完整word版分类讨论题含答案

分类讨论题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

类型之一直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.

1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°

2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A．9cm

B．12cm C．15cm

D．12cm或15cm

3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

1

类型之二圆中的分类讨论

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．

0，AC＝3，BC＝4.若以CABC中，∠C＝90点为圆心，r为半径所作的圆与斜4.（湖北罗田）

在Rt△边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．

310 Bcos，且经AB=AC=55.（上海市）在△ABC中，，．如果圆O的半径为5．、过点BC，那么线段AO的长等于

的半径均B11A海市）如图，点，B在直线MN上，AB＝厘米，⊙A，⊙?6.（威（厘米）厘米．⊙为1A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r t≥0＝1+t（）．r与时间t（秒）之间的关系式为（秒）之间的函数表达式；之间的距离）试写出点（1A，Bd（厘米）与时间t

）问点（2A出发后多少秒两圆相切？

2

类型之三方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点

E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

3

8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该．．．抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

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参考答案

1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.

【答案】D

.

2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角

形．

【答案】D

??FE??BFEF?BF?BB，从而可求得B′E=BF；第【解析】由折叠图形的轴对称性可知，3.，

(2)小题要注意分类讨论.

?，，【答案】（1）证：由题意得?BFE?B?FE?BFFB?，中，，在矩形ABCD?BFEB?EF???BC∥AD，??EFFE????BB??EBBF???BFE?B?．．）答：三者关系不唯一，有两种可能情况：（2ca，b，三者存在的关系是．（ⅰ）c，，ba222ca??b?EBBE?证：连结BE，则．?c??BE cB?E?BF 由（1）知，．a?AE222ABE△．．在，中，，，222bAB?BE?AB?AE?c??b?a90??A

．BE，则（ⅱ）三者存在的关系是．证：连结?c?a?bEBBE?ca，b，?ABEc△E?BFB?．中，，1由（）知．在，

BE?AE?ABcb??a???BEc、圆与线段相交，22.4；相切，此时,1、圆与ABr＝4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况。＜r≤4在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3点A2.4

r＝3＜r≤4或【答案】

3?cosB，可，5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5 5在O上方，则AO=3，若在必在直线、BC则OAD上，若OBC经过点，圆为边上的高得BCAD4O AO=5。下方，则BC ．3或5【答案】.

【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论6. 5 d＝11-2t；【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为＞5.5时，函数表达式为d

＝2t -11．当t 2）两圆相切可分为如下四种情况：（＝3；1＋1＋t，t①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝11 ；t－1，t＝②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋ 3 11；t－1，t＝③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋1，t＝13．＋④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1t＋11 13秒两圆相切．3秒、秒、11秒、所以，点A出发后

3的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的y用含自变量x7.【解析】建立函数关系实质就是把函数BME△，一定要注相似长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以为顶点的三角形与”DN，A，意分类讨论。MHABH 1）取，联结中点，【答案】

（1)?ADMH?(BE BEDEM?MH∥，为的中点，．211

0)x??x?2(?S?ABMHy AB?MH?AB?BE，得；，．又ABM△

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222x??4)DE?(）由已知得2．（为直径的圆外切，以线段AB为直径的圆与以线段DE1111 ??222?2??MH?(4?x)AB??DE(x4)?，即．??222244?x BE，即线段解得的长为；33BME，D△A，N相似，为顶点的三角形与（3）由已知，以EBMDAM???又易证得．BEMADN???BME???ADB由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．DBE????BEM??ADN?ADNBEM?∥ADBE???DBE，①当．时，．8?BEAD?2?DB?DEBE

．得；，易得DBE???ADB?ADB??BMEAD∥BE?②当．，时，?BED∽△MEB△

MEB???BME?BED???DBE

，．又．

1DEBE2222224)?(2x??x??2??(x4)DEBE?EM．，得，即

2EMBE

x?2x??10（舍去）．即线段BE，的长为2．解得21综上所述，所求线段BE的长为8或2．

6

【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要8.注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题为顶点．在分析题意时，F为顶点、P为顶点、时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．2)，，

F(1E(31)）；．【答案】（1

222290B??52BF?1??EF?EB??EBFRt△2）在．，中，

（

2)(1，F(0，n)0?nP顶点，其中设点的坐标为，，20)a?1)??2(y?a(x?设抛物线解析式为．22PFEF?PF?EF，时，①如图①，当224?nn?05??2)?(n1?．解得．（舍去）；2122(0?1)??4?a4)，

P(0?2?a．．解得．22?1)??y2(x?抛物线的解析式为

22FP?EPFP?EP，时，②如图②，当5229???1?(1n?(2?n))?n?．解得（舍去）．2

35?EP?EPEF?时，③当，这种情况不存在．22??2(x1)?y综上所述，符合条件的抛物线解析式是．MNFEM，N的周长最小．（3）存在点，使得四边形?x EE如图③，作点轴的对称点关于，???x yyNMN，M，FFEF轴交于点，则点，作点分别与关于轴、轴的对称点就是所求点．，连接????MENF?NF?，E?ME(3，?1)F(?1，，2)，．22??????5?3??4E?4，BE?3FN??NM??FFMENM??MENBF??．．5EF?又，

5??NM?MEEF?5?FN55?MNFE?的周长最小值是．，此时四边形

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