九年级圆全章辅导讲义

九年级圆全章辅导讲义

学生：科目：第单元第节第课时教师：课题

圆

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．

重点、难点

教学重点；圆心角与圆周角的关系

教学难点；圆心角与圆周角的知识点的分析和相互之间的关系

考点及考试要

求1 圆的相关概念

2 圆心角的概念

3 圆周角的概念

4 圆的位置关系

教学内容

知识框架

知识点l：圆的相关概念

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

B

A C

O

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？

2．你是用什么方法解决上述问题的？

（点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?我能找到无数多条直径．

2．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

B

A

C

D

O

M

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．

（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ． 这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.

分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、?OB 或AC 、BC 即可．

证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中

OA OB

OM OM =??

=?

∴Rt △OAM ≌Rt △OBM

∴AM=BM

∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称

∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

知识点2：圆心角的概念

如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

B

A

O

B

A

C

O

M

按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB ?和∠A'OB'将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B '

B

A

A '

O

AB =''A B ，AB=A ′B ′

理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合

∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？．

点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，?分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

O(O ')

O '

O

B '

A '

B B 'O(O ')

O '

O

B

A A A '

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B /．

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，?这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弧也相等．

知识点3：圆周角的概念

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

O B

A

C O

B

A

C

E https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

F 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 点评：

1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

1

2

∠AOC 的两侧，那么∠ABC=

1

2

（2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD ∠AOC 吗？

点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，?

那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．

侧，那么∠ABC=

12

（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同∠AOC 吗？

点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠

CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

12∠AOD-12∠COD=1

2

∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，?同样可证得它等于同弧上圆心

角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点4：

1、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；

2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；

3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

O

B

A

C

D O

B

A

C

D

https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

r d

d C

B

A

O

2、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点；

2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点；

3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；

d

r

d=r

r

d

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径 3、圆与圆的位置关系

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；

图1

r

R

d

图3

r

R d

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，?内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

考点一：圆的基本概念

典型例题

例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，?其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何

图2

r R

d 图4r

R

d

图5r R

d

C

E D O F

B A C

E D O N M

代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m ∵OE ⊥CD

∴CF=12CD=1

2

×600=300（m ）

根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545

∴这段弯路的半径为545m ．

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m ?是否需要采取紧急措施，?只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施

设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18

R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324 解得R=34（m ）

连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16

342=162+（34-x ）2

162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

知识概括、方法总结与易错点分析 1．圆的有关概念；

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用．

针对性练习

一、选择题．

1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ）．

A ．CE=DE

B ．B

C B

D C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD

B A

C

E

D

O

B

A

O M

B

A

C

D

P O

(1) (2) (3)

2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ）

A ．A

B ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD

C ．A

D BD D ．PO=PD 二、填空题

1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．

B

A

C

E

D O

B

A C

E

D

O

F

(4) (5)

2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM ?⊥CD ，?分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．

B

A C

D

O N M

2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

B

A C

E D

O

3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=?8，?求∠DAC 的度数．

考点二：圆心角的概念

典型例题

例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？?为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

O

B

A C

E

D

F

分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt ?△COF ，

∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD

∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=

12AB ，CF=12

CD ∴AE=CF

又∵OA=OC

∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF

（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：

∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF

又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=

12AB ，CF=12

CD ∴AB=2AE ，CD=2CF

∴AB=CD

∴AB =CD ，∠AOB=∠COD

例2．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD ?相交于MN ?上的一点P ，?∠APM=∠CPM ． （1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

B

A C

E

D

P O

N

M F

B

A C

E D

P

N

M

F

(3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD

理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F

∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF

连接OA 、OB 、OC 、OD

易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

知识概括、方法总结与易错点分析

1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．

针对性练习

一、选择题．

1．如果两个圆心角相等，那么（ ）

A ．这两个圆心角所对的弦相等;

B ．这两个圆心角所对的弧相等

C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;

D ．以上说法都不对

2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果AB =2AC ，那么（ ）．

A ．AB=AC

B ．AB=A

C C ．AB<2AC

D ．AB>2AC

O

B

A

C O

B

A C

E

D

(5) (6) 二、填空题

1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

3．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题

1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N ?在⊙O 上． （1）求证：AM =BN ；

（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？

O

B

A

C D https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

N M

2．如图，以

ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE

的度数和EF 的度数．

B

A

C

E

D

https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

F

3．如图，∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD ．

O

B

A C E

D https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

F

O B

A C D https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html, O

B A

C

D

https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

考点三：圆周角

典型例题

例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，?只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ADB=90°即AD ⊥BC

又∵AC=AB ∴BD=CD

例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：

sin a A =sin b B =sin c C

=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a

R

，

sinB=2b R ，sinC=2c R

，因此，十分明显要在直角三角形中进行．

证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D

在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a

A

同理可证：sin b B =2R ，sin c

C =2R

∴sin a A =sin b B =sin c

C

=2R

知识概括、方法总结与易错点分析

1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都相等这条弧所对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题

针对性练习：

1. 在半径为50厘米的⊙O 中，弦AB 的长为50厘米，（1） 求∠AOB 的大小；（2）计算点O

到AB 的距离；（3）求弦AB 所对的圆周角的度数.

2. 如图，O A ⊥BC ,∠AOB=50°,求∠ADC 的大小.

A

B

C

3.如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE,AE 与BD 交于点C ，则图中与 ∠BCE 相等的角有哪几个？

,

4.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC=30°,则求∠BAC 的度数.

5.已知，⊙O 经过△ABC 的三个顶点，∠B=30°,AC=2厘米，求⊙O 的半径.

6.如图,OB,OC 是⊙O 的半径，点A 是⊙O 上一点， 且∠ABO=20°,∠ACO=30°,求∠A.

O

A

D E

C

B

A B C O

A O

B A C

D O

7.已知，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，圆的半径为1，求弦AB 的长. .

8.如图，已知AB=AC,∠APC=60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形； （2）如果BC=4厘米，求⊙O 的面积.

考点四：圆的位置关系

典型例题

例1．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）

分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，?然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，?要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，?这种方法是几何代数解．

作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB ∴2

2

2

2

15(27)24x x +=-+ 解得：x=20

∴OC=221520+=25，即半径为25m

例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上． 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切

理由：①C 点在⊙O 上（已知）

②∵AB 是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°

综上：CD 是⊙O 的切线．

（2）在Rt △OCD 中，∠D=30°

·O

A

B

C

P

∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．

例3．如图，⊙O 的直径AB=12cm ，AM 、BN 是两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，?交BN 于C ，设AD=x ，BC=y ． （1）求y 与x 的函数关系式，并说明是什么函数？

（2）若x 、y 是方程2t 2

-30t+m=0的两根，求x ，y 的值．

（3）求△COD 的面积．

https://www.360docs.net/doc/9d3258224.html,

B

A C E

D O

N M

分析：（1）要求y 与x 的函数关系，就是求BC 与AD 的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x ，CE=CB=y ，即DC=x+y ， 又因为AB=12，所以只要作DF ⊥BC 垂足为F ， 根据勾股定理，便可求得．

（2）∵x ，y 是2t 2

-30t+m=0的两根， 那么x 1+x 2=

30900830900860444m m +---+=，x 1x 2=2

m

，便可求得x 、y 的值．

（3）连结OE ，便可求得．

解：（1）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则四边形ABFD 为矩形． ∵⊙O 切AM 、BN 、CD 于A 、B 、E ∴DE=AD ，CE=CB ∵AD=x ，CB=y ∴CF=y-x ，CD=x+y

在Rt △DCF 中，DC 2=DF 2+CF

2

即（x+y ）2=（x-y ）2+122

∴xy=36 ∴y=

36

x

为反比例函数； （2）由x 、y 是方程2t-30t+m=0的两根，可得：

x+y=22303083030844

m m

+---+=15

同理可得：xy=36

∴x=3，y=12或x=12，y=3． （3）连结OE ，则OE ⊥CD ∴S △COD =

12CD·OE=12×（AD+BC ）·12

AB

=

12×15×1

2

×12 =45cm 2

知识概括、方法总结与易错点分析 1、点与圆的位置关系 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、内心 外心的理解

针对性练习 一、 选择题

1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【 】

A ．内含

B ．相交

C ．相切

D ．外离

2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切

3．若1O 的半径为3cm ，2O 的半径为4cm ，且圆心距121cm O O =，则1O 与2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．内切 C ．相交 D ．内含

4． ⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）

A ． 相交

B ． 相切

C ． 相离

D ． 无法确定

5．如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点． 则B 点的坐标为

A ．???

? ??-5823, B ．()13,- C ．??

?

??-5954, D ．()

31,-

7. 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则ΔADE 和直角梯

形EBCD 周长之比为( )A. 3:4 B. 4:5 C. 5:6 D.6:7

8．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．

43

B ．

34 C ．45

D ．

3

5

9．如图1，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4 B ．8

C ．43

D ．83

10．如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=，P ∠的度

数为（ ）

A ．35

B ．45

C ．60

D ．70

（第8题） x y

O

1 1

B

A

P

B A

O

第

9

第10题图

A

B

C

O P

（第11题

A B C E

F

D O

11、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为 （ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．22

12．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙1O 的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B ．13cm C ．9 cm 或13cm D ．5cm 或13cm 二、 填空题

1．如图，已知O 是ABC △的内切圆，且50BAC ∠=°，则BOC ∠为 度．

2．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．

3．如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数是 ．

4．如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A B ，间距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm ，16cm ，则此两车轮的圆心相距 cm ．

5. 如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离．．和 ． 6．如图，从

O 外一点P 引O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，若8cm PA =，C 是AB 上的一

个动点（点C 与A B ，两点不重合），过点C 作O 的切线，分别交PA PB ，于点D E ，，则PED △的周长

是 ． 7．如图，AB 是

O 的直径，AM 为弦，30MAB ∠=，过M 点的O 的切线交AB

延长线于点N ．若12cm ON =，则

O 的半径为 cm ．

8.分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________. 三、 解答题

1．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ，

求证：PC 是⊙O 的切线．

B

C

A O （第1题）

1o 2o 3o 4o

C

B D A 第（2）题图① 第（2）题图② 1o 2o 3o

4o

5o

A B

C

E

D A

B

C

第3题图 （第4题图）

A B O

A D

P

E B C

（第6题图）

A

O

B

N

M

A

B

O C P

M

P

A

2.如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ． （1）求证：BC 是O 的切线；

（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．

3.如图，ABC △内接于O ，AB 为O 的直径，2BAC B ∠=∠，6AC =，过 点A 作O 的切线与OC 的延长线交于点P ，求PA 的长．

4.如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的

中点，连结DE ． （1）求证：DE 与O 相切；

（2）若

O 的半径为3，3DE =，求AE ．

5.（08山东潍坊20题）如图，AC 是圆O 的直径，10AC =厘米，PA PB ，是圆O 的切线，A B ，为切点．过A 作AD BP ⊥，交BP 于D 点，连结AB BC ，．

（1）求证ABC ADB △∽△；

（2）若切线AP 的长为12厘米，求弦AB 的长．

6.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是O 的切线；

（2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值．

7、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°

的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.

B

C

P

O A

B D C

E

A

O

A P D

B C

O C

P B

O A D

8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥． （1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由； （2）若662AD AE ==，，求BC 的长．

9、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．

求证：（1）△ABC 是等边三角形；

（2）CE AE 3

1

=．

．

10.如图10，AB 为

O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相

交于点C ．若点E 为弧AF 的中点，连接AE ．

求证：ABE OCB △≌△．

11.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．

（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．

12.如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，

O 交直线OB 于E D ，，连接

EC CD ，．

（1）求证：直线AB 是

O 的切线；

（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若1

tan 2

CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．

13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，

A

D

B

O

C

E

图

O

D

B

C

F E A

D

C

O

A

B

E

C

（第8题）

B

D

A

E

连结AD 、BD ．

（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）

（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）

14.如图，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E ．

(1) 试探究A E 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

(2) 已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案： ①你选用的已知数是 ；

②写出求解过程（结果用字母表示）．

15、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF=∠E. （1）证明CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC=CE ，求MO 的长.

巩固作业

1. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？

2. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

A

B C D E O a b c （第21题图）

C

A P O D C E O A D B

600

3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？

A

D B

O

C E

4. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

5. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。

6. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

7. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。

8. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5

10. 下列说法中，正确的是（ ）

A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内

B. 圆的半径垂直于圆的切线

C. 圆周角等于圆心角的一半

D. 等弧所对的圆心角相等