量子力学

一、简答题（5x6分）二、证明题：（5x2分）三、四、五、六 （各15分） 一、1．何谓势垒贯穿？是举例说明。

答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。

2．波函数()t r , ψ是应该满足什么样的自然条件？()2

,t r

ψ的物理含义是什么？

答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，

它还应该是单值、有限和连续的。()2

,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。

3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？

答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态（它可以用波函数展开，看成平面波的叠加）。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？

答：物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。 5．坐标

x 分量算符与动量x 分量算符x p

?的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[] i ?,=x p

x ，测不准关系为2

≥???x p x 6．厄米算符F ?的本征值n

λ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系

7．简述德布罗意假设？

答：具有能量E 和动量P

的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。λ

υh

p h E =

=,。

8．何谓定态？它有什么特点？

答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()() iEt

e r t r -

=ψψ,描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。

9．简述全同性原理。

答：在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

10、分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。

答：mk A 称为原子体系由m ∈能级跃迁到k ∈能级的自发发射系数，它表示原子在单位时间内由m ∈能级自发跃迁到k ∈能级的几率。mk B 称为受激发射系数，km B 称为吸收系数。它们的意义分别是：设作用于原子的光波在ωωωd +→频率范围内的能量密度是()()ωωd I ，则在单位时间内原子由m ∈能级受激跃迁到k ∈能级、并发射出能量为mk ω 的光子的几率是()mk mk I B ω；在单位时间内原子由k ∈能级跃迁到m ∈能级、并吸收能量为mk ω 的光子的几率是()mk km I B ω。

11．简述pauli 原理。

答：在Fermi 子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi 子处于同一量子态。 12．轨道角动量x 分量算符与轨道角动量y 分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。

答：对易关系为[]

z y x L L L ?i ?,? =。测不准关系为

()()

2

22

2

4

z y x L L L ≥???,在z

L ?的本征态下为()()

4

422

2

m L L y

x ≥???。

13．幺正变换具有什么性质？

答：不改变矩阵对本征值、不改变矩阵的迹。 14．简述量子力学中态的叠加原理。

答：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那末它们的线性叠加2211ψ+ψ=ψc c （21,c c 是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处在态1ψ，又处在态2ψ。

15．简要解释一维线性谐振子的零点能。

答：一维线性谐振子的零点能为ω 2

1

0=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量

子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。

二、证明题（1）证明：i z y x =σσσ

??? 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσ?2????=-及反对易关系0????=+x y y x σσσσ ，得

z y x i σσσ

???=

上式两边乘z σ?，得2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ???

（2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。

证：设F

?在A 表象中的本征值方程为a Fa λ=，λ为本征值，a 为本征矢。将F ?和a 从A 表象变换到B 表象，则有a S b FS S F 11,--=='。在B 表象中

()

a S a S Fa S a S FS S

b F 11111-----===='λλ，即b b F λ='。从而说明算符F

?在B 表象中的本征值仍是λ。

（3）证明：厄密算符的本征值是实数。

证：设F

?的本征值方程为λψψ=F ?，λ为本征值，ψ为本征函数。根据厄密算符的定义()

τφψτφψd F d F ?

?**=??，令ψφ=，于是有τψψλτψψλd d ??***=，由此得λλ=*，即λ为实数。

（4）证明)????(2

1

x p p x x x +是厄米算符： 证：???

+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x

x x x x 2*

12*12*

1)??(2

1)??(21)]????(21[ ??+=

τψψτψψd p x d x p x x 2*12*

1)??(21)??(21 ?

+=τψψd x p p x

x x 2*

1]))????(2

1[ ?

+=τψψd p x x p

x x 2*1])????(2

1[ ∴

)????(2

1

x p p x x x +是厄米算符。 三、（a ）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中

()??

?><∞≤≤

=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动。（１）求粒子的能量本征值和本征函数。（２）若0=t 时，粒子处于

()()()()x x x x 32121

31210,???ψ+-=

状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率。（３）求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量可测值与相应的取值几率。

解：（１）（５分）非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

()x

a n a x n n m a

E n n π

?πsin 2,3,2,1 ,222

2

2===

（２）（５分）将()0,x ψ归一化。

由12131212

222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为1312

=c 。 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113

3

1341360,???ψ+-= 能量的取值几率为

()()()133

;134 ;136321===

E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （３）（５分）因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()??

? ??-+??

? ??--??? ??-=

t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ

由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

（b ）在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布。粒子能量的本征函

数和本征值为

???

??≥≤≤≤a x x a x x a

n a x ,0 ,0 0 ,sin 2)(πψ 2

2222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 5分 动量的几率分布函数为2

)(n C E =ω

??

==

∞

∞

-a

n dx x x a n dx x x C 0

*

)(sin

)()(ψπ

ψψ

先把)(x ψ归一化，由归一化条件，

???+-=-==∞

∞

-a

a dx

x ax a x A dx x a x A dx x 0

22220

222

)2()()(1ψ

?

+-=a

dx

x ax x a A

43222

)2(

30)523(5

25552

a A a a a A =+-= ∴

530

a A =

∴

?

-??=a

n dx x a x x a n a a C 0

5)(sin 302π

]s i n s i n [1520203x xd a n x x xd a n x a a a a ??-=

ππ

a

x a n n a x a n x n a x

a n x n a x a n n a x a n x n a a 0

333222222323]

c o s 2s i n 2 cos sin cos [152π

πππππππππ--++-=

])1(1[15

43

3n n --=

π 5分

∴

2662

])1(1[240

)(n n n C E --=

=πω

?????===

,6 ,4 ,20 5 3 1960

66n n n ，，，，

，π

??==∞

∞-a

dx x p x dx x H x E 02

)(2?)()(?)(ψμψψψ

?

--?-=a

dx

a x x dx d a x x a 0

22

25

)](2[)(30μ

)32(30)(303

35

20

5

2a a a

dx a x x a a

-=-=?

μμ

2

25a μ = 5分

（c ）一个质量为μ的粒子在一维无限深势阱()?????≤≥∞=a

x a

x x U ,0,中运动。（1）求能

量本证函数和本征值。（2）证明在该粒子的任一定态中，动量的平均值为零。（3）

设0=t 时体系处于状态

()??

???≥<++=a x a x a x a a x a i

x ,0,2cos 212sin 21ππψ

求t 时刻的状态()?,=t x ψ。（4）在上述()t x ,ψ态粒子的能量可能值及其几率、平均值。

解：（1）（5分） 能量本征值) ,2 ,1(82

222 ==n a

n E n μπ 能量本征函数

???????????≥=<=<=?????≥<+=)

( ,0,3,1),( ,2cos 1

,4,2),( , 2sin 1)( 0 )( a)(x 2sin 1a x n a x x a n a n a x x a n a a x a x a

n a n ππ

π

ψ （2）由于粒子在所有定态波函数具有确定的宇称，而动量算符具有奇宇称，所

以在粒子的任何一个定态中动量的平均值为零。（2分） （3）()()()x x i x 142

1

210,ψψψ++=

()()() /1/4142

1

21,t iE t iE e x e x i t x --++=

ψψψ（5分） （4）,82221a E μπ =几率21；,22224a E μπ =几率21； =E 2

2

21817a

μπ （3分） 四、（a ）自旋为21、固有磁矩为s M γ=?

（其中γ为实常数）的粒子，处于均匀

外磁场k 0

B B =中，（１）求粒子的本征值和本征函数。（２）设0=t 时，粒子处

于2

=

x s 的状态，求出0>t 时的波函数。（３）求出0>t 时x s

?与z s ?的可测值及相应的取值几率。 解：（1）（5分）体系的哈密顿算符为

2

,??2 ? ??000B B s B B M H z z z γωσωσγγ-=≡-=-=?-=

在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为

()()?

??

?

??=-==-=?

??

?

??=+===10 ,01 ,1/2-221/211z z s E s E χ?ωχ?ω

（2）（5分）在0=t 时，粒子处于2

=z s 的状态，即

()???

? ??=

+

=11210x

ψ 而x σ

?满足的本征方程为

????

??=???? ?????? ??b a b a λ0110 解之得

[][]--+=-=???? ??-=-++=+=???

? ??=2

111212111212/12/1x x ηη

由于，哈密顿算符不显含时间，故0>t 时刻的波函数为

()???? ??=-??? ??-++??? ??-=-t i t i e e t E t E t ωωψ21i e x p 21i e x p 2121 （3）（5分）因为[]

0?,?=z s H ，所以z S 是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0=t 时z S 的取值几率就知道了0>t 时z S 的取值几率。

由于210,2=??? ?

?= z s W ；210,2=??? ??

-= z s W ，故有 0=z s

而x s 的取值几率为

()

()t B t E t E t E t E t t s W x

x 2cos i exp i exp 21 i exp i exp 21 ,2022

212

212

γψ=??

??????? ??-+??? ??-=

??

?

??????? ??-???

??-++??? ??--++=+=

??? ?

?

= t

B t s W x 2sin ,202γ=??? ?

?

-= （b ）设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H

'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112

，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。并严格求解，然后和微扰论结果比较。

解：由微扰公式得

nn n H E '=)

1(

∑-'=m

m

n mn

n E E H E )

0()0(2

'

)

2(

得 b H E b H E ='=='=22)

1(0211)1(01 3分

02

012

0012

1'

)

2(01

E E a E E H E

m

m

m

-=

-'=∑

01

022

0022

1'

)

2(02

E E a E E H E

m

m m

-=

-'=∑

∴ 能量的二级修正值为

02012

011E E a b E E -+

+= 4分

01022

022E E a b E E -+

+= 4分 （2）严格求解得()()()()

()

()()????

? ?????? ??-+-±++=22201

2201220121221E E b E E a E E E ，4分 在()()

0201E E b -<<条件下作级数展开，取前两项，结果与微扰论结果相同。

（c ）如果类氢原子的原子核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，

计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知

)()(?0r U r U H -='

其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r

ze r U 02

4πε-

=）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02

4)(πε-

= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞

-=r E d r e r U )(

??????

?≥≤=??=)( 4 )( ,43441

020********

420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε

??∞

--=0

)(r r r

Edr

e Edr e r U

??

∞

-

-

=00

20

2

3

002144r r r

dr

r Ze rdr r Ze πεπε

)3(84)(82

203

020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤

??

???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 5分 由于0r 很小，所以)(2??022

)0(r U H H +?-=<<'μ

，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r

a Z

e

a Z 02/130

3)

0(1)(-=πψ） ?∞

'=τψψd H E )0(1

*

)0(1)1(1?

?

-+--=0

00

2

2022203

023034]4)3(8[r r a Z

dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ

∴0a r <<，故10

2≈-

r a Z e

。

∴

?

?

+--=0

3

02

40

4

2

20

3

3002

4)

1(1

)3(2r r r d r a e Z dr r r r r a e Z E

πεπε

2030024505

030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--=20

30

02410r a e Z πε= 2

03

2452r a e Z s = 10分 五、（a ）设氢原子处于 ()()()()()()()

?θ?θ?θ?θψ,Y R 2

1

,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=

r r r r 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z

分量的可能取值与相应的取值几

率，进而求出它们的平均值。

解：选{}

z L L H ,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为

()()()

?θ?θ?μ,Y R ,,1

2 224lm nl nlm n r r n e E =-

= 2分

其中，量子数的取值范围是

l l l l l m n l n -+---=-==,1,,2,1,1

,,2.1,0,3,2,1

利用归一化条件求出归一化常数为 5

4

2141212

1=

??

?

??++=-

c 2分 主量子数n 的可能取值只有两个，即3,2=n ，于是

()()5

1

5441 ,18 54

542121 ,8 32

4322

4

2=?=-==???? ??+=-

=E W e E E W e E μμ 2

4

2

42

49 5

1

18 54

8

e e e E μμμ-

=?

-

?

-= 4分

角动量量子数

l 的可能取值只有一个，即1=l ，故有

()

2222222,13

,2 ====L L W L 3分

角动量磁量子数

m 的可能取值有两个，即0,1-=m ，于是

()()5

3

5441210

,05

25421

,=???? ??+====?=-=-=z z z z L W L L W L

5

2

-

=z L 4分 （b ）设两个电子在谐振子势场中运动，每个电子的势能是

()22222221

21)(z y x r r U ++==μωμω

若体系的Hamilton 算符与电子的自旋无关，求当一个电子处于基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成的体系的波函数和相应的体系的能量。

解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程

)()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+??+??+??- 考虑到 2222z y x r ++=，令

)()()()(z Z y Y x X r =ψ

EXYZ XYZ z y x XYZ z y x =+++??+??+??-)(21)(222222222222μωμ

E z x Z Z y x Y Y x x X X =+??-++??-++??-)2112()2112()2112(222

22222

2222222μωμμωμμωμ

x

E x x X X =+??-?)2112(2

22

22μωμ y

E y x Y Y =+??-)21

12(222

22μωμ z

E z x Z Z =+??-)2112(222

22μωμ

)()()()(22

r E r r U r ψψψμ=+?-

z

y x E E E E ++=

)()(222

1

x H e N x X n x n n αα-=?

)()(2221

y H e N y Y m y m m αα-= )()(222

1

y H e

N y Y m y m m αα-=

)()()()(222

1

z H y H x H e

N N N r m n r m n nm αααψα -= 8分

其中 !

22

/1n N n

n π

α=

，

μω

α=

对于基态0=== m n ，10=H

2

22

1

2/30000)()(r

e r απ

αψψ-==?

对于沿χ方向的第一激发态01=== m n ，， x x H 2)1α=（

222

1

4/32/5100122)(r xe r απαψψ-==

两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为

))](()()([21

),(2011211021r r r r r r S ψψψψψ+=

][)(2

1

1)

(2122/34

2221222212

r r r r e

x e x +-+-+=ααπ

α)

(2

1122/34

22212

)(r r e x x +-+=απ

α

)]()()()([21),(1120211021r r r r r r A ψψψψψ-= )(2

1122

/3422212)(r r e x x +--=απα

而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即

)3(S )2(S )1(S χχχ、、和A χ

综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态： A S r r χψ),(211=Φ

三重态： ??

???=Φ=Φ=Φ)3(214)

2(213)1(212),(),(),(S A S A S A r r r r r r χψχψχψ 7分

（c ）一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两

个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

解：体系可能的状态有4个。 1分

设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为

)()()(3211q q q i i i φφφ=Φ 3分

)()()(3212q q q j j j φφφ=Φ 3分

)]

()()()()()()()()([3

1

1322313213q q q q q q q q q j i i j i i j i i φφφφφφφφφ++=

Φ 4分

)]

()()()()()()()()([3

1

1322313214q q q q q q q q q i j j i j j i j j φφφφφφφφφ++=

Φ 4分

六、（a ）一个电荷为q 、质量为

μ

和角频率为

ω的线谐振子，受到恒定弱

电场()0,0,εε= 的作用，即x q H

?ε-='，求其能量近似至二级修正，波函数至一级修正。

解：体系的哈密顿算符为H H H ???0

'+=， x q H ?ε-=' 2分 0

?H 的解为ω ??

?

??

+=210

n E n ；() ,1,0,!

22

221==-n x H e n n n x

n απα

α 4分

由于0

?H 的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式 ∑≠-''+'+=n k k

n nk kn

nn n

n E E H H H E E 000

进行计算。由??

????++

=+-1,1,21

21n m n m n n n x m δδα 可知， ??

????++-='+-1,1

,21

2n m n m mn

n n

q H δδ

αε 显然，能量一级修正0='kk

H ， 2分 于是，得到能量二级近似为

2222221,1

,2

00

2

1,1,2

00

22121221212112121

221μωεωμωεωδδωαεωδδαεωq n n n q n n n k n q n E E n n q n E E W W E E n k n k n k n

k k n n k n k n

k k n nk

kn n n -??? ??+=??????+-+??? ?

?

+=??????++-??? ??+??? ??+=-??????++??? ??+??? ??+=-+≈+-≠≠+-≠∑∑∑

4分

波函数的一级近似为

()??

??

??--+++

=?????

?++--

==-+=+-≠≠∑∑

1212

1

21

211,1,0

0n n

n n q n k n n

k n q n n E E W k x n k n k n k k

n n

k kn

k μωω

εδδωαε

ψ 3分 （b ）设氢原子的状态是????

?

???????-=),()(23),()(21 10211121?θ?θψY r R Y r R 。求：（1）能量、轨道角动量

平方2?L 、z 分量z L ?和自旋角动量平方2?S 、z 分量z

S ?的可能值、这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩S e L e M ??2? μ

μ--

=的z 分量平均值。 解：n=2,,82

4

2

s e E μ-

=几率为1。 3分

222 =L ，几率为1。 2分

0, =z L ，几率分别为1/4，3/4，平均值为4 。 3分

322 =S ，几率为1。 2分 2,2 -=z S ，几率分别为1/4，3/4，平均值为4 -。 3分

μ e M =。 2分