导数应用的题型与方法(解答)

导数应用的题型与方法

撰写人：谢立荣

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、考试要求

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三、双基透视

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 3．曲线的切线

用割线的极限位置来定义了曲线的切线．切线方程由曲线上的切点坐标确定，设

00(,)P x y 为曲线上一点，过00(,)P x y 点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-

4．瞬时速度

用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，0()()

lim t y S t t S t v t t

?→?+?-==

?? 5．导数的定义

对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，

x

y

??有极限，那么函数y=f(x)在点0x

处可导，才能得到f(x)在点0x 处的导数．

(3)由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (a)求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?；

(b)求平均变化率

x

x f x x f x y ?-?+=??)()(00； (c)取极限，得导数x

y

x f x ??=→?00lim )('。

6．导数的几何意义

函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：

(1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为))(('000x x x f y y -=- 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x = 7、 导数与函数的单调性的关系

㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 ㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。 ㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，

一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y = （1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '='

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 ㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数

在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。 8、已知)(x f y = ],[b a x ∈

（1）若0)(>'x f 恒成立 ∴)(x f y =为),(b a 上↑ ∴ 对任意),(b a x ∈ 不等式 )()()(b f x f a f << 恒成立 （2）若0)(<'x f 恒成立 ∴ )(x f y =在),(b a 上↓ ∴ 对任意),(b a x ∈不等式)()()(b f x f a f >> 恒成立

四、热点题型分析

题型一：利用导数定义求极限

例1．已知f(x)在x=a 处可导，且f′(a)=b ，求下列极限：

（1）h

h a f h a f h 2)

()3(lim 0--+→?； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→?

解：（1）h

h a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)

()()()3(lim

2)()3(lim

00

--+-+=--+→→ b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2

1

)('23)

()(lim 213)()3(lim 232)

()(lim

2)()3(lim

0000=+=---+-+=--+-+=→→→→

（2）??

????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )

()(lim 00)('lim )

()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h

a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等

价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。 题型二：利用导数几何意义求切线方程 例2．．已知曲线21:C y

x =，曲线22:(2)C y x =--，直线l 与12C C 、都有相切，求直线l

的方程。

解：设直线l 与12,C C 的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，

1

2

2112

212()'2,22(2),2x x x x x x y x y x x x =='

'=∴===--∴=-

又21

1y x = 222211(2)y x x y =--=-=-

22

211111*********(2)221

y y y x x k x x x x x x x ---∴=====-----

10x ∴=或12x =， 04k k 或∴==l ∴的方程为：0y = 或 44(2)y x -=-。

题型三：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

例3已知函数))1(,1()(,)(2

3

f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为

y=3x+1.

（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围. 解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得

过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：

).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即

而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上

故??

?-=-=+??

?-=-=++3023

3

23c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f

当;0)(,3

2

2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时

①

②

13)2()(.0)(,13

2

=-=∴>'≤

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2

b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032

≥+-b bx x

①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=

b b b f x f b

x 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f b

x ,0212)2()(,26

min 时；

③当.60,012

12)(,1622

min ≤≤≥-=

'≤≤-b b b x f b 则时 综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞

例4：已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．

(1) 求函数()y f x =的表达式；

(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；

(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．

解：(1) 2()32f x x ax b '=++，

由题意得，1,1-是2320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-． 再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3()32f x x x =--．

(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，

当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；

当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-． (3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的，

所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =． 于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，241≤-≤-n ，即63≤≤n ． 综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且63≤≤n ．

例5：已知函数f(x)=－x 3＋3x 2＋ax ＋b 在x ＝(1，f(1))处的切线与直线12x －y －1＝0平行．

（1）求实数a 的值；

（2）求f(x)的单调递减区间；

（3）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（1） ∵f ’(x)＝－3x 2＋6x ＋a ∴f ’(1)＝3＋a=12,∴a=9 （2） f ’(x)＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（3）因为f(－2)＝8＋12－18＋b=2＋b ，f(2)＝－8＋12＋18＋b ＝22＋b ， 所以f(2)>f(－2)． 因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，

所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减， 因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值， 于是有 22＋b ＝20，解得 b ＝－2．

故f(x)=－x3＋3x 2＋9x －2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 例6：已知函数3

221()3(0)3

f x x bx a x a =-

+-≠在x a =处取得极值， （1）用,x a 表示()f x ；

（2）设函数3

3

()23'()6,g x x af x a =--如果()g x 在区间(0,1)上存在极小值，求实数a 的取值范围.

解：（1）22'()23f x x bx a =-+-, 3221

'()02()233

f a b a f x x ax a x =?=?=-+-

（2）由已知3223

()23123,g x x ax a x a =+-+

,1266)('22a ax x x g -+=∴令)('x g ＝0.2a x a x -==?或

①若0>a ,则当a x a x 2-<>或时，)('

x g >0；当2a x a -<<时，'()0g x <. 所以当(0,1)x a =∈时，()g x 在(0,1)有极小值.

②同理当0a <时，2(0,1)x a =-∈，即1(,0)2

a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值. 综上所述：当1

(0,1)(,0)2

a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值. 例7：已知).R a (x 3ax 2x 3

2)x (f 23

∈--= (1)当4

1

|a |≤

时, 求证)x (f 在)1,1(

-内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1(

-内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解: (1) ∵,x 3ax 2x 3

2)x (f 23

--=

∴.3ax 4x 2)x (f 2--='

∵41|a |≤ , ∴,0

)41a (4)1(f 0)4

1a (4)1(f ???

???

?≤+-=≤-=-'

又∵二次函数)x (f '的图象开口向上, ∴在)1,1( -内0)x (f <', 故)x (f 在)1,1( -内是减函数. (2)设极值点为),1x 1(x 0<<-∈则0)x (f ='

当41a >时, ∵,0

)41a (4)1(f 0)4

1a (4)1(f ???

???

?<+-=>-=-'

∴在)x ,1(0 -内,0)x (f >' 在)1,x (0 内,0)x (f <'

即)x (f 在)x ,1(0 -内是增函数, )x (f 在)1,x (0 内是减函数.

当41

a >时)x (f 在)1,1( -内有且只有一个极值点, 且是极大值点.

当41

a -<时, 同理可知, )x (f 在)1,1( -内且只有一个极值点, 且是极小值点.

当4

1

a 41≤≤-时, 由(1)知)x (f 在)1,1( -内没有极值点.

故所求a 的取值范围为),4

1

()41,(∞+--∞

例8：设函数()()()f x x x a x b =--．

（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极

值，求实数,a b 的值；

（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．

解：（1）2

()32().f x x a b x ab '=-++

由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．

（2）当b=1时，()0f x '=令得方程2

32(1)0.x a x a -++=

因,0)1(42

>+-=?a a 故方程有两个不同实根21,x x ．

不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('

x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('

x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。

题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。

例9： 所以如图所示，曲线段OMB 是函数2

(),(06)f x x x =<<的图像，BA x ⊥轴于A ，

曲线段OMB 上一点(,())M t f t 处的切线PQ 交x 轴于P ，交线段AB 于Q.

（1）试用t 表示切线PQ 的方程；

（2）设△QAP 的面积为()g t ，若函数()g t 在(,)m n 上单调递减，试求出m 的最小值；

（3）121[,64]4

QAP S ?∈，试求出点P 横坐标的取值范围.

解：（1）()2,k f t t '==

切线PQ 的方程2

2

2(),2(06).y t t x t y tx t t -=-=-<<即 （2）令y=0得2;6,12.2

t

x x y t t =

==-令 32

211()||||(6)(12)636.2224

t t g t AP AQ t t t t ∴==--=-+

由'

2

3()123604

g t t t =

-+<解得 412t <<. 又0

（3）当04,()0,()t g t g t '<<>时∴在（0，4）上单调递增，

32121121

(4)64,(6)54,636(04)

1.

444121[,64]1 6.,

42

QAP t g g t t t t t

S t P x ?==>-+=<<=

∈?≤<=解方程得∴又点的横坐标

∴P 的横坐标的取值范围为1[,3)2

.

例10：用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=(902)(482)x x x --,(0

2

42764320x x x -+ ∵V′=2125524320x x -+

由V′=2

1255243200x x -+=得1210,36x x ==

∵010x 时，V′>0,1036时，V′>0, 所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960，并且又是最大值 所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960

题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 例11：设函数.10,323

1)(223

<<+-+-

=a b x a ax x x f （1）求函数)(x f 的单调区间、极值.

（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.

解：（1）22

()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a ==

列表如下： x （-∞，a ） a

（a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0

+

-

()f x

极小

极大

∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减

x a =时，34

()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小

（2）22

()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+， ∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减

∴22(1)4(1)321Max

f a a a a a '=-+++-=-，22min (2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=- 依题|()|f x a '≤?||Max

f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得

415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4

[,1)5 例12：（2006全国卷）设a 为实数，函数()()3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()

1,+∞都是增函数，求a 的取值范围。

解：2

2

()32(1)f x x ax a '=-+-，判别式22241212128a a a ?=-+=-

①

若2

1280,a a ?=-==，当(,)(,)33

a a

x x ∈-∞∈+∞或时()0f x '，()f x 在(,)-∞+∞

上为增函数，所以a = ② 若2

1280a

?=-，恒有()0f x '，()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，所

以2

3,()2a a ∴∈-∞?

+∞符合题意。 ③ 若2

1280,a ?=-即6,a ()01f x -∞+∞在（，）和（，）都是增函数，

只须(1)0

(0)01301

3f f a a

?

?'≥?'≥?≤????

，又6

,22a -所以a

?∈??? 综上：a 的取值范围为(,[1,)-∞?+∞ 例13：已知函数5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f ，其中()'

f x 是的导函数

（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；

（Ⅱ）设2

a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y = 只

有一个公共点.

解：（Ⅰ）由题意()2335g x x ax a =-+-

令()()2335x x a x ?=-+-，11a -≤≤ 对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ?<

∴()()1010

??

故2,13x ??

∈- ???

时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <

（Ⅱ）()'2233f x x m =-

①当0m =时，()31f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点

∴2

211f x f

x m

m ==--<-极小

又∵()f x 的值域是R ，且在()

,m +∞上单调递增

∴当x m >时函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点。 当x m <时，恒有()()

f x f m ≤-

由题意得()

3f m -<即3

2

21213m m m -=-<

解得()()3

0,2m ∈ ；综上，m 的取值范围是(

例14．（2006年江西卷）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－

2

3

与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）

由f '（23－

）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝1

2

－，b ＝－2 f '2

所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－

3）与（1，＋∞），递减区间是（－23

，1）

（2）f （x ）＝x 3－

12x 2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227

＋c 为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。

要使f （x ）f （2）＝2＋c ，解得c <－1或c >2 题型六：利用导数研究方程的根

例15：已知平面向量a =(3,－1). b =(

21,2

3). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ，

试求函数关系式k=f(t) ；

(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ?=0 即[a +(t 2-3) b ]·(-k a +t b )=0.

整理后得-k 2a +[t-k(t 2-3)] a b ?+ (t 2-3)·

2

b =0 ∵a b ?=0，2

a =4，2

b =1，∴上式化为-4k+t(t 2-3)=0，即k=

4

1t(t 2

-3) (2)讨论方程41t(t 2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41

t(t 2-3)与直线y=k 的交点个数.

于是f′(t)= 4

3(t 2-1)= 43

(t+1)(t-1).

当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.

当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－2

1

函数f(t)=4

1

t(t 2-3)的图象如图13－2－1所示，

可观察出：

(1)当k ＞

21或k ＜－21

时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k=21或k=－21

时,方程f(t)－k=0有两解；

(3) 当－21＜k ＜2

1

时,方程f(t)－k=0有三解.

例16：设a 为实数，函数32

()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．

解：2

()321,f x x x '=--令121()0,,13

f x x x '==-=，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表所示 x

1(,)3

-∞-

13

- 1(,1)3

- 1

(1,)+∞

()f x ' + 0 — 0 + ()f x

极大值

极小值

所以()f x 的极大值=15

()3

27

f a -=+，极小值(1)1f a =-。 （2）1()(1)3f f -，所以当5

0,1027

a a +-或时曲线()f x 与x 轴仅有一个交点。

所以当5

(,)(1,)27

a ∈-∞-?+∞时曲线()f x x 与轴仅有一个交点。

例17： 已知函数a

x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；

（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.

解（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02a x ax x ax x f a -=-='≠.令a

x x x f 2

,00)(21==='得.

当（i ）a>0时，

若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)2

,(a

-∞上是增函数；

若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2

,0(a 上是减函数；

若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间),2

(+∞a

上是增函数；

（i i ）当a ＜0时，

若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2

,(a -∞上是减函数；

若)2,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2

,0(a 上是减函数；

若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2

(a

上是增函数；

若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，

且函数)(x f y =在a x x 2,0==处分别是取得极值a f 3

1)0(-=，134)2(2+--=a a a f .

因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2

()0(≤?a f f .即0)31)(134(2≤-+--a a a

所以0)4)(3)(1(2

≤--+a a a a .故0,0)4)(3)(1(≠≤--+a a a a 且.

解得 －1≤a ＜0或3≤a≤4.即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 题型七：导数与不等式的综合

例18：已知,0>a 函数),0[,)(3

+∞∈-=x a x x f ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点

))(,(11x f x M 处的切线为l 。 （Ⅰ）求l 的方程；

（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(2x ，证明：①3

12a x >

；②若311a x >

，则123

1x x a <<。

解：（1）)(x f 的导数2

3)(x x f ='，由此得切线l 的方程

)(3)(12131x x x a x y -=--，

（2）依题意，在切线方程中令0=y ，得2

131213112323x a x x a x x x +=--=， （ⅰ）)32(31312131213

12a x a x x a x -+=-0)2()(313

1

123112

1

≥+-=a x a x x ， ∴3

1

2a x ≥，当且仅当3

11a x =时取等成立。

（ⅱ）若3

11a x >，则031

>-a x ，032

1

3112<-=-x a x x x ，且由（ⅰ）3

1

2a x ≥， 所以123

1x x a <<。

例19：设ax x x f a -=>3

)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围；

（2）设0x ≥1，)(x f ≥1，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.

解：（1） ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须

,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数.

若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2

3x ，

由于[)33,,12

≥+∞∈x x 故.从而0

（2）方法1、可知)(x f 在[)+∞,1上只能为单调增函数. 若1≤)(00x f x <，则

,))(()(000矛盾x x f f x f =< 若1≤)(),())((,)(000000x f x x f x f f x x f <<<即则矛

盾，故只有00)(x x f =成立.

方法2：设00)(,)(x u f u x f ==则，,,03

030x au u u ax x =-=-∴两式相减得

00330)()(x u u x a u x -=--- 020200,0)1)((x a u u x x u x =-+++-∴≥1,u≥1， 30,32020≤<≥++∴a u u x x 又，012020>-+++∴a u u x x

例20：已知a 为实数，函数2

3

()()()2

f x x x a =++

（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间

（Ⅱ）证明对任意的12(1,0)x x ∈-、，不等式125

|()()|16

f x f x -<恒成立 解：

3233()22f x x ax x a =+++，23

'()322

f x x ax ∴=++

函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解

2344302a ∴?=-??≥，2

92a ≥，所以a 的取值范围是3[22

-∞-+∞（，，）

'(1)0f -=，33202a ∴-+=，94a =，2931

'()33()(1)222f x x x x x ∴=++=++

由'()0,1f x x ><-或12x >-；由1

'()0,12

f x x <-<<-

()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为1

(1,)2--

易知()f x 的最大值为25(1)8f -=，()f x 的极小值为149()216f -=，又27

(0)8f =

()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =，最小值4916

m = ∴对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495

|()()|81616

f x f x M m -<-=-=

函数()y f x =在区间(0,)+∞内可导，导函数'()f x 是减函数，且'

()0f x >。

例21：设0(0,)x ∈+∞，y kx m =+是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程，并设函数()g x kx m =+。

（I ）用0x ，0()f x ，'

0()f x 表示m ；

（II ）证明：当(0,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥；

解：（I ）'

000()()m f x x f x =-；

（II ）令()()()hx gx f x =-，0()()(),h x f x f x '''=-令()0h x '=，因()f x '递减，所以()

h x '递增，当0,()0,x x h x '当0,()0x x h x '，所以0x 是()h x 唯一极值点，也是最值点，

所以得min 0()()()()0h x h x h x h x ≥===极小值；当(0,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥； 题型八：导数在实际中的应用

例22：某工厂每月生产x 吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为800（万元），可变成本为20x （万元）．市场对这种商品的需求函数为p=100－x （0＜x ＜100），其中p 为这种商品的单价（单位：万元），x 为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）．

（1）把月利润y （万元）表示为产量x （吨）的函数（利润＝销售收入－成本）； （2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？ 解：（1）y=p·x －20x －800

=x·(100－x)－20x －800=－x 2+80x －800(0x<100)<

（2）y=－x 2+80x －800=－（x －40）2+800 ∴当x=40时，y max =800.

此时单价p=100－x=60 ∴每生产40吨，能获得最大利润单价60万元. 题型九：导数与向量的结合 例23：设平面向量3113

(

),().22a b =-=，，若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使b t s k t ⊥+-=-+=,)(2

（1）求函数关系式()S f t =；

（2）若函数()S f t =在[)∞+，

1上是单调函数，求k 的取值范围。 解：（1）).2

3,21(),21,23(

=-=10a b a b ==?=， 2

2

2

2223,0000x y x y a t k b sa tb sa t t k b t st sk a b s t k t s f t t kt ⊥?=??+--+=??-+--+?=∴-+-===-又，得

（）（）

，即（）-（）。

（），故（）。

（2）[)上是单调函数，，）在（且）（∞+-='132t f k t t f

则在[)+∞,1上有00)(≤'≥'）（

或t f t f 由3)3(3030)(min 2

22≤?≤?≤?≥-?≥'k t k t k k t t f ；

由2

23030)(t k k t t f ≥?≤-?≤'。

因为在t ∈[)+∞,1上2

3t 是增函数，所以不存在k ，使2

3t k ≥在[)+∞,1上恒成立。故k

的取值范围是3≤k 。