特殊三角形常见的题目型

八年级上册第二章 特殊三角形

一、将军饮马

例1 如图，在正方形ABC Ｄ中，A Ｂ=９,点Ｅ在CD 边上，且ＤＥ＝2CE,点P 是对角线AC 上的一个动点,则P Ｅ+PD 的最小值是（ ）

Ａ、3 Ｂ、1０ Ｃ、９ D 、９

【变式训练】

1、如图,在矩形AB ＣＤ中，AD=4，∠D ＡC=30°，点P 、E 分别在A Ｃ、ＡD 上，则PE+PD 的最小值是（ )

Ａ、2? Ｂ、2 C 、4 D 、

２、如图，∠A ＯB ＝３０°,Ｐ是∠A ＯＢ内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，O Ｂ上的动点,则△PCD 周长的最小值为

3、如图，∠AOB=30°，C ，Ｄ分别在OA,ＯB 上,且OC ＝２，OD=6，点C ，Ｄ分别是AO,B Ｏ上的动点,则CM+MN ＋DN 最小值为

4、如图,C 为线段B Ｄ上一动点，分别过点Ｂ，Ｄ作ＡB ⊥ＢD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，B Ｄ=12,设ＣD=x ．用含ｘ的代数式表示AC+CE 的长； （2)请问点C 满足什么条件时，A Ｃ+CE 的值最小？并求出它的最小值；

（３）根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值

P

B

O

A

C

N

第3题

A

E

二、等腰三角形中的分类讨论

例2（１）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cｍ,则它的周长为

（2)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的腰长为

（3）已知等腰三角形的周长为28cm和8cm,则它的底边为

【变式训练】

１、已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7ｃｍ，则周长为

2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的４倍，则它的各个内角的度数为

3、已知等腰三角形的一个外角等于１5０°,则它的各个内角的度数为

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为２5°，则它的各个内角的度数

5、已知等腰三角形底边为５cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为

6、在三角形ＡＢＣ中,ＡB=AＣ,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为4０°，则底角∠B的度数为

７、如图，A、Ｂ是4×5的网格中的格点,网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置

三、两圆一线定等腰

例3在平面直角坐标系xOｙ中,已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，

使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个

B

【变式训练】

1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1,），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形,则符合条件的点P的个数为（）

Ａ.5 B。6 C.7 Ｄ.8

２、在平面直角坐标系中,若点A(２，0)，点Ｂ（0，１），在坐标轴上找一点Ｃ,使得△ABC是等腰三角形，这样的点Ｃ可以找到个．

3、在坐标平面内有一点A（２，），O为原点,在x轴上找一点B,使O，A，B为顶点的三角形为等腰三角形,写出B点坐标

4、平面直角坐标系中,已知点Ａ（４，2)，B（４,-3)，试在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，求点P的坐标

５、如图1,已知一次函数分别与x、y轴交于A、Ｂ两点，过点Ｂ的直线BC交x轴负半轴与点C，且OＣ＝OＢ。

（1)求直线BＣ的函数表达式；

（２）如图2，若△AＢC中，∠ＡCB的平分线ＣF与∠BAE的平分线ＡF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；

（3)在x轴上是否存在点P，使△ＡＢP为等腰三角形?若存在，请直接写出Ｐ点的坐标;若不存在,请说明理由

四、折叠问题

例4：如图,在矩形A ＢＣD 中，A Ｂ=6，BC=8，将矩形折叠,使得点D 落在线段ＢＣ的点Ｆ处，则线段DE 的长为

【变式训练】

1、如图，在矩形AB ＣD 中,ＡB=6，BC=8,将矩形折叠，使得点B 落在对角线AC 的点F 处，则线段B Ｅ的长为

B

2、如图，在矩形ＡBＣＤ中，AB=6，BC＝8，沿EＦ将矩形折叠，使Ａ、Ｃ重合，若,则折痕ＥF的长为

3、如图，在矩形ABCD中，ＡB=6，BＣ=8,沿AC将矩形折叠，使得点Ｂ落在点Ｅ处,则线段EF的长为

４、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点Ａ在坐标原点，ＡB在x轴正方向上，E、F分别是ＡD、BC的中点，Ｍ在DC上，将△ADＭ沿折痕AM折叠,使点D折叠后

恰好落在ＥF上的P点处.

（1）求点Ｍ、Ｐ的坐标；

（2）求折痕AM所在直线的解析式;

(３）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点Ｈ,使得以H、A、P为顶点的三

角形为等腰三角形？若存在,请直接写出点Ｈ的坐标；若不存在,请说明理由．

例5 如图，在△AＢC中，BD、CＥ分别是边AC、ＡB上的高线。

（１)如果BD=CE，那么△ABC是等腰三角形,请说明理由；

（２）如果∠A=60°，取BC中点Ｆ，连结点D、E、Ｆ得到△DEＦ，

请判断该三角形的形状,并说明理由;

（3)如果点Ｇ是ED的中点,求证：FG⊥ＤＥ

【变式训练】

1、如图,点Ｍ是Rt△ABＣ斜边BC的中点，点P、Q分别在ＡＢ、ＡC上，且ＰM⊥QM．

(１）如图1,若P、Ｑ分别是AB、ＡC的中点，求证：PQ2=PB2+ＱC2；

(2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗?若成立请给与证明，若不成立请说明理由

2、问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上，连接BＥ．

（1）求证:△AＣＤ≌△BCＥ；

（2)填空：∠ＡEＢ的度数为 ;

拓展探究：如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCＥ=９０°，点A、D、E在同一直线上,点Ｍ为ＡB的中点，连接BE、CM、EM,求证:CM=EＭ．

全等之三垂直（K型图）

例1 如图,已知AC⊥CF，ＥF⊥CＦ,AB⊥BE，AＢ=BE求证：AC＝BF,ＢＣ=E

Ｆ

1、如图，已知,AC⊥CＦ，EF⊥CF，AＢ⊥CE，ＡC=CF求证：AB=CE

G

E A

2、已知，A Ｃ⊥ＣＦ,EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：ＡG=CF

3、如图： 已知，A Ｅ⊥BD ，CD ⊥B Ｄ，∠ＡBC=90°,AB=AC ，求证:ＡE ＝BD ,B Ｅ=CD

4、如图,点Ａ是直线 在第一象限内的一点；连接ＯA ，以ＯA 为斜边向上作等腰直角三角形ＯAB ，若点A 的横坐标为4，则点B 的坐标为

5、已知：如图,点B,C,E 在同一条直线上,∠B=∠E ＝60°，∠ＡCF=60°，且AB ＝CE 证明：△A ＣB ≌△ＣＦE

E

A

B

D C

G

E

A

60°

60°

60°

F

A

E

全等之手拉手模型

例1、在直线AB Ｃ的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△B ＣE ，连接AE 与CD,证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=D Ｃ

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △ＡGB ≌△ＤFB （5） △ＥＧB ≌△ＣＦＢ （6） B Ｈ平分∠AH Ｃ （7） G Ｆ∥AC

１、如果两个等边三角形△AB Ｄ和△BCE ，连接AE 与C Ｄ，证明: （1） △A ＢE ≌△DBC （2） A Ｅ＝DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠A ＨC

2、如果两个等边三角形△ABD和△BＣE,连接AE与ＣD，证明：（1）△ABＥ≌△DＢC

（2）AＥ=DＣ

（3）ＡE与DC的夹角为60。

(4）AE与ＤC的交点设为Ｈ，BH平分∠AHＣ

３、如图,两个正方形ABCD和ＤEFG，连接ＡG与CＥ,二者相交于H

问:（1）△ADG≌△ＣDE是否成立?

(2)AG是否与CE相等？

(3）ＡG与CE之间的夹角为多少度？

(4）HD是否平分∠AHE?

4、如图两个等腰直角三角形ADC 与ＥDG ，连接ＡG,ＣＥ，二者相交于H 。

问 (1）△ADG ≌△ＣD Ｅ是否成立?

（2)A Ｇ是否与ＣE 相等?

（３）AG 与ＣE 之间的夹角为多少度？ （4）H Ｄ是否平分∠AHE ？

5、两个等腰三角形ＡBD 与ＢCE ，其中AB ＝ＢＤ，CB=ＥB ，∠ABD=∠C ＢE=a 连接AE 与CD 。

问（1）△A ＢE ≌△DBC 是否成立？

（２)A Ｅ是否与ＣＤ相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ (4）ＨB 是否平分∠ＡHC ？