通信原理课后答案

第一章习题

习题1.1 在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。 解：E 的信息量：()

()b 25.3105.0log E log E 1

log 222E =-=-==P P I

习题1.2 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。

解：

b A P A P I A 24

1

log )(log )(1log 222

=-=-==

b I B 415.2163log 2

=-= b I C 415.2163log 2=-= b I D 678.116

5log 2=-=

习题1.3 某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms 。传送字母的符号速率为

Bd 10010521

3

B =??=

-R

等概时的平均信息速率为

s b 2004log log 2B 2B b ===R M R R

（2）平均信息量为

比特977.1516

log 165316log 1634log 414log 412222=+++=H

则平均信息速率为 s b 7.197977.1100B b =?==H R R

习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：3

11200 Bd 5*10B B R T -===

习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为

96log 96

1

*4832log 321*

16)(log )()(log )()(22264

1

21

+=-=-=∑∑==i i i i M

i i x P x P x P x P X H

=5.79比特/符号

因此，该信息源的平均信息速率 1000*5.795790 b/s b R mH === 。

习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us 。试求码元速率和信息速率。

解：B 6B 11

8000 Bd 125*10

R T -=

== 等概时，s kb M R R B b /164log *8000log 22===

习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解

：12V 4.57*10 V -==

习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由28D rh =，得

63849 km D ===

习题1.9 设英文字母E 出现的概率为 0.105， x 出现的概率为0.002 。试求 E 和x 的信息量。 解：

()2222()0.105()0.002

()log E log 0.105 3.25()log ()log 0.0028.97p E p x I E P bit I x P x bit

===-=-==-=-=

习题1.10 信息源的符号集由 A ，B ，C ，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。

解：

符号

/23.216

5

log 16581log 81log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑

习题1.11 设有四个消息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。

解：

符号/75.12

1

log 2181log 8181log 8141log 41)(log )(22222bit x p x p H i i =----=-=∑

习题1.12一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00 代替 A ，01 代替 B ，10 代替 C ，11 代替D 。每个脉冲宽度为5ms 。

（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2） 若每个字母出现的概率为1

4B p =

,

14C p =,310D p =

, 试计算传输的平均

信息速率。

解：首先计算平均信息量。 （1）

2211

()log ()4*()*log 2 /44i i H P p bit x x =-=-=∑字母

平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s

（2）

2222211111133

()log ()log log log log 1.985 /5544441010

i i H P p bit x x =-=----=∑字母

平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s

习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。

（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。

解：令点出现的概率为

()

A P ,划出现的频率为

()

B P

()A P +()B P =1,

()()1

3

A B P P = ? ()34A P = ()14B P = (1)

22()log ()0.415()log ()2I A p A bit I B p B bit

=-==-=

（2）

符号/811.04

1

log 4143log 43)(log )(222bit x p x p H i i =-=

-=∑ 习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。

解： 符号/4.6224

1

log )2241(*112)321(*16)(log )(H 22bit x p x p i i =-+-

=-=∑ 平均信息速率为6.

4*1000=6400bi t /s 。

习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率B

R 等于多

少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率

b

R 等于多少？

解：300B R B = 300/b R bit s =

习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？

解：

传送 1 小时的信息量 2.23*1000*36008.028Mbit = 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵：

max 2

1

log 2.32/5H bit =-=符号

则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*36008.352Mbit =

习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求B

R 和b

R ；有四进信号，

码元宽度为0.5ms ，求传码率

B

R 和独立等概时的传信率

b

R 。

解：二进独立等概信号：

3

1

2000,2000/0.5*10B b R B R bit s -=

==

四进独立等概信号：3

1

2000,2*20004000/0.5*10B b R B R bit s -=

===。

小结：

记住各个量的单位： 信息量： bit

2log ()

I p x =-

信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 2()log ()

i I p x p x =-∑

平均信息速率：/(/bit s bit =符号）/ (s/符号) 传码率：B R （B ） 传信率：

b

R bit/s

第二章习题

习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22

t t t π

πππ+

-

cos t ω

习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：

()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞

判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2

/2/2

/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T

t t dt

T ττπθπτθ→∞

-→∞-=+=+++??

222cos(2)j t j t e e πππτ-==+

2222()()()(1)(1)

j f j t j t j f X P f R e d e e e d f f πτπππτ

τττδδ∞-∞---∞-∞

==+=-++??

习题2.3 设有一信号可表示为：

4exp() ,t 0

(){0, t<0

t X t -≥=

试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为：

(1)004

()()441j t t j t j t

X x t e

dt e e dt e dt j ωωωωω

+∞-+∞--+∞-+-∞====+??? 则能量谱密度 G(f)=2

()X f =2

22

416

114j f

ωπ=++

习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求：

(1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t

解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=?-?=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ

()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ?=。

又因为[][]021==x E x E ，[][]12212x E x E -=σ，所以[][]

22

2

21σ==x E x E 。 故 ()[]

()222222sin 2cos σσππ=+=t t t X E

(2)因为21x x 和服从高斯分布，()21x x t X 和是的线性组合，所以()t X 也服从高斯分布，其概率分布函数()????

??-=

222exp 21

σσπz x p 。 (3)()()()[]()[]2221121121212sin 2cos )2sin 2cos (,t x t x t x t x E t X t X E t t R X ππππ--== []212122sin 2sin 2cos 2cos t t t t ππππσ+= ()1222cos t t -=πσ

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)()f f πδ2cos 2+； (2)()a f a -+δ； (3)()2

ex p f a -

解：根据功率谱密度P (f )的性质：①P (f )0≥，非负性；②P (-f )=P (f ) ，偶函数。

可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。