高中数学直线和圆知识点总结教学内容

高中数学直线和圆知

识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈

（1）[0,)2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2π

θπ∈时，0k <

（4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞；

当倾斜角从90?增加到180?时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程

（1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：

121x x x x y y y y --=--

（4）截距式：1x y

a b

（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式

（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点

00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =

（3）平行线间的距离：

10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =

4．位置关系

（1）截距式：y kx b =+形式

重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式

重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系

1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的

所有直线方程（不含2l ）二．圆 1．圆的方程

（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）

（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）

（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ

=+??=+?（θ是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系

（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：

当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=

的距离d =R 的大小关系

当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距12d OO =与两圆半径之和1

2R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；

4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：l =

例1若圆x 2

＋y 2

＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．

解析：由题意知2

1＋k

＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案：(－3， 3)

例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2

＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．

解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝0

例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2

＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．

解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2

＝1，解得m ＝±3

3. 答案：±

例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．

解析：由题意可知圆C ：x 2

＋y 2

＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－?

??c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2

＝c 2

，所以所求弦长为2 3. 答案：2 3

例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2

＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．

(1)若|AB |＝42

，求|MQ |及直线MQ 的方程；

(2)求证：直线AB 恒过定点．

解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝22

，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝

－89＝13

，

又∵|MQ |＝|MA |

|MP |

，∴|MQ |＝3.

设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2

＋22

＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．

从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.

(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)

＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点? ??

??0，32.

例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2

－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．

解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2

＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22. 设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177.

答案：1或17

例7圆x 2

－2x ＋y 2

－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．

解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|

1＋3

＝1.

答案：1

例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．

解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2

(a ＞0)

∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，

∴x 2＋y 2

＝2.

答案：x 2＋y 2

＝2

例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．

圆C 的方程为x 2＋y 2

＋Dx ＋F ＝0，则?

????

26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得???

D ＝－4，F ＝－6.

圆C 的方程为x 2

＋y 2

－4x －6＝0.

[答案] (1)C (2)x 2＋y 2

－4x －6＝0