最短路径问题专项练习题(完整版)

最短路径问题专项练习

共13页，全面复习与联系最短路径问题

一、具体内容包括：

蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；

线段（之和）最短问题；

二、原理：

两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）

1．最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

【例2】如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．

(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？

分析：(1)到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点．

(2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求．

解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B

的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12

AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．

(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．

【例3】如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直

的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？

思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使

路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．

解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．

(2)连接BC与河岸的一边交于点N.

(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

则MN为所建的桥的位置．

4．生活中的距离最短问题

由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．

【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

图a 图b

解：如图b.

(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．

5.运用轴对称解决距离之差最大问题

利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．

破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．

【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．

分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C B.

点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．

B C D

三、例题：

例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边

的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）

（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值

为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食

第2题

张村

李庄

张村

李庄

B 第1题第3题

图(2)

A C

图(3)

O C

物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径

为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN 的最小值为。

第4题第5题第6题第7题

5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。

6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。

7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC ＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。

11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小．

P 第11题第14题第15题

⌒⌒⌒

13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于．

14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF 的最小值为___________.

15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？

16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l 是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置，并写出他们的坐标：B ′ 、C ′ ；

归纳与发现：

（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标

平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角

平分线l 的对称点P ′的坐标为；

运用与拓广：

（3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试

在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的

距离之和最小，并求出Q 点坐标．

18、几何模型：

条件：如图，A 、B 是直线L 同旁的两个定点．问

题：在直线L 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B

'交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必

证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

19、问题探究

（1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

问题解决（3）如图③，若四边形ABCD 是矩形， 10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

20.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结0A ，将线段OA 绕原点

O 顺时针旋转120。，得到线段

OB. （1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt △OBD 中，∠ODB=90。，∠OBD=30。.

∴OD=1，DB=3

∴点B 的坐标是（1，3）.

（2）设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由已

知可得：

420c a b c a b c =??++=??-+=?

解得：323,,0.a b c === ∴所求抛物线解析式为2323.33y x x =

+ O A B P R Q 图3 A B E C B D 图1 O A B C 图2 P A B A 'P l A D B C A D B C E P A C D B

（3）存在.

由2

323

y x x

=+配方后得：()2

y x

=+-

∴抛物线的对称轴为x=－1.

（也写用顶点坐标公式求出）

∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.

∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA.

△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.

∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.

设直线AB的解析式为

k b

y kx b

k b

?+=

=+?

-+=

则有

解得：

323

k b

==∴直线AB的解析式为

323

y x

当x=－1时，

y=∴所求点C的坐标为（－1，

）.

21、如图，抛物线2

y ax bx c

=++的顶点P的坐标为

，，交x轴于A、B两点，交y轴于点(03)

C-

，．

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．

判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，

若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知

解得

b=分

（列出方程组给1分，解出给2分）

∴抛物线的解析式为2

y x x

=--分

（2）设点A （1x ，0），B （2x ，0）

20x x --=，解得1213x x =-=， -------------5分

∴∣OA ∣＝1，∣OB ∣＝3．又∵tan ∠OCB

＝||||

OB OC = ∴∠OCB ＝60°，同理可求∠OCA ＝30°．∴∠ACB ＝90° ----------6分由旋转性质可知AC ＝BD ，BC ＝AD

∴四边形ADBC 是平行四边形 ----------------------------7分又∵∠ACB ＝90°．∴四边形ADBC 是矩形 --------------------------8分

（3）延长BC 至N ，使CN CB =．假设存在一点F ，使△FBD 的周长最小．

即FD FB DB ++最小．

∵DB 固定长．∴只要FD +FB 最小．又∵CA ⊥BN

∴FD +FB ＝FD +FN ．

∴当N 、F 、D 在一条直线上时，FD +FB 最小．---------------------10分

又∵C 为BN 的中点， ∴12

FC AC =（即F 为AC 的中点）．又∵A （－1，0），C （0，－3） ∴ 点F 的坐标为F （12

，2-） ∴ 存在这样的点F （12

，，使得△FBD 的周长最小．---12分 22. 已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角顶点时，求点P 的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．

答案：

（1）将A （0，1）、B （1，0）坐标代入212

y x bx c =

++得 1102c b c =???=++?? 解得321b c ?=-???=? ∴抛物线的解折式为213122

y x x =

-+． 3分（2）设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122

m m -+，则E （m ，213122

m m -+）．又∵点E 在直线112y x =+上，∴21311122

m m m -+=+．解得10m =（舍去），24m =．

∴E 的坐标为（4，3）．过E 作EF x ⊥轴于F ，设P(b,0)．

由90OPA FPE ∠+∠=°，得OPA FEP ∠=∠． Rt Rt AOP PFE

△∽△．由AO OP PF EF =得143

b b =-．解得11b =，23b =． ∴此时的点P 的坐标为（1，0）或（3，0）． 6分

（3）抛物线的对称轴为32x =． ∵B 、C 关于x =2

3对称，∴MC MB =．要使||AM MC -最大，即是使||AM MB -最大． 8分由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大．

易知直线AB 的解折式为1y x =-+．

∴由132y x x =-+???=?? 得3212

x y ?=????=-?? ∴M （23，－21）． 10分

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-

【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（）. A B C ． D ．31

最短路径问题的算法分析及建模案例

最短路径问题的算法分析及建模案例一.摘要 (2) 二.网络最短路径问题的基础知识 (3) 2.1有向图 (5) 2.2连通性.............................................................................................. 错误！未定义书签。 2.3割集.................................................................................................. 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (6) 三．最短路径的算法研究............................................................................. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (6) 3.2 Bellman最短路方程...................................................................... 错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想.................................................... 错误！未定义书签。 3.4 Bellman-Ford算法的步骤............................................................ 错误！未定义书签。 3.5实例.................................................................................................. 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例............................................ 错误！未定义书签。 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (6) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (6) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (6) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (7) 3.11 两种算法的分析........................................................................... 错误！未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别 ...... 错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制.......................... 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解........................................ 错误！未定义书签。 4.Bellman-Ford算法的改进........................................................ 错误！未定义书签。

(完整版)最短路径问题专项练习

A B 最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点．

2020年中考数学动态问题分项破解专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(教师版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求P A+PB的最小值的作图.

P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求. 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析）三、精品例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为【答案】4. 【解析】解：∵PQ ⊥EP ， ∴∠EPQ =90°，即∠EPB +∠QPC =90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B =∠C =90°，∠EPB +∠BEP =90°， ∴∠BEP =∠QPC ， ∴△BEP ∽△CPQ ， O

中考专题——最短路径问题教学设计

中考专题——最短路径问题一、教学目标 1、认知目标：（1）能利用轴对称，平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。（2）能通过逻辑推理证明所求距离最短。（3）在探索最短路径的过程中，体会轴对称，平移的“桥梁”作用，感悟转化思想。 2、能力目标：（1）经历问题探究的过程，将实际问题转化为数学问题，培养转化的能力。（2）在解决问题过程中，养成良好的作图的习惯。（3）感受图形变换、转化、数形结合、模型等思想方法。 3、情感目标：通过专项讲解，运用现代化话的教学手段，提高学生学习的兴趣，归纳出方法和规律，积累解决数学问题的经验，提高学生的合作交流的意识，消除学生对此类问题的陌生感和恐惧感，提高学生解决问题的信心和能力。二、学情分析九年级学生已经学习完全部的初中知识，学生的分析、理解能力有明显提高，但由于学习这部分的知识时间过长，可能出现遗忘，所以要做好复习工作。本班学生学习数学的热情比较高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力但学生能力差异较大，两极分化明显。三、重点难点重点：利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。难点：如何利用轴对称，平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。四、教学过程

（一）.例题引入. 1.（最短路径综合题）如图，已知抛物线（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与 y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （-2，-2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积； ②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．（二）.基础作图（1）将军饮马如图，在河的同侧有两村庄，现要在河边L 建一泵站P 分别向A 、B 两村庄同时供水，要使泵站P 到A 村、B 村的距离之和最短，确定泵站P 的位置。（2）牧童放马如图牧马人从A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B 处，请画出最短路径。某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（三）.拓展练习 l A B

希望点列举法教学案例

“希望点列举法”教学案例福建省厦门第一中学黄建通教学目的 1.了解“希望点列举”的目的和意义。 2.学会用“希望点列举”的方法进行创新。 3.用适量的范例来加深学生对希望点列举法的理解。 4.用师生对话的形式进行发散和收敛思维训练。培养学生的创造思维能力和掌握该发明技法。教学重点利用找希望点的方法发现问题，进而寻找出解决问题方案。教学难点如何判断解决方案的优劣。教学过程一、引入课题一个人的希望总是与自己面临的问题或社会需求密切相关。人们在碰到困难时，总是希望找到解决困难的方法。在工作效率低时，总是希望找到省时省力的措施。古代，人们就有“千里眼”、“顺风耳”、“上天”和“入地”的希望，如今都一一如愿以偿了。满足需求和希望不仅是一切发明的出发点，也是所有发明的最终目的。只要我们用心寻求人们的希望，就能在“希望”的海洋里自由畅想，就会有取之不尽的创新源泉。在人类历史上，远大的理想造就了许多伟大的人物。在现实生活中，无尽的希望同样造就出众多的发明家。本节课将要学习列举分析技法中的第二种类型——希望点列举法板书：希望点列举法二、范例介绍【例1】投掷式手电筒警察在黑暗中用手电筒搜索歹徒时，会轻易地暴露自己的位置，往往成了对手的枪靶子。因此，警察部门迫切希望能有一种只照亮别人又不暴露自己的手电筒。意大利发明家阿尔贝托·卡博尼发明了一种六面发光的手电筒。它用橡胶构成主体，外形为正方体，六面各有一个灯泡和反射镜。使用时，将其投掷到可疑处，手电筒受到碰撞后自动接通电源，六面明亮的灯光便会照耀可疑点的四周。这种方式不仅能让暗藏的人暴露出来，还能有效隐蔽自己。目前，这种手电筒已成了军、警人员的好帮手。【例2】色盲可辨的信号灯

希望点列举法

一、希望点列举法的定义是在仔细观察和充分调查的基础上，从生活、学习、工作的需要出发，根据你或别人的某种希望，提出你"希望"东西的样子，再运用自己学过的知识和别人的经验，提出切实可行的办法，这种发明思路称为希望点列举法。案例1：达·芬奇是15世纪的意大利人。他曾希望人们能利用自己的力量飞上天。于是，他从愿望出发，设计了一种人力飞机，让人扒在上面，手脚一齐用力，使装有羽毛的飞机两翼像鸟一样，扑动并飞翔起来。尽管化的这个设计没有成功，但化希望用人力为实现飞行的愿望，经过人们几百年的努力，终于成功了。现在的人力飞机不仅能飞起来，而且能飞过英吉利海峡。达·芬奇的愿望实现了。达·芬奇的发明技法叫什么呢？就称为希望点列举法。案例2：民间故事《十兄弟》 ?千里眼：眼睛能看见千里之外的事物。 ?顺风耳：耳朵能听见极遥远的声音。 ?高脚七：双腿会在需要的时候变长，行动迅速，健步如飞。 ?飞天五：背上生有翅膀，可于天空中任意飞翔 ?遁地八：双腿会在需要的时候作镙旋转动，有遁地的异能。现在，市场上许多新产品都是根据人们的“希望”研制出来的。例如，人们希望茶杯在冬天能保温，在夏天能隔热，就发明了一种保温杯。人们希望有一种能在暗处书写的笔，就发明了内装一节五号电池、既可照明又可书写的“光笔”。在研制一种新的服装时，人们提出的希望有：不要钮扣，冬天暖夏天凉，免洗免熨，可变花色，两面都可以穿，重量轻，肥瘦都可以穿，脱下来可作提物袋等等。现在，这些愿意大多数都在日常生活中变成了现实。案例四：有一家制笔公司用希望点列举发明法产生出了一批改革钢笔的希望 .希望绝对不漏水,

希望不沾污纸面，希望书写流利，希望能粗能细，希望小型化，希望笔尖不开裂，希望不用打墨水，希望省去笔套，希望落地时不损坏笔尖等等。这家制笔公司从中选出“希望省去笔套”这一条研制出一种像圆珠笔一样可以伸缩的钢笔从而省去了笔套。从希望点出发设计出了这种可以伸缩的钢笔推出市场后大受欢迎。案例五：有一位在医疗技术部门工作的工程师为了满足残肢人的希望构思了一种具有套叠伸缩和连续旋转功能的假臂。他满怀信心地告诉残肢人说带上他设计的假臂可以伸到几米高的地方还能以优越于常人手臂的方式使用螺丝刀。谁知残肢人看过他那先进的多功能假臂方案后竞苦笑一声扬长而去。工程师的设计为什么失误?因为它只了解残疾人的表面希望以为需要“技术先进的假臂”就得在多功能和超人一筹方面下功夫殊不知残肢人内心的真正希望是过正常人的生活他们需要的是看起来与正常人无异的假案例六：日本有个洗衣机厂老板通过座谈会发动妇女提希望、要求有个妇女说如要单洗一件汗背心或内裤、手帕等“小东西”也放进洗衣机里洗似乎有些“大材小用”——浪费最好有一种微型的洗衣机专洗这类“小东西”最好能快洗快干上午洗、下午就能穿且体积要小、到处能放、不显眼。于是设计人员根据她的愿望、要求开发了专洗内衣、内裤、手帕等小物件、烘干又快的微型洗烘机受到了妇女们的青睐创造了商机。二、应用希望点列举法进行创造发明，有哪些要领呢？（１）我们的希望是指社会的希望、大众的希望。因此，我们要向社会了解、向大众了解他们的希望是什么？比如，随着社会主义市场经济的发展，人们希望有迅速传递住处的工具诞生。于是发明家发明了“传呼机”。为了满足不同人的希望，发明了中文显示传呼机，用汉字显示简短电文、预报气象；字符显示传呼机，以字母显示传呼住处急救传呼机，供老年心脏病、高血压患者使用，发病时可按

最短路径问题-数学建模比赛

2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录

1.摘要 (3) 2.问题的重述及分析 (4) 3.符号说明 (4) 4.模型的分析，建立和求解 (5) 5.模型的评价和改进 (10) 6.参考文献 (10) 7.附录 (11) 最短路径问题摘要

最短路径问题数学模型

问题重述：现准备在7 个居民点v 1, v 2, … , v7中设置一银行.问设在哪个点, 最合理？要建2个银行呢？解：先作出距离矩阵,如下: D （0）=???????????? ??????????????0 1.5 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ v7 1.5 0 4 ∞ ∞ 2.5 ∞ v6∞ 4 0 3 2 18 ∞ v5∞ ∞ 3 0 6 ∞ ∞ v4∞ ∞ 2 6 0 2 ∞ v3∞ 2.5 18 ∞ 2 0 3 v2∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 0 v1 v7 v6 v5 v4 v3 v2v1 然后对k=1,2,3…,n 依次利用算法原理中第n 步递归公式，由已知的D n-1各元素确定D n 的各元素值。插入v 1后D （1）的个元素和相应的最短路径因为对成性，D （1）的第一行元素和第一列元素与D (0)相同，D （1）的主对角线上的元素均为0，所以只需要计算其余15个元素的值： D 23(1)=min{d 23(0),d 21(0)+d 13(0)}=min{2,3+∞}=2 D 24(1)=min{d 24(0),d 21(0)+d 14(0)}=min{∞,3+∞}=3 D 25(1)=min{d 25(0),d 21(0)+d 15(0)}=min{18,3+∞ }=3

D 26(1)=min{d 26(0),d 21(0)+d 16(0)}=min{2.5,3+∞}=2.5 D 27(1)=min{d 27(0),d 21(0)+d 17(0)}=min{∞,3+∞}=3 D 34(1)=min{d 34(0),d 31(0)+d 14(0)}=min{6,∞+∞}=6 D 35(1)=min{d 35(0),d 31(0)+d 15(0)}=min{2,∞+∞}=2 D 36(1)=min{d 36(0),d 31(0)+d 16(0)}=min{∞,∞+∞}=∞ D 37(1)=min{d 37(0),d 31(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞ D 45(1)=min{d 45(0),d 41(0)+d 15(0)}=min{3,∞+∞}=3 D 46(1)=min{d 46(0),d 41(0)+d 16(0)}=min{∞,∞+∞}=∞ D 47(1)=min{d 47(0),d 41(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞ D 56(1)=min{d 56(0),d 51(0)+d 16(0)}=min{4,∞+∞}=4 D 57(1)=min{d 57(0),d 51(0)+d 17(0)}=min{∞,∞+∞}=∞ D 67(1)=min{d 67(0),d 61(0)+d 17(0)}=min{1.5,∞+∞}=1.5 由此可知 D （1）=?? ? ? ??? ?? ? ? ???????????∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞0 1.5 3 1.5 0 4 2.5 4 0 3 2 3 3 0 6 3 2 6 0 2 3 2.5 3 3 2 0 3 3 0,依次插入中间点v 2,v 3,v 4,v 5,v 6,v 7 可得不断更新的距离矩阵为：

中考数学复习微专题：《最短路径问题》的反思及应用

《最短路径问题》的反思及应用我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。有这样一个问题：如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短? 分析我们把河边近似看做一条直线l(如图2)，P为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P在直线l的什么位置时，AP与PB的和最小。 AB，交直线l于点P，则点P就如图3所示，作点B关于直线l的对称点'B，连接' AB最短，由对称性质知，是牧马人到河边饮马的位置。事实上，点'B与点A的线段' +=+=，即点P到点A、B的距离之和最小。 PA PB PA PB AB ' PB PB =，因为'' 上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。一、基本应用如图4，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O BC=，则折痕CE的长为多少? 重合，若3 分析沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，则点B、点O关于直线CE对称，

3CO CB ==，1122 ACB ∠=∠=∠，点O 是矩形ABCD 的中心，知26AC CO ==。所以12302 ACB ∠=∠=?，又在Rt CBE ∠中，30BCE ∠=?，3BC =，若设BE x =，则 2CE x =，得222(2)3x x -=，13x =，23x =-（舍去），所以223CE x ==。二、拓展应用如图5两条公路BA 、BC 相交于点B ，在两条公路之间的P 点有一个油库，若要在公路BA 、BC 上各设置一个加油站Q 和R ，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R )，再到另一个加油站R (或Q )，最后回到油库所走的路程最短，即PQ QR RP ++最小。分析要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到 P 关于BA 、BC 的对称点'P 、''P ，连接'''P P ，由对称性易知：'PQ P Q =，''PR P R =，此时'''PQ QR RP P Q RQ P R ++=++，欲使PQ QR RP ++最小，应在'"P P ，上取Q 、R 点为'"P P 分别与AB 、CB 的交点，此时PQR 的周长最小。三、灵活运用如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A 爬到桶内点B 去寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 弧长为15cm ，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎样走?

希望点列举法教学案例

“希望点列举法”教学案例省第一中学黄建通教学目的 1.了解“希望点列举”的目的和意义。 2.学会用“希望点列举”的方法进行创新。 3.用适量的例来加深学生对希望点列举法的理解。 4.用师生对话的形式进行发散和收敛思维训练。培养学生的创造思维能力和掌握该发明技法。教学重点利用找希望点的方法发现问题，进而寻找出解决问题方案。教学难点如何判断解决方案的优劣。教学过程一、引入课题一个人的希望总是与自己面临的问题或社会需求密切相关。人们在碰到困难时，总是希望找到解决困难的方法。在工作效率低时，总是希望找到省时省力的措施。古代，人们就有“千里眼”、“顺风耳”、“上天”和“入地”的希望，如今都一一如愿以偿了。满足需求和希望不仅是一切发明的出发点，也是所有发明的最终目的。只要我们用心寻求人们的希望，就能在“希望”的海洋里自由畅想，就会有取之不尽的创新源泉。在人类历史上，远大的理想造就了许多伟大的人物。在现实生活中，无尽的希望同样造就出众多的发明家。本节课将要学习列举分析技法中的第二种类型——希望点列举法板书：希望点列举法二、例介绍【例1】投掷式手电筒警察在黑暗中用手电筒搜索歹徒时，会轻易地暴露自己的位置，往往成了对手的枪靶子。因此，警察部门迫切希望能有一种只照亮别人又不暴露自己的手电筒。意大利发明家阿尔贝托·卡博尼发明了一种六面发光的手电筒。它用橡胶构成主体，外形为正方体，六面各有一个灯泡和反射镜。使用时，将其投掷到可疑处，手电筒受到碰撞后自动接通电源，六面明亮的灯光便会照耀可疑点的四周。这种方式不仅能让暗藏的人暴露出来，还能有效隐蔽自己。目前，这种手电筒已成了军、警人员的好帮手。【例2】色盲可辨的信号灯

数学建模实验报告-第十一章-最短路问题

实验名称：第十一章最短路问题一、实验内容与要求掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短路径的问题。二、实验软件 MATLAB7.0 三、实验内容 1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯需要附加时间为3，求v1到v8的最短时间路径。 V1 1 V2 3 V3 1 V5 6 V6 V4 2 V7 4 V8 程序： function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4)

v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4;turn=3; f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68; f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78; f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78; f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68; min=f1; if f2

实验结果： v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8. 2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。V110 V3V59 V6

floy.m中的程序： function[D,R]=floyd(a) n=size(a,1); D=a for i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; end end R for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)

最短路径问题专项练习

最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′， B ′ C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下：证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称，所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线．因为点C 与C ′在直线l 上，所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′，所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′，所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 【例1】在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点．

希望点列举法

希望点列举法在创造发明活动中，希望是灵感的源泉，通过对课题的希望和理想，使问题的本来目的聚合成焦点，再加以考虑的技法，就是希望点列举法。人们很早以前就有顺风耳和千里眼、上天和入地的“希望”。经过一代又一代人的不懈努力，现在都如愿以偿了：雷达、收音机、电视机就是顺风耳和千里眼，宇宙飞船和探地火箭就是上天和入地。运用希望点列举法可以分三步进行：定课题，列出希望点，制定具体的实施方案。例如：一同学看到盲人在往茶杯里倒开水时水往往会溢出茶杯，造成烫伤。于是他希望发明一个“盲人倒水控制壶”。这就是课题。接着，他经过考虑列出了下面几个希望点：第一，盲人自己可以摸着拧开和关闭龙头。第二，茶杯里水快满时，水龙头会自动停止出水。第三，开、关水龙头，用茶杯接水，水均不会溢出茶杯。他制定的具体方案如下： “控制壶”由盛水壶、水龙头、导气管、密封盖组成（如图7-1所示）。导气管通入壶内直达项部，离封闭盖约1厘米，使空气可以顺利进入壶内而茶水不会从导气管流出。导气管在壶外比水龙头略长2——3厘米。先由壶项灌水后，用密封盖封闭灌水口。当盲人灌开水时，先将杯口顶住水龙头和导气管，再拧开水龙头，开水流入杯中。当杯中水堵住导气管时，气体不再由导气管进入壶内。这时，由

于盛水壶内水面下降，壶内气压小于壶外大气压，水就不再流出。将水龙头关闭，移走杯子，即达到自动停水，保证盲人安全的目的。活动过程 1、思维训练 ⑴、电扇对着人吹，人会感到凉爽；电扇对着温度计吹，会有什么结果呢？为什么？ ⑵、某班，爱好创造发明的有40人，爱好小制作的有24人，爱好棋类的有15人。其中，创造发明和小制作都爱好的有20人，小制作和棋类都爱好的有8人，创造发明和棋类都爱好的有5 人，三项都爱好的有8人。问：这个班有多少人？ ⑶、设计一个工件，使这个工地穿过厚木板上的三个孔（图7-2）。这里所说的紧密穿过，是指工件穿过木板时间隙很小。 2、新车站的设计方案

中考数学专题复习《路径最短问题》教学设计

《中考专题复习路径最短问题》教学设计复习目标： 1、进一步复习勾股定理，轴对称、立体图形的侧面展开图的相关知识，形成形成知识网络。 2、针对最短路径的习题，能够举一反三，多题归一，形成解决最短路径问题的思考模型。 3、体会分类讨论、数形结合、转化的数学思想的应用。一、问题引入，知识回顾（约3分钟）教师：最短路径的问题是近几年的中考热点，我希望通过今天的复习，同学们能有方法可以遵循。 1、展示课件1：2013东营中考教师：会做的同学请举手，（数目不多），我相信通过今天的复习，同学们一定能解决这个问题。设计意图：通过中考真题，让学生感知中考，同时为本节课的平面图形、立体图形最短路径和做好铺垫。 2、展示课件2：要在河边修建一个水泵站分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？学生展示做法，其余学生补充。设计意图：通过对村庄与河流问题的解决模型进行回顾，为解决问题做好铺垫。二、跟踪训练一展示课件3：，如图②，正方形边长为8，DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少？学生思考1分钟，学生上台展示、板书。教师：为什么点B、D关于AC对称？这利用了正方形的什么性质？根据学生的回答，得出结论：对角线互相垂直平分的四边形都可以存在对称点。变式训练，举一反三 1、如图①，菱形边长为4，E是中点，P为AC上动点，∠DAB=60°,求PB+PE的最小值. D P A C E B

2、如图,若条件不变，BE 为1呢？ 3、若E 、P 均为AB 、AC 上的动点，位置不确定呢？设计意图：通过对村庄与河流问题模型的变式运用，让学生发现变化中的不变量，进一步体会模型的应用方法及转化思想。其中变式训练中问题1巩固了等边三角形的三线合一，直接转化为直角三角形。问题2则在难度上又有了进一步的增强，突出了解决三角形中的计算问题需将一般三角形转化为直角三角形的思考方法，突出了数学中的转化思想。而问题3则是变化最大之处，将做轴对称图形的思想与“垂线段最短”巧妙的融合，达到了学法的灵魂之巅。由最短路径中“一动点两直线”延伸变化为“两动点一直线”的路径和最短问题。出示变式训练、补偿提高求⊙O 中的最短路径学生思考1分钟后上台展示。教师引导总结：圆中常用的辅助线？求线段的长度一般要转化为什么三角形？展示课件跟踪训练二、链接中考求抛物线对称轴上点P ，使△PBC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标教师提问：设计意图应用，求三角形周长最短问题，是在路径和最短基础上又有新的变化，即运动路径中有一段是恒定不变的。这需要学生能去伪存真，把定长去掉，进而转化村庄和河流的问题，也就是由问题模型延伸到有固定不变的量的问题，突出了模型中的变化以及变化中的不变的模型本质。同时求点的坐标有两种方法，除了常用的函数解析式法，还强调了相似的运用，这是学生易疏忽的，借助还有不同的求法吗？借此突出函数与几何图形的关系以及一题多解的思想渗透。该环节处理之后进行知识回顾一，主要是对平面图形中的最短路径进行总结，将知识点系统总结，提升方法规律，强化注意点。立体图形中的路径最短是本课的第二个问题，这为开头的情景问题做好铺垫，同时起到承上启下的作用。出示知识回顾二教师:立体图形中的路径最短问题,又该如何解决呢？出示圆柱中A 点相对的B (π的值取3). 教师：你能用手中的教具演示最短路径吗？学生展示后课件展出。

数学建模典型例题

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（）． A ． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解. 【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′22=.故选A ．【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E

为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E ''≤-，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝112 AB =，OD DH 的最小值为OD －OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在x 轴正半轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（）. A B C ．1 D ．3 H G A