北师版数学高一学案建立概率模型

2.2建立概率模型

1.根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题.

2.理解概率模型的特点及应用．

知识点古典概率模型

1．在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．

2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．

3．在求古典概型的概率时，我们往往要列举基本事件，树状图法是进行列举的一种常用方法．

题型一用树状图求概率

例1甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：

(1)甲在边上；

(2)甲和乙都在边上；

(3)甲和乙都不在边上．

解利用树状图来列举基本事件，如图所示．

由树状图可看出共有24个基本事件．

(1)甲在边上有12种情形：

(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，

(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，

(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，

(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．

故甲在边上的概率为P ＝1224＝1

2

.

(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P ＝424＝1

6.

(3)甲和乙都不在边上，有4种情形：

(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P ＝424＝1

6

.

反思与感悟 对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况，在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法．

跟踪训练1 甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率． 解 甲同学的胜负情况画树状图如下：

每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有3×3×3＝27种情况．设“甲获胜”为事件A ，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况．故甲获胜的概率为P (A )＝10

27.

题型二 由列表法求概率

例2 某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？

解 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一

级运动员参赛”为事件E .

由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝1

3

.

反思与感悟 列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此方法．

跟踪训练2 在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1.2.3.4.5.6)后，让小组成员求： (1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？ (2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？ 解 两个玩具正面向上的情况如下表：

(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是636＝1

6

.

(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为2736＝3

4.

题型三 “有无放回”的古典概型

例3 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放

回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．

用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．

因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝2

3

.

反思与感悟 “有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．

跟踪训练3 一个盒子里装有完全相同的四个小球，分别标上1,2,3,4这4个数字，今随机地抽取两个小球，如果： (1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．

求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．

则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共6个．

(1)不放回取球时，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种． 故P (A )＝612＝1

2

.

(2)有放回取球时，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种． 故P (A )＝616＝3

8

.

1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1

3，则甲不输的概率为( )

A.5

6 B.25 C.16

D.13

答案 A

解析 先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝5

6

.

2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( ) A.112 B.512 C.712 D.56

答案 A

解析 由题意知，基本事件个数有12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P ＝1

12.

3．甲乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是( ) A.13 B.14 C.12 D.23

答案 C

解析 设两间房分别为A ，B ，则基本事件有(A ，A )，(A ，B )，(B ，A )，(B ，B )共计4种，则两人各住一间房包含(A ，B )，(B ，A )两个基本事件，故选C.

4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15

答案 D

解析 设Ω＝{(a ，b )|a ∈{1,2,3,4,5}，b ∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n ＝15，事件“b >a ”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数m ＝3.其概率P ＝315＝1

5

.

5．三张卡片上分别写上字母E，E，B.将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

答案1 3

解析三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为1

3.

1.建立概率模型的要求：把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，它要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．

2．建立概率模型的作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”．3．建立概率模型的一般原则：建立概率模型时，注意选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型．