高中数学完整讲义——常用逻辑用语1.命题与四种命题
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题型一:判断命题的真假
【例1】 判断下列语句是否是命题:
⑴张三是四川人;⑴1010是个很大的数;⑴220x x +=;⑴260x +>;⑴112+>;
【例2】 判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由.
(1)矩形难道不是平行四边形吗?
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)求证:R x ∈,方程012=++x x 无实根. (4)5>x
(5)人类在2020年登上火星.
【例3】 设语句()p x :πcos()sin 2x x +=-,写出π
()3
p ,并判断它是不是真命题;
【例4】 判断下列命题的真假.
⑴空间中两条不平行的直线一定相交; ⑴垂直于同一个平面的两个平面互相垂直; ⑴每一个周期函数都有最小正周期; ⑴两个无理数的乘积一定是无理数; ⑴若A B ,则A B B ≠;
⑴若1m >,则方程220x x m -+=无实数根. ⑴已知a b c d ∈R ,,,,若a c ≠或b d ≠,则a b c d +≠+; ⑴已知a b c d ∈R ,
,,,a b c d +≠+,则a c ≠或b d ≠.
【例5】 下面有四个命题:⑴若a -不属于N ,则a 属于N ;⑴若a b ∈∈N N ,,则a b +的最小值为2;
⑴212x x +=的解可表示为{}11,
.其中真命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个
典例分析
板块一.命题与四种命题
【例6】 命题p :奇函数一定有(0)0f =;
命题q :函数1
y x x
=+的单调递减区间是[10)(01],,-.
则下列四个判断中正确的是( )
A .p 真q 真
B . p 真q 假
C . p 假q 真
D . p 假q 假
【例7】 给出下列三个命题:
⑴若1≥a b >-,则11≥
a b
a b
++; ⑴若正整数m 和n 满足≤m n ()2
n
m n m -;
⑴设11(),P x y 为圆221:9O x y +=上任一点,圆2O 以(),Q a b 为圆心且半径为1.当2211()()1a x b y -+-=时,圆1O 与圆2O 相切;
其中假命题的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
【例8】 已知三个不等式:000,,c d
ab bc ad a b
>->->(其中,
,,a b c d 均为实数).用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3
【例9】 已知m n ,是两条不同直线,αβγ,
,是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A .若m n αα∥,∥,则m n ∥ B .若αγβγ⊥⊥,,则αβ∥ C .若m m αβ∥,
∥,则αβ∥
D .若m n αα⊥⊥,,则m n ∥
【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题:
⑴若m α∥,n α∥,则m n ∥;⑴若m α∥,n α⊥,则n m ⊥;⑴若m α⊥,m β∥,则αβ⊥. 其中真命题的个数是( )
A .0
B .1
C .2
D .3
【例11】 已知三个不等式:0,0,
0c d
ab bc ad a b
>->->(其中,,,a b c d 均为实数).用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成真命题的个数是 ()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【例12】 下面有五个命题:
⑴函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π. ⑴终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=
∈⎨⎬⎩
⎭
Z ,. ⑴在同一坐标系中,函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点. ⑴把函数π3sin 23
y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
π
6
得到3sin 2y x =的图象. ⑴函数πsin 2y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在()0π,上是减函数.
其中真命题的序号是 .
【例13】 对于四面体ABCD ,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).
⑴相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线;
⑴由顶点A 作四面体的高,其垂足是BCD ∆的三条高线的交点;
⑴若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高,则这两条高所在的直线异面; ⑴分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
⑴最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.
【例14】 设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
⑴若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β; ⑴若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行;
⑴设α和β相交于直线l ,若α内有一条直线垂直于l ,则α和β垂直; ⑴直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号是 ____ .(写出所有真命题的序号)
【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题,则x 的范围是___________.
【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合,对于映射:,f V V a V →∈,记a 的象为()f a .若
映射:f V V →满足:对所有,a b V ∈及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+,
则f 称为平面M 上的线性变换.现有下列命题: ⑴设f 是平面M 上的线性变换,则(0)0f =;
⑴对a V ∈,设()2f a a =,则f 是平面M 上的线性变换;w .w .w .k .s .5.u .c .o .m ⑴若e 是平面M 上的单位向量,对a V ∈设()f a a e =-,则f 是平面M 上的线性变换;
⑴设f 是平面M 上的线性变换,,
a b V ∈,若,a b 共线,则()(),f a f b 也共线. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)