高考数学解答题训练

17．（本小题满分12分）

已知函数2()sin sin()(3)()2

f x x x x x R π

π=?+

+∈．

（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；

（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标．

18．（本小题满分12分）

一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正

四面体面朝下的数字分别为12,x x ，记22

12(3)(3)x x ξ=-+-．

（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，N M ,分别

为BC AF ,的中点．

（1）求证：//MN 平面CDEF ； （2）求多面体CDEF A -的体积； （3）求证：AF CE ⊥．

20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且

3242

-+=n n n a a S ．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）n n n n

n b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值.

21．（本小题满分13分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的

连线构成等腰直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42

=的一条切线．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点)3

1

,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一

N

M

F

E

D C

B

A

直观图

俯视图正视图

侧视图

2

22

2

2

2)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C

个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在， 请说明理由．

22．（本小题满分13分）已知函数

R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.

（1）求d c a ,,的值； （2）若;0)()(',4

1

243)(2<+-+-=

x h x f b bx x x h 解不等式 （3）是否存在实数m ，使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值－5？若 存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.

,

0)0(),,(4

131)(2

3=∈++-=f R d c a d cx x ax x f 满足

17．解:32

1212cos 32sin 21)(++-=x x x f

=???

?

??-x x 2cos 232sin 21=)32sin(π-x （1）T=π； （2）由)(22

3

222

z k k x k ∈+≤

-

≤+-

ππ

π

ππ

可得单调增区间]12

5

,12

[πππ

π+

-

k k （)z k ∈． （3）由ππ

π

k x +=

-2

3

2得对称轴方程为)(2

125z k k x ∈+=

ππ，

由ππ

k x =-

3

2得对称中心坐标为))(0,2

6

(

z k k ∈+

π

π

． 18．解：（1）掷出点数x 可能是：1,2,3,4. 则3x -分别得：2,1,0,1.--于是2

(3)x -的所有取值分别为：0,1,4. 因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8． 当11x =且21x =时，()()2

2

1233x x ξ=-+-可取得最大值8， 此时，()111

84416

P ξ==

?=; 当13x =且23x =时，()()2

2

1233x x ξ=-+-可取得最小值0．

此时，()111

04416

P ξ==

?=． （2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8． ()()10816

P P ξξ====

； 当ξ=1时，()21,x x 的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．即()4116

P ξ==；

当ξ=2时，()21,x x 的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．

F

D

A 即()4216

P ξ==

； 当ξ=4时，()21,x x 的所有取值为（1，３）、（３，１）．即()2216

P ξ==

； 当ξ=5时，()21,x x 的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．即()4216

P ξ==．

19．（1）证明：由多面体的三视图知， 三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直

角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF ,

侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形．

连结EB ，则M 是EB 的中点， 在△EBC 中，EC MN //，

且EC ?平面CDEF ，MN ?平面CDEF ，

∴MN ∥平面CDEF ．

（2） 因为⊥DA 平面ABEF ，EF ?平面ABEF , AD EF ⊥∴,

又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ， ∴四边形 CDEF 是矩形,

且侧面CDEF ⊥平面DAE 取DE 的中点,H Θ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,

且⊥AH 平面CDEF ．

所以多面体CDEF A -的体积3

8

3131=??=?=

AH EF DE AH S V CDEF ． （3）∵⊥DA 平面ABEF ，DA ∥BC ， ∴⊥BC 平面ABEF ， ∴AF BC ⊥，

∵面ABFE 是正方形， ∴AF EB ⊥，

∴BCE AF 面⊥，

∴AF CE ⊥．（本题也可以选择用向量的方法去解决）

20．解（1）当n = 1时，21111113

,424

a s a a ==+-解出a 1 = 3,

又4S n = a n 2

+ 2a n －3 ①

当2n ≥时 4s n －1 = 2

1-n a + 2a n-1－3 ②

①－② 22

1142()n n n n n a a a a a --=-+-, 即0)(21212=+----n n n n a a a a ，

∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,

2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ），

}{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列，

12)1(23+=-+=∴n n a n ．

（2）123252(21)2n n T n =?+?+++?L ③ 又23123252(21)2(21)2n n n T n n +=?+?+-?++L

④

④－③ 1

3212)12()222(223++++++-?-=n n n n T Λ

11

2)12(2286+-?++?-+-n n n =

221+?=+n n

21．解：（1）由0)42(:40222

=+-+???==+-b x b x y x

y b y x 得消去 因直线x y b x y 42

=+=与抛物线相切，04)42(2

2

=--=?∴b b

1=∴b ，

∵圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

形，∴22==

b a

故所求椭圆方程为.12

22

=+y x （2）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：2

2

2

)3

4()3

1(=++y x

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

2

=+y x

由??

?==??

???=+=++101

)34()31(22222

y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）

事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下．

当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

1-

=kx y

由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去

记点),(11y x A 、???

???

?

+-=+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则

)

3

4)(34()1)(1()

1,(),1,(212121212211--+=--+=?-=-=kx kx x x y y x x TB TA y x y x 所以又因为

916

)(34)1(21212++-+=x x k x x k

09

16

918123491816)1(222=++?-+-?+=k k k k k

所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）

所以在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件．

22．解：（1）,0)0(=f Θ0=∴d 2

1

,0)1('21)('2=+=+-

=∴c a f c x ax x f 有及 02

1

,0)('2≥+-≥c x ax R x f 即上恒成立在Θ恒成立

即02

1212

≥-+-a x ax 恒成立

显然0=a 时，上式不能恒成立

a x ax x f a -+-='≠∴21

21)(,02函数是二次函数

由于对一切,0)(,≥'∈x f R x 都有于是由二次函数的性质可得

?????≤--->.0)21(4)2

1(,02a a a 即4

1:,0)41(,

0,

016121,022=

??

???≤->?????≤+->a a a a a a 解得即

4

1

=

=c a ．

（2）.41==c a Θ.4

12141)(2+-='∴x x x f 04

1

243412141,0)()(22<-+-++-<+'∴b bx x x x x h x f 即由

即0)21)((,02)21(2

<--<++-x b x b x b x 即

当)21,(,21),,21(,21b b b b 解集为时当解集为时<>，当?解集为时,2

1

=b ．

（3）,41==c a Θ4

1

2141)(2+-='∴x x x f

.4

1

)21(41)()(2++-=-'=∴x m x mx x f x g

该函数图象开口向上，且对称轴为.12+=m x

假设存在实数m 使函数4

1

)21(41)()(2++-=-'=x m x mx x f x g 区间]2.[+m m 上

有

最小值－5. ①当]2,[)(,12,1+<+-

.541

)21(41,5)(2-=++--=∴m m m m g 即

解得.3

73=-=m m 或,137->Θ37

=∴m 舍去

②当]12,[)(,212,11++<+≤<≤-m m x g m m m m 在区间函数时上是递减的，而在 区间]2,12[++m m 上是递增的，

.5)12(-=+∴m g

即

54

1

)12)(21()12(412-=+++-+m m m 解得均应舍去或,212

1

21212121+-=--=m m

③当1≥m 时，]2,[)(,212++≥+m m x g m m 在区间函数上递减的

5)2(-=+∴m g

即

.54

1

)2)(21()2(412-=+++-+m m m 解得221.221221--+---=m m m 其中或应舍去. 综上可得，当2213+-=-=m m 或时，

函数.5]2,[)()(-+-'=上有最小值在区间m m mx x f x g