第五章 运筹学 线性规划在管理中的应用案例复习过程
第五章运筹学线性规划在管理中的应
用案例
第五章线性规划在管理中的应用
5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30
变量最优解相差值
x1 50 0
x2 25 0
x3 0 .083
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 .05
2 75 0
3 0 .033
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为 : 28.5
变量最优解相差值
x1 44 0
x2 10 0
x3 18 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 .05
2 144 0
3 0 .033
4 0 -.083
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110
x i≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 63.333
变量最优解相差值
x1 18.333 0
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -.333
2 0 -.278
3 0 -.222
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .75 1 1.071
x2 .944 1 无上限
x3 .889 1 无上限
x4 .889 1 无上限
x5 .833 1 1.083
x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 25
变量最优解相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 3 .0
2 0 -1
3 1 .0
4 0 --1
5 0 . 0
6 0 --1
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 0 .1 1
x2 1 1 无上限.
x3 0 . 1 1
x4 1 . 1 2
x5 0 1 1
x6 1 1 无上限
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 无下限 4 7
2 4 7 无上限
3 无下限 9 10
4 11 12 无上限
5 6 8 9
6 5 6 8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩
余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 15
变量最优解相差值
x1 0 1
x2 7 0
x3 2 0
x4 10 0
x5 0 0
x6 6 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 2 0
2 0 0
3 0 -1
4 0 0
5 2 0
6 0 -1
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 0 1 无上限
x2 1 1 2
x3 0 1 1
x4 0 0 1
x5 1 1 无上限
x6 0 1 1
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 无下限 4 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下限 8 10
6 4 6 无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、
B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：线性规划数学模型：
min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T. 0.1x1+0.2x2 -0.05x4=0
-0.1x1 +0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
x i≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 49.31
变量最优解相差值
x1 1.5 0
x2 .1 0
x3 0 1.98
x4 3.4 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -7.4
2 .19 0
3 .645 0
4 0 -.14
5 1.9 0
6 0 -9.862
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 10.56 10.7 无上限
x2 -481.8 11.3 11.533
x3 9.82 11.8 无上限
x4 -5.053 9.45 9.8
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 -.025 0 .475
2 无下限 0 .19
3 无下限 0 .645
4 -1.
5 0 .167
5 -1.9 0 无上限
6 0 5 无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示：
请为该厂制定一个最优生产计划。
解：线性规划数学模型：
max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
S.T. 2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+4x3≤4200
x i≥0（i=1，2,......4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：产品Ⅰ生产267件；
产品Ⅱ生产1400件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产1067件。
可获得的最高利润：66033.3元。
灵敏度分析报告：
即：目标函数最优值为 : 66033.3495
变量最优解相差值
------- -------- --------
x1 266.667 0
x2 1400 0
x3 0 30.8333
x4 1066.667 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
------- ------------- --------
1 0 5.333
2 0 10.833
3 0 5.722
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
------- -------- -------- -------- x1 13.5 21.5 45
x2 5.333 22.5 无上限 x3 无下限 8 38.333 x4 10.75 27 43 常数项数范围 :
约束下限当前值上限
------- -------- -------- --------
1 2600 3000 6200
2 800 2400 3200
3 0 4200 5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加30.8333元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5
万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才能解决本问题。分析及解决过程和结果可见下表：
总的生产加储存最少费用为4910500元
外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。
本问题灵敏度详细分析太麻烦，从略。
5.7 某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工每天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日每天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所需职工数（包括正式工和临时工）如下表：
已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。
1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？
2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明如果安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。
3、如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？
解：1、线性规划数学模型：
min f＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12
s．t．x1≥8
x1＋x2 ≥9
x1＋x2＋x3 ≥9
x1＋x2＋x3＋x4≥7
x2＋x3＋x4＋x5≥2
x3＋x4＋x5＋x6≥ 1
x4＋x5＋x6＋x7≥ 1
x5＋x6＋x7＋x8≥ 5
x6＋x7＋x8＋x9≥10
x7＋x8＋x9＋x10≥ 11
x8＋x9＋x10＋x11≥ 6
x9＋x10＋x11＋x12≥ 6
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0 最优值为332。
在满足对职工需求的条件下，
在10 时新安排临时工8个；
11 时新安排临时工1个；
12 时新安排临时工1个；
16 时新安排临时工1个；
17 时新安排临时工4个；
18 时新安排临时工5个；
19 时新安排临时工1个。
全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。
如下表所示：
灵敏度分析报告：
2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。
根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以
将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。
3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1个班是3 小时，x2个班是4 小时；
设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时；
其他时段也类似。得线性规划数学模型：
min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23 +
16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24
S．T x1＋x2≥ 8
x1＋x2 ＋x3＋x4≥ 9
x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6≥ 9
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8≥7
x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≥ 2
x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12≥ 1
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14≥ 1
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16≥ 5
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18≥ 10
x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20≥11
x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22 ≥6
x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24 ≥ 6
x i≥0 i=1,2,…,24
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：在满足对职工需求的条件下，
10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的；
11 时新安排1个4小时的临时工；
13 时新安排1个3小时的临时工；
16 时新安排1个4小时的临时工；
17 时新安排4个3小时的临时工；
18 时新安排5个4小时的临时工；
19 时新安排1个3小时临时工。
全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。
如下表所示：
管理运筹学基础 答案
课程学习 《管理运筹学基础》 判断正误 线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。 正确答案：说法错误 2.在线性规划模型的标准型中,b j（j=1，2，…m）一定是非负的。正确答案：说法正确 解答参考： 3. 判断正误 线性规划问题的基本解一定是基本可行解 正确答案：说法错误 解答参考： 5. 判断正误 同一问题的线性规划模型是唯一的。 正确答案：说法错误 解答参考： 12.第一个顶点和最后一个顶点相同的闭链叫回路。 正确答案：说法错误 解答参考： 14. 判断正误
Djisktra算法可求出非负赋权图中一顶点到任一顶点的最短距离。 正确答案：说法正确 解答参考： 15.简述编制统筹图的基本原则。 参考答案：统筹图是有向图，箭头一律向右；统筹图只有一个起始点。一个终点，没有缺口；两个节点之间只能有一个作业相连；统筹图中不能出现闭合回路。 17.简述西北角法、最小元素法、差值法确定运输问题初始基本可行解的过程并指出那种方法得出的解较优。 参考答案：西北角法：按照地图中的上北下南，左西右东的判断，对调运表中的最西北角上的空格优先满足最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。最小元素法：对调运表中的最小运价对应的空格优先没醉最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。差值法：在运价表中，计算各行和各列的最小运价和次最小运价之差，选出最大者，它所在某行或某列中的最小运价对应的空格优先满足最大供应，重复这种做法，直至得到初始可行解。一般来讲，用差值法求出的初始可行解最接近最优解，也就是最优的。 2. 用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找出最优解。 正确答案：说法正确 单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量作为换入变量，将使目标函数的值增加更快。 正确答案：说法错误 解答参考： 6.若原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。 正确答案：说法正确 解答参考： 8.表上作业法中，任何一种确定初始基本可行解的方法都必须保证有（m + n -1）个变量。正确答案：说法正确 解答参考： 9.用分枝定界法求解一个极大化整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界 正确答案：说法正确
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划 教学目的和要求： 目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。 要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了 解图解法。 重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。 难点：线性规划基本定理，单纯形法。 教学方法：讲授法，习题法。 学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38. 线性规划是运筹学的一个重要分支。1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。 第一节线性规划问题 一、问题的提出 在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。 例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。 A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？ 解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800， X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)； 以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦650 4X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700 X j ≧0 (j=1,2,3) 例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。已知A i 到B j 的单位运价是C ij (i=1,2, …,m; j=1,2, …,n)。 设供销满足平衡条件，即 。 问怎样组织运输，才能满足要求，且使总运费最少？ ---- 7 5 4.5 单位利润 700 2 4 2 丁 850 3 2 4 丙 650 3 2 1 乙 800 4 2 2 甲 设备可供工时(h) C B A 产品 设备 ∑=∑==n 1j j b m 1i i a
运筹学线性规划实验报告
《管理运筹学》实验报告 实验日期： 2016年 04月 21日—— 2016 年 05 月 18 日 班级2014级04班姓名杨艺玲学号56 实验 管理运筹学问题的计算机求解 名称 实验目的： 通过实验学生应该熟练掌握“管理运筹学”软件的使用，并能利用“管理运筹学”对具体问题进行问题处理，且能对软件处理结果进行解释和说明。 实验所用软件及版本： 管理运筹学 实验过程：（含基本步骤及异常情况记录等) 一、实验步骤（以P31页习题1 为例） 1.打开软件“管理运筹学” 2.在主菜单中选择线性规划模型，屏幕中会出现线性规划页面
3.在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“≤”、“≥”或“＝”，如图二所示，最后点击解决 4.注意事项： （1）输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。（2）输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果，如图所示
5.输出结果如下
5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少这时最大利润是多少 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 （2）图中的对偶价格的含义是什么 答： 对偶价格的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加元。 （3）对图中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为；当约束条件2的常数项在40~180范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变为什么 . 0,0,6448,120126; 240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
管理运筹学后习题参考答案汇总
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案 第1章线性规划(复习思考题) 1. 什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划(Lin ear Programmi ng , LF)是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点； (2)多重最优解：无穷多个最优解； (3)无界解：可行域无界，目标值无限增大； (4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3. 什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ' ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业 来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明 “遅 约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4?试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关 系。 答：可行解：满足约束条件 扎—‘丸 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划 解：标准化 1 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 基可行解 SA] + S 2
运筹学实验报告1
运筹学实验报告(一) 实验要求：学会在Excel 软件中求解。 实验目的：通过小型线性规划模型的计算机求解方法。 熟练掌握并理解所学方法。 实验内容： 题目： 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下； 设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线 路至少配备多少名司机和乘 务人员。列出这个问题的线 性规划模型。 解：设Xj 表示在第j 时间区段开始上班的司机和乘务人员数 班次 时间 所需人数 1 6:00-10:00 60 2 10:00-14:00 70 3 14:00-18:00 60 4 18:00-22:00 50 5 22:00-2:00 20 6 2:00-6:00 30
。 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2 2-6 1 X1--- X1 2 X2--- X2 3 X3--- X3 4 X4--- X4 5 X5--- X5 6 X6 X6--- 60 70 60 50 20 30 所需人 数 Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 St: x1+x6>=60 X1+x2>=70 X2+x3>=60 X3+x4>=50 X4+x5>=20 X5+x6>=30 Xj>=0,xj为整数， j=1,2,3,4,5,6
过程： 工作表[Book1]Sheet1 报告的建立: 2011-9-28 19:45:01 目标单元格(最小值) 单元格名字初值终值 $B$1 min 0 150 可变单元格 单元格名字初值终值 $B$3 x 0 45 $C$3 x 0 25 $D$3 x 0 35 $E$3 x 0 15 $F$3 x 0 15 $G$3 x 0 15 结果：最优解X=(45,25,35,15,15,15)T 目标函数值z=150 小结：1.计算机计算给规划问题的解答带来方便，让解答变得简洁；
运筹学实验 线性规划
一：实验目的 1）熟练掌握运筹学软件LINDO的相关使用操作 2）利用软件建立模型，解决最优值问题 二：实验内容，上机问题 （1）利用lindo软件，解决如下问题 一个资源利用问题的数学模型如下 MAX z=100x1+180x2+70x3 S.T. 40x1+50x2+60x3<=10000 3x1+6x2+2x3<=600 x1 <=130 x2 <=80 x3<=200 x1>=0 x2>=0 x3>=0 用LINDO软件包解之，并从LINDO的输出表中回答下列问题： （1）在现有资源的约束条件下，企业管理者应如何组织生产，使利润最大？ （2）为改善现状，以获取更大利润，管理者应该如何做？ （3）若希望增加某种资源的供应量，需支付额外费用，这笔费用应控制在什么范围内，对企业才是有利的？此时（即增加某些资源供应量，同时支付相应的额外费用），企业的总利润的增量是多少？ （2）对偶问题如下 MIN -10000 W1 + (-600) W2 + (-130) W3 + (-80) W4 + (-200) W5 S.T. -40 W1 + (-3) W2 + (-1) W3 <= -100 -50 W1 + (-6) W2 + (-1) W4 <= -180 -60 W1 + (-2) W2 + (-1) W5 <= -70 W1 >= 0 W2 >= 0 W3 >= 0 W4 >= 0 W5 >= 0 END 三.实验过程：介绍程序，分析结果得结论 1.建立模型如下
2.运行模型，分析如下 由图可知：最优值z=20003.8 3.分析结果如下
由图可知：最优解x1=130, x2=11.538462, x3=70.384613 4.对偶问题的模型建立如下
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
运筹学线性规划实验报告
《管理运筹学》实验报告 实验日期：2016年04月21日——2016年05月18日 实验目的： 通过实验学生应该熟练掌握“管理运筹学 3.0”软件的使用，并能利用“管理运筹学 3.0” 对具体问题进行问题处理，且能对软件处理结果进行解释和说明。实验所用软件及版本：管理运筹学3.0 实验过程：（含基本步骤及异常情况记录等―） 一、实验步骤（以P31页习题1为例） 1?打开软件“管理运筹学3.0” 2?在主菜单中选择线性规划模型，屏幕中会出现线性规划页面 3?在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“w”、“》”或“二”, 如图二所示，最后点击解决 班级2014级04班姓名杨艺玲学号2014190456实验 名称 管理运筹学问题的计算机求解 n 幵 目标的数 娈童个数约束条件个数 芙 遇出 保存解决关于
X 4?注意事项： (1)输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。 (2)输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果, 如 图所示 D tiff 0% 关于遇出 变童个数约朿条件个数F目标的数3V 标淮北结杲: 上一曲
5.输出结果如下 me車最优解如下***#尊1林*祜除目标函数最优值知2?20 变1 最优解相差値 XI 4.00 0.00 X2 8.00 0100 釣束松弛颅11余变量对偶价格 01. 00 16. 5€ 0.00 13.33 目标函数系数范園: 娈1下限当前值上限 XI 120. 30 200.00430. 00 X2 100. 0D 240.00400.00 常数【页范園； 的束T眼当前值上限 143.00120 00152.00 240.00 64.00 160.00 5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240 元. max z = 200x 240y; 约束条件：6x，12心2°, 8x +4y 兰64, x 一0, y -0. 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个
运筹学实验报告 运用EXCEL解线性规划 报告范文 让利益最大化 生产规划
让利益最大化 ——关于皇氏乳业加工奶制品的生产计划 摘要：如今乳制品的市场竞争越来越强，原料成本正在增加，为了提高皇氏乳业的竞争力，提高公司的利润，公司决定开发新产品，原料奶油及中老年奶粉。先对皇氏乳业的原料成本，生产时间，产品利润等做了一系列调查，建立了线性规划模型，在对模型求解并进行灵敏度分析后，给出具体的对策建议。 关键词：线性规划；生产成本；最优生产计划 一、问题的提出 经过调查，每一桶牛奶的生产成本和利润如下表： 每天至多加工50桶牛奶，机器最多使用480小时，至多加工100kg奶油A1。 （一）如何制定生产计划，使每天获利最大？ （二） 35元可以买到一桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少？ （三）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元？ （四）奶油A1的获利增加到30元/公斤，是否改变生产计划？ 1.问题分析 首先，工厂的经济效益主要取决于原料，劳动时间，产品利润等，至于劳动机械磨损，工人熟练程度等，均不予考虑。所以我们主要研究原料成本，劳动时间，产品利润与工厂经济效益的关系。 2.数据的收集整理 对于奶油A1、奶粉A2的产量，询问工厂管理人员得知。 对于加工时间，可以通人力资源管理部门查询。 对于利润，通过近期一个月的销售成绩，综合分析得出。 二、运筹模型 1、模型的建立 设X1桶牛奶生产奶油A1，X2桶牛奶生产奶粉A2。
Maxz=72X1+64X2 St. X1+X2<=50 12X1+8X2<=480 3X1<=100 X1,X2>=0 2、模型的求解 应用EXCEL软件进行求解。 3、灵敏度分析 包括对于目标系数（桶数）变化的灵敏度分析结果表和对于约束条件，如原料供应，劳动时间，加工能力等变化的灵敏度分析结果表。 4、结果分析
运筹学线性规划实验报告
《管理运筹学》实验报告实验日期： 2016年 04月 21日—— 2016 年 05 月 18 日
3.在点击“新建”按钮以后，按软件的要求输入目标函数个数和约束条件个数，输入目标函数级约束条件的歌变量的系数和b值，并选择好“≤”、“≥”或“＝”，如图二所示，最后点击解决
4.注意事项： （1）输入的系数可以是整数、小数，但不能是分数，要把分数化为小数再输入。（2）输入前要合并同类项。 当约束条件输入完毕后，请点击“解决”按钮，屏幕上讲显现线性规划问题的结果，如图所示
5.输出结果如下
5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 . 0,0,6448,120126;240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？ 答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。 （3）对图中的常数项围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192围变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180围变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？ 答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。 二、学号题 约束条件： 无约束条件 （学号）学号43214321432143214321 0 0,30 9991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=??????????????-≥?-?-?-?-?-7606165060~5154050~414 )30(40~313)20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变学号规则
运筹学中线性规划实例汇总
实验报告 课程名称：运筹学导论 实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统 指导教师：刘珊 团队成员：邓欣(20112111 蒋青青(20114298 吴婷婷(20112124 邱子群(20112102 熊游(20112110 余文媛(20112125 日期：2013-10-25 成绩：___________
1．案例描述 南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下： 每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。数据见下表： 适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表： 作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。 2.建立模型 决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。 MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9 约束条件： （1）每一个农场使用的土地 X1+X4+X7≤400
X2+X5+X8≤600 X3+X6+X9≤300 (2每一个农场的水量分布 3X1+2X4+X7≤600 3X2+2X5+X8≤800 3X3+2X6+X9≤375 (3每一种作物的总种植量 X1+X2+X3≤600 X4+X5+X6≤500 X7+X8+X9≤325 非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9) 3.计算机求解过程 步骤1.生成表格 步骤2.输入数据
运筹学实验一线性规划
实验项目一线性规划 实验学时：2 实验目的：线性规划（Linear Programming，简写LP）是运筹学中最成熟的一个分枝，而且是应用最为广泛的一个运筹学分枝，是解决最优化问题的重要工具。而目前 Lindo/lingo 是求解线性规划比较成熟的一个软 件，通过本实验，掌握线性规划模型在 Lindo/lingo 中的求解，并能达到灵活运用。 实验要求：1.掌握线性规划的建模步骤及方法； 2.掌握Lindo/lingo 的初步使用； 3.掌握线性规划模型在Lindo/lingo 建模及求解； 4.掌握线性规划的灵敏度分析 实验内容及步骤： 例：美佳公司计划制造I、II 两种家电产品。已知各制造一件时分别占用设备A、B 的台时、调试时间、调试工序每天可用于这种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1 所示。 1.问该公司应制造两种家电各多少件，使其获取的利润最大。 2. 如果资源出租，资源出租的最低价格至少是多少（即每种资源的影子价格是多少）。 3.若家电I 的利润不变，家电II 的利润在什么范围内变化时，则该公司的最优生产计划将不发生变化。 4. 若设备A 和B 每天可用能力不变，则调试工序能力在什么范围内变化时，问题的最优基不变。 解：设x1表示产品I 的生产量; x2表示产品II 的生产量,所在该线性规划的模型为：
从此线性规划的模型中可以看出，第一个小问是典型的生产计划问题，第二小问是相应资源的影子价格，第三和第四个小问则是此问题的灵敏度分析。 现在我们利用lingo8.0 来教你求解线性规划问题。 第一步，启动lingo 进入初始界面如下图1-1 和图1-2 所示： 第二步，在进行线性规划模型求解时，先要对初始求解方法及参数要进行设置，首先选择ling o 菜单下的Option 菜单项，并切换在general solver（通用求解器）页面下，如下图1-3所示：
运筹学试验报告侯小洁-1
运筹学实验报告 学院：安全与环境工程学院 姓名：侯小洁 学号：1350940109 专业：物流工程 班级：1301班 实验时间：5月6、8日 5月13、15日 5月20、22日
湖南工学院安全与环境工程学院 2015年5月 实验一线性规划 一、实验目的 1、理解线性规划的概念。 2、对于一个问题，能够建立基本的线性规划模型。 3、会运用Excel解决线性规划电子表格模型。 二、实验内容 线性规划的一大应用适用于联邦航空公司的工作人员排程，为每年节省开支超过600万美元。 联邦航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇佣更多的客户服务代理商，但是不知道到底要雇用多少数量的代理商。管理层意识到在向公司的客户提供令人满意的服务水平的同时必须进行成本控制，因此，必须寻找成本与收益之间合意的平衡。于是，要求管理团队研究如何规划人员才能以最小的成本提供令人满意的服务。 分析研究新的航班时间表，以确定一天之中不同时段为实现客户满意水平必须工作的代理商数目。在表1.1最后一栏显示了这些数目，其中第一列给出对应的时段。表中的其它数据反映了公司与客户服务代理商协会所定协议上的一项规定，这一规定要求每一代理商工作8小时为一班，各班的时间安排如下： 轮班1：6:00AM～2:00PM
轮班2：8:00AM～4:00PM 轮班3：中午～8:00PM 轮班4：4:00PM～午夜 轮班5：10:00PM～6:00AM 表中打勾的部分表示这段时间是有相应轮班的。因为轮班之间的重要程度有差异，所以协议中工资也因轮班所处的时间而不同。每一轮班对代理商的补偿（包括收益）如最低行所示。问题就是，在最低行数据的基础上，确定将多少代理商分派到一天之中的各个轮班中去，以使得人员费用最小，同时，必须保证最后一栏中所要求的服务水平的实现 表1.1联邦航空公司人员排程问题的数据 轮班的时段 时段 1 2 3 4 5 最少需要代理商的数量 6:00AM～8:00AM √ 48 8:00AM～10:00AM √ √ 79 10:00AM～中午√ √ 65 中午～2:00PM √ √ √ 87 2:00PM～4:00PM √ √ 64 4:00PM～6:00PM √ √ 73 6:00PM～8:00PM √ √ 82 8:00PM～10:00PM √ 43 10:00PM～午夜√ √ 52 午夜～6:00AM √15
(完整word版)第二章运筹学 线性规划
第二章 线性规划 主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质 3、图解法 4、单纯形法 5、大M 法和两阶段法 重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。 要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握 其求解技巧；培养解决实际问题的能力。 §1 线性规划的数学模型及解的性质 一、数学模型（一般形式） 例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？ 解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米， 则目标函数为 321max x x x z ++= 约束条件为 ?? ?? ???????=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,10 4005.335.41470021015000 180190110200025301211000 122137105 3211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知：
问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？ 解：设 21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量： 则目标函数为 21127m ax x x z += 约束条件为??? ??? ?=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征： ①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这 些变量的取值是非负的。 ②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。 ③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为： 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m ax (m in) 约束条件 ()()()????? ????=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,22112222212111212111 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。 二、标准型 （一）问题的标准形式： n n x c x c x c z +++= 2211ma x ????? ?? ??=≥=+++=+++=+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111
运筹学线性规划实验报告材料
《管理运筹学》实验报告
5. 输出结果如下 5.课后习题： 一、P31习题1 某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种组合柜需要两种工艺（制白坯和油漆）.甲型号组合柜需要制白坯6工时，油漆8工时：乙型号组合柜需要制白坯12工时，油漆4工时.已知制白坯工艺的生产能力为120工时/天，油漆工艺的生产能力为64工时/天，甲型号组合柜单位利润200元，乙型号组合柜单位利润为240元. 约束条件： 问题： （1）甲、乙两种柜的日产量是多少？这时最大利润是多少？ 答：由实验过程中的输出结果得甲组合柜的日产量是4个，乙的事8个。 .0,0,6448, 120126; 240200 z max ≥≥≤+≤++=y x y x y x y x
（2）图中的对偶价格13.333的含义是什么？ 答： 对偶价格13.333的含义是约束条件2中，每增加一个工时的油漆工作，利润会增加13.33元。 （3）对图中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息。 答：当约束条件1的常数项在48~192范围内变化，且其他约束条件不变时，约束条件1的对偶价格不变，仍为15.56；当约束条件2的常数项在40~180范围内变化，而其他约束条件的常数项不变时，约束条件2的对偶价格不然，仍为13.333。 （4）若甲组合柜的利润变为300，最优解不变？为什么？ 答：目标函数的最优值会变，因为甲组合柜的利润增加，所以总利润和对偶价格增加；甲、乙的工艺耗时不变，所以甲、乙的生产安排不变。 二、学号题 约束条件： 学号尾数：56 则： 约束条件： 无约束条件 （学号）学号43214321432143214321 0 0,30 9991285376)(53432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-+≥-+-+=-++-+++=无约束条件43214321432143214321 0 0,30 99912445376413432max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≤≥≤-+-≥-+-=-++-+++=??????? ???????-≥?-?-?-?-?-76061 65060~5154050~414 )30(40~313 )20(30~21210 20~11 10~1）（学号）（学号）（学号学号学号）（学号不变 学号规则
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划 习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？ 解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即 ma x z=50x1+100x2 且称z=50x1+100x2为目标函数。 同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为 x1 + x2≤300 2x1 + x2≤400 x2≤250 且称上述三式为约束条件。此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。 这样有 ma x z=50x1+100x2 x1 + x2≤300 2x1 + x2≤400 x2≤250 x1、x2≥0
习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。 解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。则问题的目标可描述为 min z =1000x 1+800x 2 约束条件有 第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有 x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到 min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0 习题1.3 ma x z =50x 1+100x 2 x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400 x 2≤250 图1—1 x 2
南邮课内实验-运筹学-线性规划-第一次0407
课内实验报告 课程名：运筹学 任课教师：邢光军 专业： 学号： 姓名： /学年第学期 南京邮电大学管理学院
实验背景：某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表1所示。 时间所需售货人数（人） 星期日28 星期一15 星期二24 星期三25 星期四19 星期五31 星期六28 息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员人数最少？ 实验结果：一：问题分析和建立模型： 解：设xi表示星期i开始上班的售货人员数，建立如下求解模型：目标函数：Min f（x）=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 约束条件：s.t. X3+x4+x5+x6+x7≥28 X1+x4+x5+x6+x7≥15 X1+x2+x5+x6+x7≥24 X1+X2+x3+x6+x7≥25 X1+X2+X3+x4+x7≥19 X1+X2+X3+X4+x5≥31 X2+X3+X4+X5+X6≥28 二：计算过程： 下面利用Spreadsheet来求解该问题： 在Excel2003版本中，单击“工具”栏中“加载宏”命令，在弹出的的“加载宏”对话框选择“规划求解”，在“工具”下拉菜单中会增加“规划求解”命令，这样就可以使用了。 1、将求解模型及数据输入至Spreadsheet工作表中。 在工作表中的B1~H1单元格分别输入x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,B2~H2单元格分别表示决策变量的取值。B3~H10单元格数据为技术系数矩阵，I3~I10单元格值为目标函数及约束1~7不等式符号左边部分，如I3=SUMPRODUCT（B3：H3，B2：H2），即I3=1*x1+1*x2+1*x3+1*x4+1*x5+1*x6+1*x7,其余I4~I10含义雷同。K4~K10单元格数据为约束1~7不等式符号右端系数。（如图①） 图①
运筹学实验报告线性规划问题的灵敏度分析
运筹学实验报告 实验课程:运筹学实验日期: 任课教师:
No feasible solution found. Infeasibilities: 50.00000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 -10.00000 0.000000 X2 60.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 60.00000 1.000000 2 0.000000 9.000000 3 -50.00000 0.000000 4 0.000000 -8.000000 因为原问题无最优解，所以对偶问题无可行解 2. Global optimal solution found. Objective value: 8.500000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 3.500000 0.000000 X2 1.500000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 8.500000 1.000000 2 7.500000 0.000000 3 0.000000 0.2500000 4 0.000000 0.5000000
原问题与对偶问题都可以达到最优解，最优解为8.5。当y1.y2.y3分别取0，0.25.0.5时达到，当y1.y2.y3分别减少一个单位时最优解分别减少0.0.25.0.5
运筹学--第一章 线性规划
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、 无穷多最优解、无界解或无可行解。 (1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤10 3x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤1 4x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥4 2x2≥4 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8 －x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12 x2≤6 2x1＋x2≤16 2x1－5x2≤0 x1, x2≥0 x1, x2≥0 1.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。 (1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3 st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝3 2x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5) x j≥0 （j＝1, (5) 1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。 (1) max z ＝10x1＋5x2 st. 3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 x1, x2≥0 (2) max z ＝100x1＋200x2 st. x1＋x2≤500 x1≤200 2x1＋6x2≤1200 x1, x2≥0 1.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类： ９