三角函数的诱导公式教案
1.3三角函数的诱导公式
贾斐
三维目标
1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.
2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.
3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点:六组诱导公式的灵活运用.
课时安排2课时
。
教学过程
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路 2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到
到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公360°(
2
式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值
活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得90°到360°的角β能否与锐角α相联系通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
》
图1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.
β=??
???∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180 βββa a a
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何
②它们与单位圆的交点的位置关系如何
③任意角α与180°+α呢
活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.
图2
。
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆
的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
$
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
提出问题
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何
活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
讨论结果:
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
…
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
提出问题
①下一步的研究对象是什么
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何
活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数; ②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°;(2)sin 311π;(3)sin(3
16π-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-
; (2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3
π=23-; # (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π)
=-(-sin 3π)=2
3; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)
=cos120°=cos(180°-60°)
=-cos60°=2
1-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三
角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
（
(1)cos(-510°15′);(2)sin(317
-π).
解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′= 2; (2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23
.
例2 2007全国高考,1
cos330°等于( ) A.21
B.21
-
C.23
D.23
-
答案:C
&
变式训练
化简:
790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:
790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =
)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+ =
70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170
sin 70cos 70cos 70sin -=--
. 例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) ·
=cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1.
点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
变式训练
求证:θθπθθπθπθπtan )
5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----.
分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=)
5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+---- =)
sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+---- =θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边. …
所以原式成立.
规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:1.(1)-cos 94π;(2)-sin1;(3)-sin 5
π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2.(1)21;(2)21;(3) 8;(4)23-.
点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.
点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简. 课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不
过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
作业
课本习题A组2、3、4.