乘法公式和因式分解集体备课

初二数学集体备课资料（八年级上册）

14.2-14.3 乘法公式和因式分解

主讲人：刘亚君2013.11.19

一、本部分结构特点

二、教学目标分析

1、会推导乘法公式，了解公式的几何解释，并能运用公式进行简单的计算。

2、在应用乘法公式进行计算的过程中，感受乘法公式的作用和价值。、

3、会用提公因式、公式法进行因式分解。

4、了解因式分解的一般步骤。

5、在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程，提高分析能力和解决问题的能力。

三、教材重点与难点的确定

1、重点

（1）乘法公式的意义、乘法公式的由来和正确运用。

（2）用提公因式法和公式法进行因式分解

2、教学难点

（1）在具体问题中，正确运用乘法公式

（2）在具体问题中，正确运用提公因式法和公式法分解因式

3、关键

使学生正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征以及字母的广泛含义。

四、学情分析

1.教学内容分析

第2章“乘法公式与因式分解”的内容分为两部分，即乘法公式和因式分解。本章内容属于多项式最常用的恒等变形，是“数与代数”方面的基本知识和基本技能。今后遇到适合乘法公式条件的乘式，可以直接用乘法公式写出乘积，不必再按多项式乘多项式的法则来做。

本章教科书分4节。第2.1节先通过实例引导学生得出（m+1）（m-1）=m2-1,再由（a+b）（a-b）推导出平方差公式。然后，教科书借助于图形给出了a＞b＞0时平方差公式的几何解释，以加强对公式的理解。第2.2节根据乘法的意义和多项式乘法法则，得到了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，又利用图形面积的计算，对公式进行了直观的说明。教科书没有将（a-b）2=a2-2ab+b2作为公式列出，而是将（a-b）2看作[a+（-b）]2，进行了统一处理。这样安排既有利于减轻学生的记忆负担，又有利于学生运用转化的思想认识完全平方公式。平方差公式和完全平方公式都叫做乘法公式，对于乘法公式，要求同学们都能独立推导出来，并能作出几何解释，会利用公式进行简单的计算。第2.3节和第2.4节首先给出了因式分解的定义，接着依次介绍了提取公因式法和运用公式法。不仅要求同学们能熟练利用这两种方法进行因式分解，还要认识到因式分解与整式乘法互为逆过程。

2. 任务分析

乘法公式与因式分解是下一章《分式》运算的基础。在解一元二次方程时，因式分解是用于降次的重要解法。在高中学习三角函数恒等变形、解一元二次不等式、对数运算中也经常用到。本章突出了由特殊到一般的认识过程和由一般到特殊的应用过程。学习本章的意义并不在于让学生记忆几个公式和套用固定的模式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，重要的是通过探求公式和应用公式的活

动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。

3. 教学对象分析

学生在学习乘法公式与因式分解时，往往分辨不清什么样的结果是整式的乘法的结果，什么样的结果是因式分解的结果。因式分解时所用的公式是乘法公式的逆变形，所以应先熟练掌握整式乘法内容，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。在学习因式分解之前，可先对平方差公式、完全平方公式的应用及逆用作一个专题训练，因为整式乘法中的平方差公式和完全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。作好这些准备工作之后，再开始学习因式分解，提出因式分解的定义，学生就会感到自然，顺理成章。而且这样会使学生更确信因式分解与乘法公式是互逆的变形。然后再讲授提公因式法、公式法（包括平方差公式、完全平方公式）等分解因式的方法，学生就更容易接受、理解了。

五、教学方法建议

1、组织好学生的探索活动；

在教学过程中,借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富有趣的问题情境,并给他们留有充分探索与交流的时间和空间,根据需要创设具有启发性的问题情境,鼓励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系,并运用符号进行表示,然后再运用所学的知识去解决相关的问题.

例如，在学习《2.1平方差公式》时，由于这个公式比较简单，课前准备如下：先安排学生复习整式乘法，为学习平方差公式做好衔接。复习以下两点：（1）整式乘法的法则有哪些？（2）进行多项式乘多项式时，易错点有哪些？如何克服？举例说明。

2、突出因式分解与乘法公式的互逆关系；

能否准确地表达整式乘法与因式分解的关系，能否根据整式乘法公式的特点描述因式分解所用公式的特点等。

3、因式分解的教学应抓住关键点；

会用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标。由于分解因式在下一章的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教科书的要求，适当地分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。

4、搞好例题教学，掌握分析解决问题的方法

例题教学的目的不是为了求得解答结果，而是通过题目的解答过程为学生掌握分析问题和解决问题的方法提供原形和模式，教学中应重视题目分析过程的作用，引导学生思考题目的特点，探索解题思路；例题解答之后，要引导学生反思思考过程，总结解题的经验教训，对一些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括，提示学生今后注意运用，让学生学会综合运用知识，增强综合运用知识的能力，拓宽知识面。

案例：下面以《因式分解》习题课的一个片段为例加一说明：

·复习纠错：判断下列各题因式分解的对错，为什么？

(1) x2-2xy+y2=(x-y) 2

(2) (x+3)(x-3)=x2-9

(3) a2-b2+1=(a-b)(a+b+1)

(4) (x2-y2)+(x+y)=(x-y)(x+y+1)

(5) (m-n)+(n-m) a2=(m-n)(1-a2)

(6) x+1=x(1+ 1/ x)

这几个题目来源于学生日常作业的错误，这道题的目的旨在整理因式分解的概念和因式分解应该注意的地方，学习完一个概念后，学生对概念的理解可能存在误区，这时教师需要从正反两个方面进行强化。

·整理提升

例1：因式分解：（1）2x3-8x (2) 3mn-27m3n3

点拨：先提公因式，然后用公式，最后应是连乘式。

变式练习：（1）2(x+1) 3 -8(x+1) (2) 3m(n-1)-27m3 (n-1) 3

例2：因式分解：

（1） a2b+6ab+9b (2)x2y2+4xy+4 (3)(a2+b2)2-4a2b2

练习：

(1) (x2+4) 2-2(x2+4)+1 （2）(x+y) 2-4(x+y-1)（3）4(x-y) 2-4z(x-y)+z2

·思想方法：此题组体现的是整体思想。

整体思想是在因式分解时最常用的一种思想方法，通过“先看再想，先想再做”和有层次的练习，可以使学生比较明了使用这种方法的题目特征，从而达到渗透思想的目的。

六、教学资源分析

1. 能用平方差公式计算的题目的特征

（1）公式特点：公式中左边为两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项仅差一个符号，右边是一个求差算式，谁减去谁是关键．

（2）如何确定公式中的a、b：在公式的左边，完全相同的一项是a，相差一个符号的为b，公式的右边是a2－b2．

2、关于完全平方公式的一些常用变形形式：

③（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2（a 2＋b 2

）；

④（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ．

掌握这些变形形式，可以使相关题目运算更简便．

【例题资源】

例1. 计算：（2x －3y ）2（2x ＋3y ）2．

分析：此题可先运用完全平方公式变形为（4x 2－12xy ＋9y ）（4x 2＋12xy ＋9y 2），后用平方差

公式化简，也可先逆用积的乘方和平方差公式变形为（4x 2－9y 2）2，后用完全平方公式．

解法一：

原式＝（4x 2－12xy ＋9y 2）（4x 2＋12xy ＋9y 2）

＝[（4x 2＋9y 2）－12xy][（4x 2＋9y 2）＋12xy]

＝16x 4＋72x 2y 2＋81y 4－144x 2y 2

＝16x 4－72x 2y 2＋81y 4

解法二：

原式＝[（2x －3y ）（2x ＋3y ）]2

＝[（2x ）2－（3y ）2]2

＝（4x 2－9y 2）2

＝16x 4－72x 2y 2＋81y 4

评析：比较两种解法，解法二更简洁，因为参与计算的项较少，计算量更小．

变式：计算：（a+b ）2-(a-b)2

例2. 化简下列各式：

（1）（a －b ）（－b －a ）；

（2）（3a ＋b －2）（3a －b ＋2）；

（3）（x －3）（x 2＋9）（x ＋3）；

（4）59.8×60.2

【方法总结】

1. 把握公式的特点，公式中的a 与b 可表示具体的数，也可表示单项式或多项式．

2. 运用乘法公式时，要灵活处理符号，使运算准确简便．如：（－x ＋2y ）（－x －2y ）．可以把－x 看成公式中的a ，2y 看成公式中的b ；也可先进行符号运算，（－x ＋2y ）（－x －2y ）＝[－（x －2y ）][－（x ＋2y ）]＝（x －2y ）（x ＋2y ）． 六、教学建议

1.课时规划意见

14.2.1平方差公式 1课时

14.2.2完全平方公式 2课时

乘法公式习题课 1课时

14.3.1用提公因式法进行因式分解 1课时

14.3.2用公式法进行因式分解 2课时

因式分解习题课 1课时

回顾与总结 1课时

2.配套题

一、选择题

1、下列可以用平方差公式计算的是( )

A 、(x －y) (x + y)

B 、(x －y) (y －x)

C 、(x －y)(－y + x)

D 、(x －y)(－x + y)

2、下列各式中，运算结果是22169b a 的是( )

A 、)43)(43(b a b a --+-

B 、)34)(34(a b a b --+-

C 、)34)(34(a b a b -+

D 、)83)(23(b a b a -+

3、若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )

A 、y x 572+

B 、y x 572--

C 、y x 572+-

D 、y x 572-

4、22)2

13()213(-+a a 等于( ) A 、4192-a B 、161814-a C 、161298124+-a a D 、16

1298124++a a 5、2)2(n m +-的运算结果是 ( )

A 、2244n mn m ++

B 、2244n mn m +--

C 、2244n mn m +-

D 、2242n mn m +-

6、运算结果为42421x x +-的是 ( )

A 、22)1(x +-

B 、22)1(x +

C 、22)1(x --

D 、2)1(x -

7、已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )

A 、8

B 、±8

C 、±16

D 、±32

8、如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )

A 、 2xy

B 、－2xy

C 、4xy

D 、－4xy

二、填空题

1、(b + a)(b －a) = _______________, (x －2) (x + 2) = _________________；

2、( 3 a + b) ( 3 a －b) = _______________________,

(2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________；

3、222121()()_____________,(________3)(______3)493232

a a

b b a b +-=+-=- 4、(x+ y) (－x + y) = ___________, (－7m －11n) (11n －7m) = ___________；

5、______________)2)(4)(2(,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ；

6、 (x + y)2=_________________，(x －y)2=______________________；

7、______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a

8、4

1________)21(22+=-x x 9、(3x + ________)2=__________+ 12x + ____________； 10、______________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ；

11、(x 2－2)2－(x 2 + 2)2 = _________________________；

二、计算题 (写过程)

1、)5)(5(33m n n m -+

2、)2.02)(22.0(x y y x -+

3、)1)(1(---xy xy

4、)23)(23(2222b a ab b a ab ++-

5、)1)(1)(1(2++-a a a

6、)132)(132(++--y x y x

7、 x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1)

8、 (a + b －c) (a －b + c) 9、)49)(23)(23(22b a b a b a ++-

10、 (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)

11、2)23

32

(y x -

12、22)2()2(a b b a -++ 13、)1)(1)(1(2--+m m m

14、22)2()2(n m n m -+ 15、22)23()32(+-+x x

16、2)32(z y x +- 17、22)()(y x y x +-

18、22)35()35(y x y x ++- 19、 ))((c b a c b a +--+

20、 2222)2()4()2(++-t t t 七、交流讨论，达成共识