2020年广东省深圳市坪山区中考数学一模试卷

中考数学一模试卷

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.

在这四个数中，最小的数是（）

A.-2

B.-1

C.0

D.1

2.2019年4月10日，人类首次看到黑洞，该黑洞的质量是太阳的65亿倍，距离地球

大约55000000年，将数据55000000用科学记数法表示为（）

A.0.55×108

B.5.5×108

C.5.5×107

D.55×106

3. 4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.

C. D.

下列各运算中，计算正确的是（）

A.a+a=a2

B.（3a2）3=9a6

C.（a+b）2=a2+b2

D.2a?3a=6a2

5.若x=2是一元二次方程x2-3x+a=0的一个根，则a的值是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、

89分，则下列结论正确的是（）

A.平均分是91

B.众数是94

C.中位数是90

D.极差是8

7.如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车

在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）

8.A. B. C. D.

如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数

等于（）

A.97°

B.116°

C.122°

D.151°

9.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，适

当的长为半径作弧，分别交x轴、y轴于点M、点N，

再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，

两弧在第二象限交于点P（a，b），则a与b的数量

关系为（）

A. B. C. D.

a +

b =0 a +b ＞0 a -b =0 a -b ＞0

10. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg ．已知第一块试验

田每公顷的产量比第二块少 3000kg ，若设第一块试验田每公顷的产量为 x kg ，由题 意可列方程（）

A.

C.

B.

D.

11. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C ，D 在⊙O 上，∠BOC =110°，

AD ∥OC ，则∠ABD 等于（ ）

A. B. C. D.

20° 30° 40° 50°

12. 如图，抛物线 y

=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为 A （1，3），

且与 x 轴有一个交点为 B （4，0），直线 y =mx +n 与抛物 线交于 A 、B 两点，下列结论：

①2a +b =0；②abc ＞0；③方程 ax 2 +bx+c =3 有两个相等的 实数根；④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是（-1，0）； ⑤当 1＜x ＜4 时，有 y ＜y ，其中正确的是（ ）

A. ①②③

B. ①③④

C. ①③⑤

D. ②④⑤

二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）

13. 分解因式：x 2 -4=______．

14. 在平面直角坐标系中，点 P （m ，m -2）在第一象限内，则 m 的取值范围是______． 15. 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC = ，

则点 B

的坐标为______．

16. 如图， △R t OAB 的边 AB 延长线与反比例函数 y =

在第一象限的图象交于点 C ，连

接 OC ，且∠AOB =30°，点 C 的纵坐标为 1， △则OBC 的面积是______．

1

2 2 1

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三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，

测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110米，那么该建筑物的高度BC约为多少米？（结果保留整数，≈1.73）

四、解答题（本大题共6小题，共44.0分）

18. 计算：-2cos30°+（1-π）0+|-|．

19. 先化简，再求值：?+，其中a=2．

20. 体育中考临近时，某校体育老师随机抽取了九年级的部

分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分

析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图表．

等级

A B C D E F 95得分x（分）

＜x≤100

90＜x≤95

85＜x≤90

80＜x≤85

75＜x≤80

70＜x≤75

4

m

n

2

4

8

4

频数（人）

请你根据图表中的信息完成下列问题：

（1）本次抽样调查中m=______，n=______；

（2）扇形统计图中，E等级对应扇形的圆心角α的度数为______；

（3）该校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．

21.如图，在边长为6的菱形ABCD中，点M是AB上

的一点，连接DM交AC于点N，连接BN．（1）

求证△：ABN≌△ADN；

（2）若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=a，求点M到

AD的距离及t a na的值．

22.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的

直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩

形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设

AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是

15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考

虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

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23.如图1，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（4，0），与y

轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，连接B C，作垂直于x轴的直线x=m，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，连接BD和CD，求△当BCD面积的最大值时，线段ED的值；（3）在（2）△中BCD面积最大的条件下，如图3，直线x=m上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了有理数大小比较的方法，属于基础题．

有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】

解：根据有理数比较大小的方法，可得

-2＜-1＜0＜1，

∴在-2，-1，0，1这四个数中，最小的数是-2．

故选：A．

2.【答案】C

．

【解析】解：将55000000科学记数法表示为：5.5×107

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】A

【解析】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、

是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A．

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可．

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，能熟记轴对称图形和中心对称图形的定义的内容是解此题的关键．

4.【答案】D

【解析】解：A、原式=2a，不符合题意；

B、原式=27a6，不符合题意；

C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；

D、原式=6a2，符合题意．

故选：D．

各项计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.【答案】C

【解析】解：把x=2代入方程x2-3x+a=0得4-6+a=0，解得a=2．

故选：C．

把x=2代入方程x2-3x+a=0得4-6+a=0，然后解关于a的方程即可．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二

次方程的解．

6.【答案】B

【解析】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5=93（分），故此选项错误；

B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项正确；

C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故此选

项错误；

D、极差是98-89=9，故此选项错误．

故选：B．

直接利用平均数、众数、中位数以及极差的定义分别分析得出答案．

此题主要考查了平均数、众数、中位数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．7.【答案】B

【解析】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选A．

故选：B．

先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．

8.【答案】D

【解析】解：∵AB∥CD，∠1=58°，

∴∠EFD=∠1=58°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，

∵AB∥CD，

∴∠FGB=180°-∠GFD=151°．

故选：D．

根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根

据两直线平行，同旁内角互补解答．

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．

9.【答案】A

【解析】解：利用作图得点OP为第二象限的角平分线，

所以a+b=0．

故选：A．

利用基本作图得OP为第二象限的角平分线，则点P到x、y轴的距离相等，从而得到a与b互为相反数．

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了第二象限点的坐标特征．

10.【答案】C

【解析】解：第一块试验田的面积为：

，第二块试验田的面积为： ．方程应

该为：

，

故选：C ．

关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积= 第二块试验田的面积．

列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问 题的关键．

11.【答案】A

【解析】解：∵∠BOC =110°， ∴∠AOC =180°-110°=70°， ∵AD ∥OC ，

∴∠AOC =∠DAB =70°， ∵AB 是直径， ∴∠ABD =90°-70°=20°， 故选：A ．

由圆周角定理可知：∠ADB =90°，求出∠OAD 即可解决问题．

本题考查平行线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中 考常考题型．

12.【答案】C

【解析】解：∵抛物线的顶点坐标 A （1，3）

∴抛物线的对称轴为直线 x =- =1，

∴2a +b =0，所以①正确；

∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∴b =-2a ＞0，

∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c ＞0，

∴abc ＜0，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标 A （1，3）， ∴x=1 时，二次函数有最大值，

∴方程 ax 2+bx +c =3 有两个相等的实数根，所以③正确；

∵抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0）

而抛物线的对称轴为直线 x =1，

∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；

∵抛物线 y 1

=ax 2+bx+c 与直线 y =mx +n （m ≠0）交于 A （1，3），B 点（4，0）

∴当 1＜x ＜4 时，y ＜y ，所以⑤正确． 故选：C ．

根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到 a ＜0，由对称轴位置可 得 b ＞0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标

2 2 1

对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一

次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．

本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数△由决定△：=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=△b2-4ac=0时，抛

-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

物线与x轴有1个交点△；=b2

13.【答案】（x+2）（x-2）

【解析】解：x2-4=（x+2）（x-2）．

故答案为：（x+2）（x-2）．

直接利用平方差公式进行因式分解即可．

本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项

平方项，符号相反．

14.【答案】m＞2

【解析】解：由第一象限点的坐标的特点可得：，

解得：m＞2．

故答案为：m＞2．

根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．

此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．

15.【答案】（2+2，2）

【解析】解：过C作CE⊥OA于E，

∵∠AOC=45°，OC=2，

∴OE=OC cos45°=，

CE=OCsin45°=2，

∴点B的坐标为（2+2，2）．

过C作CE⊥OA，根据“∠AOC=45°，OC=2”可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出．

作辅助线构造直角三角形，根据三角函数求出C点坐标是解本题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H，

∵点C在反比例函数图象上，点C的纵坐标为1，∴

点C（3，1）

∴CH=1，OH=3，

∵∠ABO=∠CBH，∠A=∠BHC=90°，

∴∠HCB=∠AOB=30°，

∴CH=BH，

∴BH=，

∴OB=OH-BH=，

，

∴△OBC的面积=×OB×CH=

故答案为：．

过点C作CH⊥x轴于H，先求出点C坐标，可得CH=1，OH=3，由直角三角形的性

质可求BH=，可求OB的长，由三角形面积公式可求解．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，求出O B的长是本题的关键．

17.【答案】解：根据题意可知：

AD⊥BC，

∴在△R t ABD中，∠BAD=45°，

∴BD=AD=110，

在△R t ADC中，∠DAC=60°，

∴tan60°=，

即=，

解得BC=110（+1）≈300（米）．

答：该建筑物的高度BC约为300米．

【解析】根据题意可得AD⊥BC，再根据特殊角三角函数即可求出该建筑物的高度BC．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．18.【答案】解：原式=3-2×+1+

=3-+1+

=4．

【解析】先计算算术平方根、代入三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．

本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则．

19.【答案】解：?+

= = =

?

+

，

+，

∵a=2，

∴原式==．

【解析】先将原式利用因式分解的方法、分式的乘法和加法法则化简，再将a=2代入计

算即可．

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘法和加法运算法则是解题的关

键．20.【答案】122836°

【解析】解：（1）24÷30%=80，

所以样本容量为80；

m=80×15%=12，n=80-12-4-24-8-4=28；

故答案为12，28；

（2）E等级对应扇形的圆心角α的度数=×360°=36°，

故答案为：36°；

（3）画树状图如下：

共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，

所以恰好抽到甲和乙的概率==．

（1）用D组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以B组所占的百

分比得到m的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到n的值；（2）用E组所占的百分比乘以360°得到α的值；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．

21.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠1=∠2．

又∵AN=AN，

∴△ABN≌△ADN（SAS）．

（2）作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由

AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．在△R t

AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2∴点M

．

到AD的距离为2．

∴AH=2．

∴DH=6+2=8．

在△R t DMH中，tan∠MDH=，

由（1）知，∠MDH=∠ABN=α，

∴tanα=．

【解析】（1△）ABN△和ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根

据SAS即可判定两三角形全等．

（2）通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得

∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后

根据已知条件进行求解即可．

本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】解：（1）∵AB=x，则BC=（28-x），

∴x（28-x）=192，

解得：x=12，x=16，

12

答：x的值为12或16；

（2）∵AB=xm，

∴BC=28-x，

∴S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，

∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，

∵28-15=13，

∴6≤x≤13，

∴当x=13时，S取到最大值为：S=-（13-14）2+196=195，

答：花园面积S 的最大值为195平方米．

【解析】（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；

（2）由题意可得出：S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，再利用二次函数增减性求

得最值．

此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．

23.【答案】解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx-2

得到

，解得 ，

∴抛物线的解析式为 y = x 2- x -2．

（2）设 D （m ， m 2- m -2）， ∵C （0，-2），B （4，0），

∴直线 BC 的解析式为 y = x-2，

∴E （m ， m -2），

∴DE = m -2-（ m 2

- m -2）=- m 2+2m ，

∴S

= ?DE ?OB =-m 2 ∵-1＜0，

+4m =-（m -2）2

+4，

∴m=2 时 △，BDC 的面积最大，此时 DE =- ×22

+2×2=2．

（3）如图 3 中，连接 BC ．

∵ = =2，∠BCO =∠COA =90°，

∴△BOC △∽COA ， ∴∠OBC =∠OCA ． ∵∠OBC +∠OCB =90°， ∴∠OCA +∠OCB =90°=∠ACB ， ∴BC ⊥AC ．

∵点 B 的坐标为（4，0），点 C 的坐标为（0，-2），点 A 的坐标为（-1，0）， ∴直线 BC 的解析式为 y = x-2，直线 AC 的解析式为 y =-2x -2，

设点 Q 的坐标为（2，n ），则过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 y = x +n -1．

联立两直线解析式成方程组，得：

，

解得：

，

∴两直线的交点坐标为（

，

）．

依题意，得：（2-0）2

+（n-0）2

=（

-2）2+（

-n ）2

，

整理，得：n 2

-3n -4=0， 解得：n =-1，n =4，

∴点 Q 的坐标为（2，-1）或（2，4）．

综上所述：在这条直线上存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，

△BCD 1 2

点Q的坐标为（2，-1）或（2，4）．

【解析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决即可．

（2）设D（m，m2-m-2），直线直线B C的解析式，求出点E的坐标，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．

（3）连接BC，易△证BOC△

∽COA，进而可得出BC⊥AC，由点A，B，C的坐标，利用

待定系数法可求出直线BC，AC的解析式，设点Q的坐标为（2，n），由平行线的性

质可得出过点Q且垂直AC的直线的解析式为y=x+n-1，联立该直线与AC的解析式成

方程组，通过解方程组可求出交点的坐标，再由该点到点Q的距离等于线段OQ的长度

可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论．

本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、解直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组；（2）利用分

关于m的函数关系式；（3）利用两点间的距离公式，找

割图形求面积法，找出△S

BDC

出关于n的一元二次方程．