高中数学完整讲义——常用逻辑用语1.命题与四种命题

题型一：判断命题的真假

【例1】 判断下列语句是否是命题：

⑴张三是四川人；⑴1010是个很大的数；⑴220x x +=；⑴260x +>；⑴112+>；

【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.

（1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根. （4）5>x

（5）人类在2020年登上火星.

【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π

()3

p ，并判断它是不是真命题；

【例4】 判断下列命题的真假．

⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑴垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑴每一个周期函数都有最小正周期； ⑴两个无理数的乘积一定是无理数； ⑴若A B ，则A B B ≠；

⑴若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑴已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑴已知a b c d ∈R ，

，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．

【例5】 下面有四个命题：⑴若a -不属于N ，则a 属于N ；⑴若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；

⑴212x x +=的解可表示为{}11，

．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

典例分析

板块一.命题与四种命题

【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；

命题q ：函数1

y x x

=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．

则下列四个判断中正确的是（ ）

A ．p 真q 真

B ． p 真q 假

C ． p 假q 真

D ． p 假q 假

【例7】 给出下列三个命题：

⑴若1≥a b >-，则11≥

a b

a b

++； ⑴若正整数m 和n 满足≤m n ()2

n

m n m -；

⑴设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；

其中假命题的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例8】 已知三个不等式：000，，c d

ab bc ad a b

>->->（其中，

，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，

，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，

∥，则αβ∥

D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥

【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：

⑴若m α∥，n α∥，则m n ∥；⑴若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；⑴若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例11】 已知三个不等式：0,0,

0c d

ab bc ad a b

>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【例12】 下面有五个命题：

⑴函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ⑴终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=

∈⎨⎬⎩

⎭

Z ，． ⑴在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点． ⑴把函数π3sin 23

y x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图象向右平移

π

6

得到3sin 2y x =的图象． ⑴函数πsin 2y x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭在()0π，上是减函数．

其中真命题的序号是 ．

【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

⑴相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；

⑴由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；

⑴若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ⑴分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

⑴最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

⑴若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ⑴若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

⑴设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ⑴直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）

【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.

【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若

映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，

则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ⑴设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；

⑴对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ⑴若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；

⑴设f 是平面M 上的线性变换，，

a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）