常微分方程课程总结

常微分方程课程总结

第一章 绪论

§1.2微分方程的基本概念

（1）常微分方程偏微分方程

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。 常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。

()()

,dy

axy a dx

dy p x y Q x dx

=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。

()

22,2224

2

u u

f x y x y u u y x ??+=????=??

（2）线性与非线性

一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）

()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++

++=

（3）解和隐式解

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解

通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。

第二章 一阶微分方程的初等解法

§2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1、变量分离方程

)()(y x f dx

dy

?= ??+=c dx x f y dy )()(? 2.1.2、可化为变量分离方程的类型

1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝x

y ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，

变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝x

u

u g -)(

2.形如

2

221

11c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程

（1）

常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dx

dy ＝k ，有通解c kx y += （2）

≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx

dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）

2

1

21b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。则原方程变形为=dX dY Y b X a Y b X a 2211

++＝)(X

Y

g

§2.2 线性微分方程与常数变易法

（1）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx

dy

+=，其中)()(x Q x P ，在区间上是x 的连续函数。若)(x Q ＝0，则

变为y x P dx

dy )(=，

称为一阶齐次线性微分方程，若)(x Q 0≠，则称为一阶非齐次线性微分方程。 （2）

y x P dx

dy

)(=是变量分离方程，解为?

=dx x P ce y )(（c 是任意常数）。 （3）常数变异法，令?

=dx

x P e x c y )()(，微分之，得到

?

+?=dx x P dx

x P e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( 代入原方程得到新方程，解得c dx e x Q x c dx x P +?=?-)()()(

得到通解c dx e x Q e y dx

x P dx

x P +??

=?

-)()()( （4）伯努利微分方程

n y x Q y x P dx dy

)()(+= 令n y z -=1，从而dx

dy

y n dx dz n

--=)(，均代入原方程得到 )()1()()1(x Q n z x P n dx

dz

-+-=,这是线性微分方程。 §2.3 恰当微分方程与积分因子

2.3.1 恰当微分方程

（1）简单二元函数的全微分：

)(xy d xdy ydx =+

)(2y x d y xdy ydx =- )(2x

y

d x xdy ydx =+-

)(ln x y d xy xdy ydx =-- )arctan (ln 22y x d y x xdy ydx =+- )(ln 212

2y

x y

x d y x xdy ydx +-=--

2.3.2 积分因子

)(x N

x

N

y M ψ=??-

??，积分因子?=dx x e )(ψμ。 §2.4一阶隐式微分方程与参数表示

（1）形如),(dx dy

x f y =，

引入参数

p dx dy =，原方程变为),(p x f y =，两边对x 求导，并以p dx

dy

=代入，得到dx dy p f x y p ??+??=

，这是关于p x ,的一阶微分方程 （2）形如),(dx

dy

y f x =， 引入参数

p dx

dy

=，原方程变为),(p x f x =，两边对y 求导，并以

p dy dx 1=代入，得到dy dp p f y f p ??+??=1，这是关于p y ,的一阶微分方程，设求得通解为0),,(=c p y φ，则方程通解为{0

),,()

,(==c p y p y f x φ

（3）形如F （),y x '＝0

c t t dt t t t y dt t t t y t t p t t x tx p y x y x +++=+-=+-=+=+==='='-'+?2

33

33233

32

332333)1(4123)1()21(9,)1()21(9d ,13,13,y 0

3积分之，得到于是从而则由方程得解：令（4）形如F （),y y '＝0

第三章 一阶微分方程解的存在定理

§3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程

),(y x f dx dy

= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。

定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件

00()x y ?= （3.3）

其中,min(,

),max (,)x y R b

h a M f x y M

∈==,L 称为Lipschitz 常数.

思路：

1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 00(,)x

x y y f x y dx =+?

的连续解。

2）构造近似解函数列{()}n x ?

任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的

y ，得到

0100()(,())x

x x y f x x dx ??=+?

如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())x

x x y f x x dx ??=+?

如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到

001()(,())x

n n x x y f x x dx ??-=+? （3.4）

于是得到函数序列{()}n x ?.

3）函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即 lim ()()n n x x ??→∞

=

存在，对(3.4)取极限,得到

00

010lim ()lim (,()) =(,())

x

n n x n n x

x x y f x x dx

y f x x dx ???-→∞

→∞=++??

即0

0()(,())x

x x y f x x dx ??=+?.

4) ()x φ是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+?在00[,]x h x h -+上的连续解.

命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件

00()x y ?= 的解,则()y x ?=是积分方程 00(,)x

x y y f x y dx =+? 00x x x h ≤≤+ (3.5)

的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.

命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式

0|()|n x y b ?-≤ （3.6）

命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 记lim ()()n n x x ??→∞

=,00x x x h ≤≤+

命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.

命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+. 1、 近似计算和误差估计

求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法

0000100()()(,()) x

n

n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??

?=+≤≤+??? 对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式

1

|()()|(1)!

n n n ML x x h n ??+-≤

+ （3.7） 例1 讨论初值问题

22dy

x y dx

=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.

解 (,)1

max |(,|2,1,1,min{,

}2

x y R

b M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ?=≤=?,根据误差估计式

(3.16)

11

|()()|0.05(1)!(1)!

n n n ML x x h n n ??+-≤

=<++ 可知3n =.于是 0()0x ?=

3

2

2

10

0()[()]3

x

x x x x dx ??=+=?

37

2

2

21

0()[()]363

x

x x x x x dx ??=+=+?

371115

2

2

32

0()[()]363207959535

x

x x x x x x x dx ??=+=+++?

3()x ?就是所求的近似解,在区间11

22

x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.

§3.2 解的延拓

2、局部利普希茨条件

定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的

闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足利普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和利普希茨常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部利普希茨条件.

定理3 （延拓定理）如果方程

),(y x f dx

dy

=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部利普希茨条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，方程),(y x f dx

dy

=以),(00y x 为初值的解)

(x ?均可以向左右延展，直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界.

以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上，则当x m →时，(,())x x ?趋于区域G 的边界。

推论1 对定义在平面区域G 上的初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx dy

其中00(,)x y G ∈

若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论3 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)x y 点的解()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:

(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；

(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x )，其中为有限数，则当x m →时，或者()y x ?=无

界,或者点(,())x x G ?→?.

例1讨论方程21

2

dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间.

解 此方程右端函数21

(,)2

y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条

件.易知方程的通解为

11x

x

ce y ce

+=- 故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞； 通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞ (如图所示).注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到

+∞,但向左方只能延拓到0,因为当0x +→时,y →-∞.

例2讨论方程

1ln dy

x dx

=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y 轴是它的边界.

易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时, 0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且当0x →时积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点.

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理

1、解关于初值的对称性

设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与

00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式

00(,,)y x x y ?=

证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为

11(,,)y x x y ?=

并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立.

2、 解对初值的连续依赖性

由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：

引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式

0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）

其中0x 为所考虑区域内的某一值.

证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 2()[()()],V x x x a x b ?ψ=-≤≤ 则

()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ?ψ?ψ'=-- 于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤ 22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤ 从而

2(())0Lx d

V x e dx

-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有

02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤

对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为

(,)dy

f t y dx

=-- 而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-. 类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤

因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤ 两边开平方即得(3.17).

利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理

假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx

dy

有解00(,,)y x x y ?=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε， (,,)0a b δδε?=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ?=在

区间b x a ≤≤上也有定义，并且有

0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ε-<≤≤.

证明 记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ??=≡≤≤是xy 平面上一个有界闭集. 第一步:找区域D ,使S D ?,而且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件.

由已知条件,对(,)x y S ?∈,存在以它为中心的开圆,C C G ?,使(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,

,)i C i N =(不同的i C ,其半径i r 和

Lipschitz 常数i L 的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段S ,令1

N

i i G C ==

,则S G G ??,对

0ε?>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=?==,则以S 上的点为中心,以η为半径的圆的全体及

其边界构成包含S 的有界闭域D G G ??,且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为L .

第二步:证明(,,)0()a b δδεδη?=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψ?==在区间a x b ≤≤上也有定义.

由于D 是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解

00()(,,)y x x x y ψ?==必能延拓到区域D 的边界上.设它在D 的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,

这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有

0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ?ψ?ψ--≤-≤≤

利用()x ?的连续性,对()11

2

L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ??δ-<,取

12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有

0002||

22002||200002||2200002101|()()||()()|2

(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ?ψ?ψ???ψ???ψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()

022()21|) 4 ()

L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18)

于是对一切[,],|()()|x c d x x ?ψη∈-<成立,特别地有 |()()|c c ?ψη-<,|()()|d d ?ψη-<

即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域D 的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.

第三步 证明|()()|,x x a x b ?ψε-<≤≤.

在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当

2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有

0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ηε-<≤≤≤. 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理

若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ?=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.

证明 对00(,)x y G ?∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ?=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令

00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈ 下证00(,,)y x x y ?=在V 上连续.

对00(,,)x x y V ?∈,[,]a b ?,使解00(,,)y x x y ?=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ?>?>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时, 0

000(,,)(,,),2

x x y x x y a x b ε

??-<≤≤

又00(,,)y x x y ?=在[,]x a b ∈上对x 连续,故20δ?>,使得当2||x x δ-≤时有 0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b ε

??-<∈

取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有

000000000000(,,)(,,)

|(,,)(,,)||(,,)(,,)|2

2

x x y x x y x x y x x y x x y x x y ??????ε

ε

ε

-≤-+-<

+

=

从而得知00(,,)y x x y ?=在V 上连续.

§3.4 奇 解

包络: 设方程的通解的积分曲线族为

，如果有一条曲线，在这曲线上各个点与积分曲

线族中各个不同的曲线相切，就称这曲线为该曲线族的包络．

显然这包络就是奇解的积分曲线．另一方面，若一曲线是一奇解的积分曲线，则按照奇解的定义，在这曲线上的每一点至少与另一条积分曲线相切，所以这曲线是积分曲线的包络． 包络的求法: 对于固定的任意常数 c , 对积分曲线 的两边求微分得积分曲线应满足微

分方程

,

而在包络上 c 是 t 和 x 的函数

, 设包络方程为

对两边求微分得包络应满足的微分方程

,

比较所得的两个微分方程得

由于包络上 c 不是常数,

, 所以应有

因此, 我们得到包络必须满足的联立方程组(称为 c 判别式)

,

,

第四章 高阶微分方程

§4.1线性微分方程的一般理论

4.1.1引言

n 阶线性微分方程

1111()()

()()n n n n n n d x d x

dx

a t a t a t x f t dt dt

dt

---++++= （4.1） 其中()(1,2,

,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数

如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()

()0n n n n n n d x d x

dx

a t a t a t x dt dt

dt

---++

++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐次线性方程。 定理1 如果()(1,2,

,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈

(1)

(1)

000,,

,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ?=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：

1(1)

(1)0000001

()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt

???---=== （4.3） 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 定理2（叠加原理）如果12(),(),

,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合

1122()()()k k c x t c x t c x t ++

+也是（4.2）的解，这里12,,

,k c c c 是任意常数。特别地，当k n =时，即方程（4.2）

有解：1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4）

它含有n 个任意常数。

设12(),(),

,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数12,,

,k c c c ，使得恒等

式：1122()()()0k k c x t c x t c x t ++

+≡

对于所有[],t a b ∈都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当

120k c c c ==

==时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。

由此定义不难推出如下的两个结论：

1)在函数组n y y y ,,21中如果有一个函数为零，则n y y y ,,21在),(b a 上线性相关. 2)如果两个函数21,y y 之比21y y 在),(b a 有定义，则它们在),(b a 上线性无关等价于比式2

1y y

在),(b a 上不恒等于常数.

定理3 若函数12(),(),

,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡。

推论1 如果函数组12(),(),

,()n x t x t x t 的朗斯基行列式()W t 在区间[,]a b 上某一点0x 处不等于零，即

0)(0≠x W ，则该函数组在[,]a b 上线性无关.

但是，如果12(),(),,()n x t x t x t 是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：

定理 4 如果方程（4.2）的解12(),(),

,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性无关，则

[]12(),(),,()n W x t x t x t 在这个区间的任何点上都不等于零，即()0W t ≠ ()a t b ≤≤。

推论2 设12(),(),

,()n x t x t x t 是方程（4.2）定义在[,]a b 上的n 个解，如果存在0[,]x a b ∈，使得它的

朗斯基行列式0)(0≡x W , 则该解组在[,]a b 上线性相关.

推论3 方程（4.2）的n 个解12(),(),

,()n x t x t x t 在其定义区间[,]a b 上线性无关的充要条件是，存在

0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≠x W .

定理5 n 阶齐线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解。 定理6（通解结构定理） 如果12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）

的通解可表为：1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.5）

其中，12,,

,n c c c 是任意常数，且通解（4.5）包括了方程（4.2）的所有解。

4.1.3 非齐线性方程与常数变易法

性质1 如果()x t 是方程（4.1）的解，而()x t 是方程（4.2）的解，则()()x t x t +也是方程（4.1）的解。 性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。 定理7 设12(),(),

,()n x t x t x t 为方程（4.2）的基本解组，而()x t 是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的

通解可表为：1122()()()()n n x c x t c x t c x t x t =++++ （4.6）

其中12,,

,n c c c 为任意常数。而且这个通解（4.6）包括了方程（4.1）的所有解。

现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间a t b ≤≤上的实变量复值函数()x z t =称为方程

（4.1）的复值解，如果：1111

()()

()

()()

()()()n n n n n n z t z t z t a t a t a t z t f t d d d dt dt

dt

---++++≡ 对于a t b ≤≤恒成立。

定理8 如果方程（4.2）中所有系数()(1,2,

,)i a t i n =都是实值函数，而()()()x z t t i t ?ψ==+是方程的复值

解，则()z t 的实部()t ?、虚部()t ψ和共轭复值函数()z t 也都是方程（4.2）的解。

定理9 若方程1111()()

()()()n n n n n n x x

x

a t a t a t x u t iv t d d d dt dt

dt

---++++=+有复值解()()x U t iV t =+，这里()(1,2,

,)i a t i n =及()u t ，()v t 都是实函数，那么这个解的实部()U t 和虚部()V t 分别是方程

1111()()

()()n n n n n n x x

x

a t a t a t x u t d d d dt dt

dt

---++++=

和 1111()()

()()n n

n n n n x x

x

a t a t a t x v t d d d dt dt

dt ---++++= 的解。 §4.2 常系数线性方程的解法

4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程

设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状

[]11

110n n

n n n n x x x

L x a a a x d d d dt dt

dt ---≡++

++= （4.7） 其中12,,

,n a a a 为常数,称（4.7）为n 阶常系数齐线性方程。

其指数函数形式的解为：t x e λ= （4.8） （4.8）为方程（4.7）的解的充要条件是：

λ是代数方程：111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++

++= （4.9）

的根。

1）特征根是单根的情形

设12,,

,n λλλ是特征方程（4.9）的n 个彼此不相等的根，则相应地方程（4.7）有如下n 个解：

12,,

,n t t t e e e λλλ，且这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组。

2）特征根有重根的情形

设特征方程有k 重根1λλ=，先设10λ=，即特征方程有因子k λ，于是：110n n n k a a a --+====

易见它有k 个解211,,,

,k t t t -，而且它们是线性无关的（见4.1.2）。

4.2.3 非齐线性方程·比较系数法与拉普拉斯变换法

现在讨论常系数非齐线性方程：[]11

11()n n n n n n x x

x

L x a a a x f t d d d dt dt

dt

---≡++

++= （4.10） 的求解问题，这里12,,,n a a a 是常数，而()f t 为连续函数。

（一）比较系数法

类型Ⅰ

设()1011()m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++

++，其中λ及(1,2,

,)i b i n =为实常数，那么方程（4.10）有形如：

()1011k m m t m m x t B t B t B t B e λ--=++++的特解，

其中k 为特征方程()0F λ=的根λ的重数（单根相当于1k =；当λ不是特征根时，取0k =），而01,,,m B B B 是待定的常数。

类型Ⅱ

设[]()()cos ()sin t f t A t t B t t e αββ=+，其中α，β为常数，而()A t ，()B t 是带实系数的t 的多项式，其中一个的次数为m ，而另一个的次数不超过m ，那么我们有如下结论：方程（4.10）有形如

[]()cos ()sin k t x t P t t Q t t e αββ=+

的特解，这里k 为特征方程()0F λ=的根i αβ+的重数，而()P t ，()Q t 均为待定的带实系数的次数不高于m 的t 的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。

附注：类型Ⅱ的特殊情形： ()()cos t f t A t e t αβ=或()()sin t f t B t e t αβ= 可用另一更简便的方法——所谓复数法求解。 （二）拉普拉斯变换法

常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，由积分：0()()st F s e f t dt ∞

-=?

所定义的确定与复平面（Re s σ>）上的复变数s 的函数()F s ，称为函数()f t 的拉普拉斯变换，其中()f t 于

0t ≥有定义，且满足不等式：()t f t Me σ<，这里M ，σ为某两个正常数。 §4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 4.3.1 可降阶的一些方程类型

n 阶微分方程一般地可写为： ()(,,,

,)0n F t x x x '=

共有三类特殊方程的降阶问题：

1）方程不显含未知函数x ，或更一般地，设方程不含(1),,

,k x x x -'，即方程呈形状：

()(1)()(,,,

,)0k k n F t x x x += (1)k n ≤≤ （4.11）

若令()k x y =，即可求出方程（4.11）的通解。 2）不显含自变量t 的方程： ()(,,

,)0n F x x x '= （4.12）

只需令x y '=，并以它为新未知函数，而视x 为新自变量，则方程就可降低一阶。

3）齐线性方程： 1111()()

()0n n n n n n d x d x

dx

a t a t a t x dt dt

dt

---++

++= （4.2） 4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法

考虑二阶齐线性方程： 22()()0d y dy

p x q x y dx dx ++= （4.13） 及初始条件00()y x y =及00

()y x y ''=的情况。 定理10 若方程（4.13）中系数()p x 和()q x 都能展开成x 的幂级数，且收敛区间为x R <，则方程（4.13）有形如：0n n n y a x ∞

==∑的特解，也以x R <为级数的收敛区间。

定理11 若方程（4.13）中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R <，则方程（4.13）有形如：0

n

n n y x

a x

α

∞

==∑

即：0

n n n y a x α∞

+==∑的特解，这里00a ≠，α是一个待定的常数。级数（4.14）也以x R <为收敛区间。

第五章 线性微分方程组 §5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义

1

11112211221122222

1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??

??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,

,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续

的。方程组（5.1）关于12,,

,n x x x 及1

2,,,n

x x x '''是线性的. 1112121

22

212()()

()()()

()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=???

???

（5.2）

这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,

,)ij a t i j n =.

12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1

2n

x x x x '????'??'=????

'?? （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ?矩阵或n 维列向量。 方程组：

()()x A t x f t '=+ （5.4）

在某区间t αβ≤≤（这里[][],,a b αβ?）的解就是向量()u t ，它的导数()u t '在区间t αβ≤≤上连续且满足

()()()()u t A t u t f t '=+，t αβ≤≤

初值问题

()()x A t x f t '=+,0()x t η= （5.5）

的解就是方程组（5.4）在包含0t 的区间t αβ≤≤上的解()u t ，使得0()u t η=。 5.1.2 存在唯一性定理

()()x A t x f t '=+，0()x t η= （5.6） 的解的存在唯一性定理。

对于n n ?矩阵ij n n

A a ???=??和n 维向量12n x x x x ????

??=??????

，我们定义它的范数为 ,1

n

ij

i j A a

==

∑ 1

n

i i x x ==∑

设,A B 是n n ?矩阵，x ，y 是n 维向量，这时容易验证下面两个性质： １）AB A B ≤?

Ax A x ≤?

２）A B A B +≤+ x y x y +≤+

向量序列{}k x ，12k k k nk x x x x ????

??=??????

，称为收敛的，如果对每一个(1,2,,)i i n =数列{}ik x 都是收敛的。

判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果

()k k x t M ≤，a t b ≤≤

而级数1

k k M ∞

=∑是收敛的，则1

()k k x t ∞

=∑在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。

积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列{}()k x t 在区间a t b ≤≤上是一致收敛的，则

lim ()lim ()b

b

k k a

a k k x t dt x t dt →∞→∞

=??

定理１（存在唯一性定理）如果()A t 是n n ?矩阵。()f t 是n 维列向量，它们都在区间a t b ≤≤上连续，则对于区间a t b ≤≤上的任何数0t 及任一常数向量

12n ηηηη??

????=??????

方程组

()()x A t x f t '=+ （5.7）

存在唯一解()t ?，定义于整个区间a t b ≤≤上，且满足初始条件

0()t ?η=。

类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.

命题１ 设()t ?是方程组（５.４）的定义与区间a t b ≤≤上且满足初始条件0()t ?η=的解，则()t ?是积分方程

[]0

()()()()t

t x t A s x s f s ds η=++?，a t b ≤≤ （5.8）

的定义于a t b ≤≤上的连续解，反之亦然。

命题２ 对于所有的正整数k ，向量函数()k t ?在区间a t b ≤≤上有定义且连续。 命题３ 向量函数序列{}()k t ?在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。 命题４ ()t ?是积分方程（5.8）的定义在区间a t b ≤≤上的连续解。

命题５ 设()t ψ是积分方程（5.8）的定义于a t b ≤≤上的一个连续解，则()()t t ?ψ≡（a t b ≤≤）。 §5.２ 线性微分方程组的一般理论 现在讨论线性微分方程组

()()x A t x f t '=+ （5.9）

的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。

如果()0f t ≡，则（5.9）称为非齐线性的。 如果()0f t ≡，则方程的形式为

()x A t x '= （5.10）

称（5.10）为齐线性方程组，通常（5.10）称为对应于（5.9）的齐线性方程组。 ５.２.１齐线性微分方程组

定理２（叠加原理）如果()u t 和()v t 是（5.10）的解，则它们的线性组合()()u t v t αβ+也是（5.10）的解，这里α，β是任意常数。 定理３ 如果向量函数12(),(),

,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡，

a t

b ≤≤。

定理４ 如果（5.10）的解12(),(),

,()n x t x t x t 线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式()0W t ≠，a t b ≤≤。

定理５ （5.10）一定存在n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t .

定理６ 如果12(),(),

,()n x t x t x t 是（5.10）的n 个线性无关的解，则（5.10）的任一解()x t 均可表为

1122()()()()n n x t c x t c x t c x t =++

+

这里12,,,n c c c 是相应的确定常数。

定理1* （5.15）一定存在一个基解矩阵()t Φ。如果()t ψ是（5.15）的任一解，那么

()()t t c ψ=Φ （5.22）

这里c 是确定的n 维常数列向量。

定理2*（5.15）的一个解矩阵()t Φ是基解矩阵的充要条件是det ()0t Φ≠（a t b ≤≤）。而且，如果对某一个[]0,t a b ∈，0det ()0t Φ≠，则det ()0t Φ≠，a t b ≤≤。

（det ()t Φ表示矩阵()t Φ的行列式）。 要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。

推论1* 如果()t Φ是（5.10）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵，C 是非奇异n n ?常数矩阵，那么，()t C Φ也是（5.10）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵。

推论2* 如果()t Φ，()t ψ在区间a t b ≤≤上是()x A t x '=的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n n ?常数矩阵C ，使得在区间a t b ≤≤上()()t t C ψ≡Φ。

5.2.2 非齐线性微分方程组 本段讨论非齐线性微分方程组

()()x A t x f t '=+ （5.11）

性质1 如果()t ?是（5.11）的解，()t ψ是（5.11）对应的齐线性方程组（5.10）的解，则()()t t ?ψ+是（5.11）的解。

性质2 如果()t ?和()t ?是（5.11）的两个解，则()()t t ??-是（5.10）的解。

定理7 设()t Φ是（5.10）的基解矩阵，()t ?是（5.11）的某一解，则（5.14）的任一解()t ?都可表为

()()()t t c t ??=Φ+ （5.12）

这里c 是确定的常数列向量。

()()()t t c t ??=Φ+

常数变易法：

由定理1*可知,如果c 是常数列向量，则()()t t c ?=Φ是（5.11）的解，它不可能是（5.10）的解。因此，将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.10）的形如

()()()t t c t ?=Φ （5.13）

的解。这里()c t 是待定的向量函数。

假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到

()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+

因为()t Φ是（5.15）的基解矩阵，所以()()()t A t t 'Φ=Φ，由此上式中含有()()()A t t c t Φ的项消去了。因而()c t 必须满足关系式

()()()t c t f t 'Φ= （5.14）

因为在区间a t b ≤≤上()t Φ是非奇异的，所以1()t -Φ存在。用1()t -Φ左乘（5.14）两边，得到

1()()()t

t c t s f s ds -=Φ?，[]0,,t t a b ∈

其中0()0c t =。这样，（5.13）变为

1()()()()t

t t t s f s ds ?-=ΦΦ?，[]0,,t t a b ∈ （5.15）

因此，如果（5.10）有一个形如（5.13）的解()t ?，则()t ?由公式（5.15）决定。

反之，用公式（5.15）决定的向量函数()t ?必定是（5.10）的解。事实上，微分（5.15）得到

111()()()()()()()

()()()()()

t

t t

t t t s f s ds t t f t A t t s f s ds f t ?---''=ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ+??

再利用公式（5.15），即得

()()()()t A t t f t ??'=+

显然，还有0()0t ?=.

例2 11010t e x x -????'=+????????12x x x ??=????1(0)1x -??

=???? 解 在例1中我们已经知道()0

t t t e te t e ??

Φ=?

???

是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵()t Φ的逆，我们得到：

1210

()01s

s s s s

e se s e t e e --????-???

?Φ==????

这样，由定理，满足初始条件

0(0)0

ψ??

=????

的解就是

20

021()01000011(1)()220

00t

t s t t s t t s t t t t t t

t t s e te e e te e t e ds ds e e e e e e te e ψ------????

????

??==?

???????????????????

??????--????

==???

?????????

??

因为(0)E Φ=，对应的齐线性方程组满足初始条件

1(0)1

h ?-??

=????

的解就是

1(1)()()1t h t t e t t e ?-??

-??=Φ=????????

由公式，所求解就是

11()()(1)()()()220t t t t t t h t

t e e te e e t e t t t e e ??ψ--????

??--+-????

=+=+=????????????

§5.3 常系数线性微分方程

齐线性微分方程组

x Ax '= （5.16）

的基解矩阵的结构，这里A 是n n ?常数矩阵

5.3.1 矩阵指数exp A 的定义和性质

如果A 是一个n n ?常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A :

2

0exp !

2!!

k m

A k A A A A e E A k m ∞

===+++

++∑ （5.17）

其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是矩阵A 的m 次幂。这里我们规定0A E =，0!1=。 矩阵指数exp A 有如下性质：

1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB BA =，则

exp()exp exp A B A B +=+ （5.18）

2 对于任何矩阵A ，1(exp )A -存在，且

1(exp )exp()A A -=- （5.19）

3 如果T 是非奇异矩阵，则

11exp()()T AT T expA T --= （5.20）

定理9 矩阵

()exp t At Φ= （5.21）

是的基解矩阵，且(0)E Φ=.

例1 试求2102x x ??

'=??

??

的基解矩阵。 解 因为212001020200A ??????

==+????????????

，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到 2

2222001exp exp exp 02000101000002!0t t At t t e t E t e ????

=?????????

??????????

=+++?

????????????????

?

但是，

2

01000000????

=????????

所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

21exp 01t t At e ??

=????

假设A 是一个n n ?常数矩阵，使得关于u 的线性代数方程组

()0E A u λ-= （5.22）

具有非零解的常数λ称为A 的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值λ的非零解u 称为A 的对应于特征值λ的特征向量。

n 次多项式

()det()p E A λλ≡-

称为A 的特征多项式，n 次代数方程