工程力学-应力状态与应力状态分析资料报告

8 应力状态与应变状态分析

1、应力状态的概念，

2、平面应力状态下的应力分析，

3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。

（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:

321σσσ≥≥

最大切应力为

13

2

max σστ-=

（2）任斜截面上的应力

α

τασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

α

τασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（3) 主应力的大小

2

2min

max )2

(

2

xy

y

x y

x τσσσσσ+-±+=

主平面的方位

y

x xy

tg σστα--=

220

4、主应变

12

2122x y x y xy xy

x y

()()tg εεεεεεγγ?εε?

=

+±-+?

=

-

5、广义胡克定律

)]([1

z y x x E σσμσε+-=

)]([

1

x z y y E σσμσε+-=

)]([1

y x z z E σσμσε+-=

G zx

zx τγ=

G yz

yz τγ=

，

G xy

xy τγ=

6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”

8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。

图8.1

[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:

A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：

z

M y I σ=

b I QS z z *=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。

8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。

解题范例

[解]（1）求斜截面上的正应力

?30－σ和切应力?30－τ

图8.2

由公式

MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=?---?---++-=

?-σ

MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=?--+?---=

?-τ

（2）求主方向及主应力

8

.0100

50120

22tan -=----=--

=y x x σστα ?-=66.382α

?=?

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=?，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=

??--??=－＋－－＋

由

y

x σσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPa

x y ασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133?--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan =---=

'α ?='34.512α

?='?

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'1

MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=?-+?--=

此两截面上的正应力为

MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=?--?--++-=

'ασ

MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=?--?--++-=

'ασ

主切应力单元体如图8.2（c ）所示。 由

y

x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

8.3 试用图形解析法，重解例8.2。 [解] （1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。

对图8.2(a)所示单元体，在τσ-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表

y

y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）

为半径，作应力圆如图8.3所示.

图8.3

(2) 斜截面上的应力

在应力圆上自A 点顺时针转过?60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τα=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体

图8.3所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即

1121.04MPa OH σ==

K 点的横坐标OK 为第三主应力，即

371.04MPa OK σ==-

由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y

轴顺时针转

0α，且

00238.66,19.33αα=?=?

应力圆图上由A 顺时针转到K 点(?=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过?33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图8.2(b)所示。

（4）主切应力作用面的位置及其上的应力

图8.3所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ，逆时针转过?34.51，单元体上max τ作用面的外法线方向为由y

轴逆时针转过?67.25，且

MPa 04.96min max ==-=CB ττ

min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c)所示。

8.4 如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45?方向两个微小线段ab 和ac 的的应变ε45?＝629.4×10–6

，ε–45?＝－66.9×10–6

，试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.25。

图8.4

[解] （1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力：

22,,42x y x pd pd m t t d t σστπ

=

==-

（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力：

245245

32283228x y

x x y x pd m

t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出应变ε45?、ε–45?表达式

()()()()()()2454545245454511321181132118pd m E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---??

=

-=-++??????-=-+????＝

-

将给定数据代入上式

6

6

3213200210629.4100.75 1.252001081020010p m π-?????=??+? ?

?????

6

6

321320021066.9100.75 1.252001081020010p m π-????-?=??-? ?

?????

得压强和外力矩

p ＝10MPa ， m ＝35kNm

8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ,梁外表面中性层上A 点45°方向的线应变为ε450

。请选择荷载F.

图 8.5

(A) A E με-?145 （B ）A

E 145-?με (C) A E )1(4945με-? （D ）A E )1(9445με-?

答案:(A)