量子力学试题
、填空题
1 .玻尔的量子化条件为。
2.德布罗意关系为
3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为_______________________________________________
4 .波函数的统计解释：__________________________________________
5.- 为归一化波函数，粒子在「「：方向、立体角&匚内岀现的几率
为_________________________________________ ，在半径为”，厚度为-旷的球壳内粒子岀现的几
率为_____________________________________________________ 。
6.波函数的标准条件
为______________________________________________________________________________
7.」一 -」，匚为单位矩阵，则算符一的本征值为
8?自由粒子体系，____________ 守恒；中心力场中运动的粒子
____________ 守恒。
9.力学量算符应满足的两个性质是___________________________________________________________ 10?厄密算符的本征函数具
有_____________________________________________________________________ 。
11?设J I-■■门为归一化的动量表象下的波函数，则' ' I' 的物理意义为
* C
c * 28 ?如两力学量算符
「'有共同本征函数完全系，则
-'''-
13 ?坐标和动量的测不准关系是
14 ?在定态条件下，守恒的力学量是 ___________________________ 。
15 ?隧道效应是指 _______________________________________________
16 ?量子力学中，原子的轨道半径实际是指 _________________________
17. 为氢原子的波函数, 的取值范围分别
为 ___________________________________________________________________________________________
18 ?对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 _____________________ ，考虑自旋但不考虑自 旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ____________________ ，如再考虑自旋与轨道角动量的 耦合，能级的简并度为 ___________________________________________ 。
19. 设体系的状态波函数为 丨1 '，如在该状态下测量力学量 厂
有确定的值丄，则力学量算符
与态矢量丨 > 的关系为 _____________ 。
21 ?量子力学中的态是希尔伯特空间的 ________________ ;算符是希尔伯特空间的 ________________ <
21 .设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系
数c 的取值为 ________________________ ，‘上的可能值为
_____________ ，金本征值为 處 岀现的几率为 __________________________________ 。
22 ?原子跃迁的选择定则
为 _________________________________________________________________________ 。
20 ?力学量算符 ?-在态-下的平均值可写为 厂J —的条件为
23.自旋角动量与自旋磁矩的关系为
24 ?匚为泡利算符，则 二 ［色厲］二
A
25. ?为自旋算符，则
［粘巧r _________________________________ 。
26. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是
27. ____________________________________________ 轨道磁矩与轨道角动量的关系是 ；自旋磁矩与自旋角动量的关系是
27.费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有 _____________
27.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 I 出（兀”言丿（已归一化），则在态屮下,
自旋算符 &諒丿对自旋的平均可表示为 ___________________ ；对坐标和自旋同时求平均
的结果可表示为 ________________________
27.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 ［I 岀卩d 皐必曲
的意义为 ____________
，一亠「一
I 巴（兀”2丿（已归一化），则
、问答题
1.电子在均匀电场'.'■' ■ ■-中运动，哈密顿量为，试判断—「J ■' -■各
量中哪些是守恒量，为什么
2?经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别
3?量子力学中的力学量用什么算符表示为什么力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式
4?什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系
5?表明电子有自旋的实验事实有哪些自旋有什么特征
6?乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么
7?什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条
8?什么是光谱的精细结构产生精细结构的原因是什么考虑精细结构后能级的简并度是多少
9?什么是斯塔克效应
10?不同表象之间的变换是一种什么变换在不同表象中不变的量有哪些
11?量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定
义有什么不同
12.什么是定态定态有什么性质
13?量子力学中的守恒量是如何定义的守恒量有什么性质
14?简述力学量与力学量算符的关系
15?轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系
16?简述量子力学的五个基本假设。
17?简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么
18.什么是光电效应光电效应有什么规律
19 ?什么是光电效应爱因斯坦是如何解释光电效应的。
20.简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21?简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
22.能量的本征态的叠加还是能量本征态吗为什么
23.原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的
三、计算题
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵
2.一维运动粒子的状态是
一念严x>0
忖（龙=?n
〔°X。其中2>0,求
（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量
序A
1.在「和二的共同表象中，算符乂和」的矩阵分别为
（利用公
式
3.设在」丄表象中，丄亠的矩阵表示为
其中■，_1 " ' '，试用微扰论求能级二级修正。（10分）
4?在自旋态
5.；I乍:-各是厄密算符。试证明，也是厄密算符的条件是对易
6.在动量表象中角动量；”的矩阵元和-；的矩阵元。
7.求自旋角动量在-'方向的投影
8?转动惯量为1，电偶极矩为匚的空间转子处在均匀电场 -
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）
1
= 「
I'，利用公式
_ _ Y
(2/-1)(2M 1) 5
9?证明下列关系式:
c C 斗rt A
(10 分)
cos CK + cos“ + 眄cosy
的本征值和所属的本征函数（基态波函数
曲M r A A
4.r
宀 A f 广%
（其中一为角动量算符，I 一二，二为泡利算符，F为动量算符）
7 1
”（忑）=j4[sin " fer-l- —cos 七列
10.设■'=-时，粒子的状态为- ，求此时粒子的平均动量和平均动能。
11. si为厄密算符」一?（亠为单位算符），」」丄」■■ o （1）求算符'-
(2E
—< X < /
2 ，b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14?证明下列算符的对易关系。
1比丹/优）r亦毙了住）.
1??
2.[此丄±]=幻碣（卸二厶土眄）4 4
的本征值；（2）在A表象下求算符''_的矩阵表示。
12.已知体系的哈密顿量，试求岀（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给岀对角化的么正变换矩阵。
13. 一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,
A/X /X A
3.设算符*与它们的对易式I V -对易，即：_ ? 一一 |?一■-，证明:
15 ?设有两个电子，自旋态分别
16 ?求自旋角动量在
I’ 丿 工?方向的投影
护
卄
irt
rt
: f
. 1
/,J J
-
:
■的本征值和所属的本征函数（
17.由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 是厄密算符；（2）有：-■■■ ; （ 3）厂的本征值为0和1 （20 分）
毎 0 J
Q 民占
18?设在直°表象中，方的矩阵表示为2 “理丿，其中E ； V E ；迢,试用微扰
论求能级二级修正（14分）。
19 ?证明下列算符的对易关系（ 24分）：
〔.（刃二捕伝）+/（耳氛）
2.
[^,41=0 （心*土知
3. 设算符与它们的对易式 …丄对易，即：一
一一 7 一 ■ -，证明：
r
A\S] = KA^]\_Aj]
20?一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个它们的波函数怎样用单粒子波函数构成
证明两个电子处于自旋单态（
-=-）及三重态（-:=-）
的几率分别为:
20分）
曲屮X 出I 。试证明（1）P S1I1 —出
2
（20 分）
21 ?求证在二丄;的共同本征态下，角动量沿与z轴成日角的方向弓的分量'> -- 平均值为吃弓二口专'。
22 ?证明如算符丄'有共同的本征函数完备集，则■' ■对易
23?求」「
0r4
s v=
舟
=一
『
°
」
及2°
」
的本征值和所属的本征函
数。