【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 计时双基练47 空间向量及其运算 理 北师大版
计时双基练四十七 空间向量及其运算
A 组 基础必做
1.点M (-8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A .(-8,-6,-1) B .(8,-6,-1) C .(8,-6,1)
D .(-8,-6,1)
解析 点P (a ,b ,c )关于x 轴的对称点为P ′(a ,-b ,-c )。 答案 A
2.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式: ①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →;②(BC →+BB 1→)-D 1C 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→;④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→。 其中与向量BD 1→
相等的是( ) A .①② B .②③ C .③④
D .①④
解析 ①(A 1D 1→-A 1A →)-AB →=AD 1→-AB →=BD 1→
; ②(BC →+BB 1→)-D 1C 1→=BC 1→-D 1C 1→=BD 1→; ③(AD →-AB →)-2DD 1→=BD →-2DD 1→≠BD 1→; ④(B 1D 1→+A 1A →)+DD 1→=B 1D →+DD 1→=B 1D 1→≠BD 1→。 综上,①②符合题意。 答案 A
3.(20152济南月考)O 为空间任意一点,若OP →=34OA →+18OB →+18OC →
,则A ,B ,C ,P 四点( )
A .一定不共面
B .一定共面
C .不一定共面
D .无法判断 解析 因为OP →=34OA →+18OB →+18
OC →
,
且34+18+1
8=1。所以P ,A ,B ,C 四点共面。 答案 B
4.已知a =(λ+1,0,2),b =(6,2μ-1,2λ),若a ∥b ,则λ与μ的值可以是( ) A .2,12
B .-13,12
C .-3,2
D .2,2 解析 ∵a ∥b ,∴b =k a ,即(6,2μ-1,2λ)=k (λ+1,0,2),
∴????
?
6=k λ+1 ,2μ-1=0,2λ=2k ,解得?
???
?
λ=2,μ=1
2或?
???
?
λ=-3,μ=1
2。
答案 A
5.(20152西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE →2AF →
的值为( )
A .a 2
B.12a 2
C.14
a 2
D.34
a 2 解析 AE →2AF →=12(AB →+AC →)212AD →=14(AB →2AD →+AC →2AD →)=14(a 2cos 60°+a 2
cos 60°)=
14
a 2。故选C 。
答案 C
6.A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →2AC →=0,AC →2AD →=0,AB →2AD →
=0,M 为BC 中点,则△AMD 是( )
A .钝角三角形
B .锐角三角形
C .直角三角形
D .不确定
解析 ∵M 为BC 中点,∴AM →=12(AB →+AC →
)。
∴AM →2AD →=12(AB →+AC →)2AD →
=12AB →2AD →+12AC →2AD →
=0。 ∴AM ⊥AD ,△AMD 为直角三角形。 答案 C
7.(20162长春模拟)已知点B 是点A (3,7,-4)在xOz 平面上的射影,则OB →2
等于________。
解析 点A 在xOz 平面上的射影为B (3,0,-4),则OB →=(3,0,-4),OB →2
=25。 答案 25
8.若向量a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1)满足条件(c -a )2(2b )=-2,则x =________。
解析 c -a =(0,0,1-x ),2b =(2,4,2),由(c -a )2(2b )=-2,得(0,0,1-x )2(2,4,2)=-2,即2(1-x )=-2,解得x =2。
答案 2
9.已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点,PA ⊥平面ABCD ,M 在线段PC 上,N 在线段PD 上,且PM =2MC ,PN =ND ,若MN →=xAB →+yAD →+zAP →
,则x +y +z =________。
解析 如图,MN →=PN →-PM →
=12PD →-23
PC → =12(AD →-AP →)-23(PA →+AC →) =12AD →-12AP →+23AP →-23(AB →+AD →) =-23AB →-16AD →+16
AP →。
所以x +y +z =-23-16+16=-23。
答案 -2
3
10.已知空间中三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →
。 (1)若|c |=3,且c ∥BC →
,求向量c 。 (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值。
解 (1)∵c ∥BC →,BC →
=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), ∴c =mBC →
=m (-2,-1,2)=(-2m ,-m,2m )。 ∴|c |= -2m 2
+ -m 2
+ 2m 2
=3|m |=3。 ∴m =±1。
∴c =(-2,-1,2)或(2,1,-2)。 (2)∵a =(1,1,0),b =(-1,0,2), ∴a 2b =(1,1,0)2(-1,0,2)=-1。 又∵|a |=12
+12
+02=2, |b |= -1 2
+02
+22
=5,
∴cos 〈a ,b 〉=
a 2
b |a |2|b |=-110
=-10
10,
即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为-
10
10
。 11.(20162重庆模拟)如图,在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,A ′A ⊥平面ABC ,AC =BC =AA ′,∠ACB =90°,D ,E
分别为AB ,BB ′的中点。
(1)求证:CE ⊥A ′D 。
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值。 解 设CA →=a ,CB →=b ,CC →
′=c ,
根据题意,|a |=|b |=|c |且a 2b =b 2c =c 2a =0。 (1)CE →=b +12c ,A ′D →
=-c +12b -12a ,
所以CE →2A ′D →
=-12c 2+12b 2=0。
所以CE →⊥A ′D →
,即CE ⊥A ′D 。 (2)AC →′=-a +c ,CE →
=b +12c ,
所以|AC →′|=2|a |,|CE →
|=52|a |。
AC →
′2CE →=(-a +c )2?
????b +12c =1
2
c 2=12
|a |2,
所以cos 〈AC →′,CE →
〉=
12|a |222
52
|a |2=
1010
。 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为
1010
。 B 组 培优演练
1.若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ,d =λa +μb (λ,μ∈R ,且λμ≠0),则( ) A .c ∥d B .c ⊥d
C .c 不平行于d ,c 也不垂直于d
D .以上三种情况均有可能
解析 由题意得,c 垂直于由a ,b 确定的平面。 ∵d =λa +μb ,∴d 与a ,b 共面。∴c ⊥d 。 答案 B
2.(20162武汉模拟)二面角α-l -β为60°,A ,B 是棱l 上的两点,AC ,BD 分别在半平面α,β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且AB =AC =a ,BD =2a ,则CD 的长为( )
A .2a B.5a C .a
D.3a
解析 ∵AC ⊥l ,BD ⊥l , ∴〈AC →,BD →
〉=60°, 且AC →2BA →=0,AB →2BD →
=0, ∵CD →=CA →+AB →+BD →。 ∴|CD →|=
CA →+AB →+BD → 2
=a 2
+a 2
+ 2a 2
+2a 22a cos 120°=2a 。 答案 A
3.已知a =(1-t,1-t ,t ),b =(2,t ,t ),则|b -a |的最小值为________。 解析 ∵b -a =(1+t,2t -1,0), ∴|b -a |= 1+t 2
+ 2t -1 2
=
5? ????t -152+95
, ∴当t =15时,|b -a |取得最小值35
5。
答案
355
4.如图,在棱长为a 的正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中,E ,F 分别是棱AB ,BC 上的动点,且
AE =BF =x ,其中0≤x ≤a ,以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz 。
(1)写出点E ,F 的坐标; (2)求证:A 1F ⊥C 1E ;
(3)若A 1,E ,F ,C 1四点共面,求证:A 1F →=12A 1C 1→+A 1E →
。
解 (1)E (a ,x,0),F (a -x ,a,0)。 (2)证明:∵A 1(a,0,a )、C 1(0,a ,a ), ∴A 1F →=(-x ,a ,-a ),C 1E →
=(a ,x -a ,-a )。 ∴A 1F →2C 1E →=-ax +a (x -a )+a 2
=0, ∴A 1F →⊥C 1E →, ∴A 1F ⊥C 1E 。
(3)证明:∵A 1,E ,F ,C 1四点共面, ∴A 1E →,A 1C 1→,A 1F →
共面。
选A 1E →与A 1C 1→
为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2), 使A 1F →=λ1A 1C 1→+λ2A 1E →,
即(-x ,a ,-a )=λ1(-a ,a,0)+λ2(0,x ,-a )=(-a λ1,a λ1+x λ2,-a λ2), ∴????
?
-x =-a λ1,a =a λ1+x λ2,-a =-a λ2,
解得λ1=1
2,λ2=1。
于是A 1F →=12A 1C 1→+A 1E →。
高三数学第一轮复习教案(1)
第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容:集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集.
2021-2022年高考数学大一轮复习 高考大题专项练6 文
2021年高考数学大一轮复习高考大题专项练6 文 1.A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: (1)试估计40min内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40min和50min时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
2.(xx天津,文15)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表: 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
3.(xx东北三校二模)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第三、四、五组的频率; (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的2个产品均来自第三组的概率.
4.某重要会议在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有10人和6人会俄语. (1)根据以上数据完成以下2×2列联表,并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关? 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d. 参考数据:
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2018年高考数学立体几何试题汇编
2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .
2020版高考数学(理)大一轮复习:全册精品学案(含答案)
第1讲集合 1.元素与集合 (1)集合元素的性质:、、无序性. (2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为. (3)集合的表示方法:列举法、和. (4)常见数集及记法 数集 自然 数集正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 符号 2.集合间的基本关系 文字语言符号语言记法 基本关系子集 集合A中的 都是集合B中 的元素 x∈A?x ∈B A?B或 集合A是集合 B的子集,但集 合B中有 一个元素不属 于A A?B,?x0 ∈ B,x0?A A B或 B?A 相等 集合A,B的元 素完全 A?B,B? A 空集 任何元素 的集合,空集 是任何集合的 子集 ?x,x? ?, ??A ? 3.集合的基本运算
表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法 交集属于 A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 并集属于A 属于B的 元素组成 的集合 {x|x∈A, x∈ B} 补集全集U中 属于A的 元素组成 的集合 {x|x∈U, x A} 4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A. (2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B. (3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ; ?U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪. 常用结论 (1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等. (2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集; ②任何一个集合是它本身的子集; ③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足); ④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能. (3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用