊四面体及其性质 [直角四面体的应用] 例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。 证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高 DH= 3 ，而ＡＨ＝3a ，DO=OH ＝6 a ，在Rt AHO ?中?2 1 2 OA = a 2 ,同理 OB=OC=OA= 2 a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。 证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中， 则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点 [3] ，由定比分点公式得： O( 2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）?AO OB ?=（22,,333a a a -）?（22,,333a a a ）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。 例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α?tan β?tan γ∈ ( ) A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1， 简析：由2．2 (1) I 有cos 2 a+cos 2 β+cos 2 γ=l ?sin 2 α=1–cos 2 α =cos 2 β+cos 2 γ≥2cos β?cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘 有tan 2αtan 2βtan 2γ≥8 ∴选(A) 或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ? tan α?tan β?tan γ≥ abc =例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底 面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ） (A). 2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 2 6 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =S S ' ? S 侧 = S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）= 2 1 23++ ∴选 ( A ) (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ； ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ； ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H高考数学必背经典结论-正四面体性质
三棱锥的几个重要性质
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