专题：二次函数图象对称性的应用

二次函数图象对称性的应用

一、几个重要结论：

1、抛物线的对称轴是直线__________。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。

二、在解题中的应用：

例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足

.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。

例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。

例4已知抛物线的顶点A在直线上。

（1）求抛物线顶点的坐标；

（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；

（3）求?ABC的外接圆的面积。

二次函数专题训练——对称性与增减性

一、选择 1、若二次函数

，当x 取

，

（

≠

）时，函数值相等，则

当x 取+时，函数值为（ ）

（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c

2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（

2

1

，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

4、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ）

A.14<<-x

B. 13<<-x

C. 4-x

D.3-x

5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；

那么x =a -1时，函数值（ ） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．y ＞m D ．y =m

6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( )

A ．(0.5，0)

B ．(1，0)

C ．(2，0)

D ．(3，0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)； 小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 8、若二次函数2

y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +

时，函数值为（ ）

Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c 9、二次函数

c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）

A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

10、已知关于x 的方程32

=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2

的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（ ）

A ．(2，－3 )

B ．(2，1)

C ．(2，3)

D ．(3，2) 11、已知函数215

322

y x x =-

--，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2

A ．y 3>y 2>y 1

B ．y 1>y 3>y 2

C ．y 2

D ．y 3

12、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得

出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ） Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．5

13、若123135

(,),(1,),(,)43

A y

B y

C y -

-的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）

A. y 1

B. y 3

C. y 3

D. y 2

14、从y=x 2

的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是 A 、ｙ≤0或

9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤9

15、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(

2

1

，y 2)， (－3

2

1

，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1 16、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )

A ．y=2x

B.y=-2x+5 C ． D ．y=-x 2

+2x-1

17、下列四个函数：①y=2x ；②

；③y=3-2x ；④y=2x 2+x(x≥0)，其中，在自变量x 的

允许取值范围内，y 随x 增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

18、已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个

19、已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=的两根分别是121.3x x ==和（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

20、已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3),则有( )

(A) y 1y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 2

21、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）

A. 321y y y <<

B. 132y y y <<

C. 123y y y <<

D. 231y y y <<

22、如图，抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，则c b a +-的值为

A. 0

B. －1

C. 1

D. 2

二、填空

1、已知抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________· 2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应

请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）

4、一元二次方程2

0ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，

在抛物 线

2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．

5、抛物线

c bx ax y ++=2的对称轴是x=2，且过点（3,0）

，则a+b+c=

6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____

7、请写出一个b 的值，使函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以 ． 8、当22x -<<时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是

（只填写序号）①2y x =；

②2y x =-；③2y x

=-

；④2

68y x x =++ 9、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件 ①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立； ②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大； ③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；

符合条件的函数的解析式可以是 。

10、已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2

-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 .

11、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量

x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）

。