初中数学乘法公式

初中数学乘法公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a+b ）（a-b ）=a 2-b 2

说明：

（1）几何解释平方差公式

如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b

第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2； 第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ），

它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。 所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（

a －

b ）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即

（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2

这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：

（1）几何解释完全平方（和）公式

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：把图形当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a ＋b ）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形

的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以

它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

（2）几何解释完全平方（差）公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以

它的面积就是：（a-b ）2

第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ?=2--

其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a-b ），宽是b ，所以

它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=?-?--

结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：()222

2b ab a b a +-=- （3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b ）2=a 2+b 2，（a-b ）2=a 2-b 2。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a 和b ，可以表示任意的数或代数式，因此公

式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1利用平方差公式计算：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）；

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）

（3）（-m＋n）（-m－n）

难度等级：A

解：（1）(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a2－0.25b2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2

↓↓↓↓

（a＋b）（a－b）＝ a2 － b2

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a ，不同项就是b 和-b ，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

（1）（－0.25x －y ）（－0.25x ＋y ）

（2）（－2x ＋3y ）（－2x －3y ）

（3）（2x －5）（2x ＋5）－（2x ＋1）（2x －1）

例2 利用完全平方公式计算

（1）（2a ＋3）2 （2）（0.5m －0.2n ）2

（3）（-2x －3y ）2 （4）（1－3x ）（3x-1）

难度等级：A

解：（1）()()91243322232222

2++=+??+=+a a a a a ↓ ↓ ↓ ↓

（a ＋b ）2＝ a 2＋ 2ab ＋ b 2

（2）

()()()2222204.02.025.02.02.05.025.02.05.0n mn m n n m m n m +-=+??-=-

↓ ↓ ↓ ↓

()=-2

b a 2a ab 2- 2b +

（3）第一种解法：

()()()()222

2291243322232y xy x y y x x y x ++=+?-?--=-- ↓ ↓ ↓ ↓

()=-2

b a 2a ab 2- 2b + 第二种解法：

()()[]()()()2222222912433222323232y xy x y y x x y x y x y x ++=+??+=+=+-=--

↓ ↓ ↓ ↓

（a ＋b ）2＝ a 2 ＋2ab ＋b 2

（4）()()()()13131331---=--x x x x

()()[][]

169169113231322222-+-=+--=+??--=--=x x x x x x x ↓ ↓ ↓ ↓

()=-2

b a 2a ab 2- 2b + 【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。第四题表面上看上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完全平方