湖南省衡阳市雁峰区第八中学2020届高三高考模拟检测试题 数学(文)【含解析】

湖南省衡阳市雁峰区第八中学2020届高三高考模拟检测试题 数学

（文）【含解析】

一、选择题：

1.已知集合{|04}P x R x =∈≤≤，{|||3}Q x R x =∈<，则P Q =（ ）

A. [3,4]

B. (3,)-+∞

C. (,4]-∞

D. (3,4]-

【答案】D 【解析】 【分析】

化简集合Q,根据集合的并集运算即可. 【详解】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-， ∴(3,4]P Q ?=-，故选D.

【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.

2.设i 为虚数单位，复数z 满足(13z +=2(3i)，则共轭复数z 的虚部为（ ） 3 B. 3

3 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】

根据条件求出复数z ，然后再求出共轭复数z ，从而可得其虚部． 【详解】∵()

13i z += ()

2

3223i

i =-，

∴z =()()

2

21321313i 131313i i

i

i i =

=-++-，

∴13i z =-+， ∴复数z 3 故选C ．

【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数z 是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了21i =-．

3.已知21

log 32

a =，4log 5

b =，322

c =，则a ，b ，c 满足 A. a

【答案】B 【解析】 【分析】

根据对数的运算性质，化简得2log 3a =，2log 5b =，进而得12b a <<<，又由2>c ，即可得到答案.

【详解】由题意，可得222

1

log 3log 3log 32

a =

==，42log 5log 5b ==，

又由2log y x =为单调递增函数，且4352>>>，所以222log 3log 51>>>， 所以21a b >>>，

又由3

12222c =>= ，所以b a c <<，故选B.

【点睛】本题主要考查了对数函数的

图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4.函数()e 21x

f x x =--的图象大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，排除选项B ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项,A D ，从而可得结果.

【详解】函数()21x

f x e x =--是偶函数，排除选项B ；

当0x >时，函数()21x

f x e x =-- ，可得()'2x

f x e =-，

当()0,ln 2x ∈时，()'0f x <，函数是减涵数，当ln 2x >时，函数是增函数，排除项选项,A D ，故选C.

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象

5.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）

A.

27265

mm π

B.

236310

mm π

C.

23635

mm π

D.

2363mm 20

π

【答案】B 【解析】 【分析】

根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解. 【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率303

10010

p ==， 设军旗的面积为S ，由题意可得：

2

31110S π=?，∴()2

2336311mm 1010

S ππ=??=. 本题选择B 选项.

【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.

6.设函数()sin()cos(),(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?><＝＋＋＋的最小正周期为π，且 ()()f x f x -=，

则 ( ) A. ()f x 在(0,)2

π

上单调递减 B. ()f x 在3(

,

)44ππ

上单调递减

C. ()f x 在(0,)2

π

上单调递增

D. ()f x 在3(,)44

ππ

上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】

先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为()24f x x πωφ?

?=

++ ??

?，然后根据题中条件求出

ω与φ的值，得出函数()y f x =的解析式()2f x x =，然后分别就0,2x π??∈ ???与3,44x ππ??

∈ ???

讨

论，并求出2x 的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。 【详解】由于()sin()cos()2)4

f x x x x π

ωφωφωφ=+++=++，

由于该函数的最小正周期为2π

π=

ω

，得出2ω=， 又根据()()f x f x -=，以及2

π

?<，得出4

π

?=

．

因此，()2)222

f x x x π

=+=，

若(0,)2

x π

∈，则2(0,)x x ∈，从而()f x 在(0,)2π

单调递减，

若3(

,

)4

4x ππ

∈，则32(,)22

x ππ

∈，该区间不为余弦函数的单调区间， 故,,B C D 都错，A 正确．故选：A 。

【点睛】三角函数问题，一般都是化函数为()sin()f x A x k ω?=++形式，然后把x ω?+作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解．掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。

7.等边三角形ABC 的边长为1，BC a =，CA b =，AB c =，那么a b b c c a ?+?+?等于( ) A. 3 B. 3-

C.

32

D. 32

-

【答案】D 【解析】 【

分析】

根据数量积定义分别计算每个数量积的结果，加和得到最终结果. 【详解】21cos cos 332

a b BC CA BC CA πππ??

?=?=-

==- ??

? 21cos cos 332b c CA AB CA AB πππ?

??=?=-==- ??

?

21cos cos 332c a AB BC AB BC πππ?

??=?=-==- ??

?

3

2

a b b c c a ∴?+?+?=-

本题正确选项：D

【点睛】本题考查向量数量积的运算，易错点是错误理解向量夹角的定义，造成夹角求解错误.

8.某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90?的扇形，则该几何体的体积是（ ）

A.

2

π

3π

3π D. 2π

【答案】B 【解析】

由三视图可知：该几何体为圆锥的四分之一，

∴(211

V 233343

ππ=??=，

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

9.设点O 在ABC ?的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ?的面积和AOC ?的面积之比为（ ） A. 3 B.

53

C. 2

D.

32

【答案】A 【解析】 【分析】

根据230OA OB OC ++= ，变形得∴()

20OA OC B OC +=-+ ，利用向量加法的平行四边形法则可得2OD =﹣4 OE ，从而确定点O 的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比． 【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，∵230OA OB OC ++=，

∴()

2OA OC OB OC +=-+，即2OD =﹣4 OE ∴O 是DE 的一个三等分点，

∴ABC AOC

S S

=3，

故选：C ．

【点睛】本题考查的是向量在三角形中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

10.过抛物线()2

20x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()1

2P -，，则直线AB 的方程为（ ） A. 1

22

y x =

+ B. 1

34

y x =

+ C. 1

32

y x =

+ D. 1

24

y x =

+

【解析】 【分析】

设出,A B 的坐标，根据导数的几何意义求得切线,PA PB 的方程，利用两切线垂直且交于P 可得抛物线方程，然后设出直线AB 与抛物线联立可求得直线AB 的方程．

【详解】解：由2

2x py =，得2

2x y p

=，∴'x y p =．

设()()1122,,,A x y B x y ，则1

2

12','x x x x x x

y y p p

===

=，

抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p

=-， 点B 处的切线方程为2

22

2x x y x p p

=-， 由2

11222

22x x y x p p

x x y x p p

?

=-????=-??

，解得1212

22x x x x x y p +?

=??

??=??， 又两切线交于点()1,2P -，∴12

121222x x x x p

+?=??

??=-??，

故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴

12

1x x p p

?=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为2

8x y =．

由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，

由2

8y kx b

x y

=+??

=?消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），

由（*）和（**）可得1

4k =且2b =， ∴直线AB 的方程为1

24

y x =+．

故选：D ．

【点睛】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，用导数求曲线的切线方程，属中档题．

11.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2

63n n n S a a =+，12(21)(21)

n

n n a n a a b +=--，

若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ） A.

17

B.

149

C. 49

D.

8441

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得n a 的通项公式，化简n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，由此求得k 的最小值.

【详解】当1n =时，211163a a a =+，解得13a =.当1n ≥时，由2

63n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+，

两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以1130,3n n n n a a a a ----=-=，故n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =.则()()

112111781812

121

n

n

n a n n n a a b ++??

=

=

- ?----??

，故

12n n

T b b b =+++

223

1111111

17818181818181n n +??????

??=

-+-++- ? ? ???------????????

11117781n +??=-??-??

()

11149781n +=-

-，

由于n T 是单调递增数列，1111498149n +-<-，149

k ≥. 故k 的最小值为

1

49

，故选B. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.

12.已知函数()1ln m f x n x x =--（0m >，0e n ≤≤）在区间[1,e]内有唯一零点，则21

n m ++的取值范围为（ ）

A. 2

2,112e e e e +??+??++??

B. 2

2,11e e e e +??

+??++??

C. 2,11e e ??

+?

?+?? D. 1,

12e ??

+????

【答案】A 【解析】 【分析】

由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0, (e)0,f f ≥??

(1)0, (e)0,f f >??≤?

化简

可得关于.m n

的

约束条件，利用线性规划求解即可.

【详解】22()m n m nx f x x x x '

+=-

-=-，当0n =时，2()0m f x x

'

=-<， 当0e n <≤时，令()0f x '=，则0m

x n

=-<，所以函数()f x 在[1,e]上单调递减，

由函数()f x 在区间[]1,e 内有唯一零点，

得(1)0, (e)0,f f ≥??

10,e

m m n -≥???--

即10,e e 0,m m n -≥??--

或 (1)0, (e)0,f f >??

≤?,即10,

e e 0,

m m n ->??--≤?,又0m >，0n e ≤≤，

所以

10,

e e0,

0,

0e,

m

m n

m

n

-≥

?

?--<

?

?

>

?

?≤≤

?

（1）或

10,

e e0,

0,

0e,

m

m n

m

n

->

?

?--≤

?

?

>

?

?≤≤

?

（2）

所以m，n满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，

则

2(2)

1

(1)

n n

m m

+--

=

+--

表示点（m，n）与点（－1，－2）所在直线的斜率，

综上可得

2

1

n

m

+

+

的最小值在A点处取得，根据

e e0,

e,

m n

n

--=

?

?

=

?

得A点坐标满足

2

e e,

e,

m

n

?=+

?

=

?

，所以最小值

为

2

e2

e e1

+

++

，故选A.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题.

二、填空题：

13.执行下面的程序框图，若

15

16

p=，则输出n的值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】

根据框图，逐次循环即可求出答案.

【详解】循环依次为

11

22

S=+=，2

n=；

2

113

224

S=+=，3

n=；

317

488

S=+=，4

n=；

7115

81616

S =

+=，5n =； 结束循环，输出5n =.

【点睛】本题主要考查了框图，属于中档题.

14.锐角三角形ABC 中，30A ∠=?，1BC =，则ABC △面积的取值范围为______.

【答案】3132+??

【解析】 【分析】

由正弦定理可求出,AB AC ，代入三角形面积公式化简得13

sin 223S c π??=- ???,根据C ,62ππ??∈ ???可求出其范围.

【详解】∵A 30∠=?，BC 1=，可得：

2sin sin AB AC

C B

==∴AB 2sin C =， AC 2sin B ==()13

2sin 150C 2cos cos 322C C C C ???-=+= ? ???

，

∴ABC 1S 2AB AC ?=

?1113

sin 2sin (cos 3sin )sin 222234

A C C C c π???=??+?=-+ ??? ∵C ,62ππ??

∈

???，可得：2C 3π-∈20,

3π?? ???

，∴sin 2C (0,1]3π?

?-∈ ???，

可得：13313sin 2232c π?

?-++ ?????

则ABC △面积的取值范围为3132??

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，正弦型函数的值域，属于中档题.

15.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．

【答案】438,33??

???

?

【解析】

如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥?⊥平面SAB ?平面SAB ⊥平面

ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故14

33

S ABCD ABCD V S SO SO -=?=，在SAB ?中，

2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-又224SC ≤≤112cos [,]2233

ππ

θθ?-

≤≤?∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[]33

.

16.已知P 为双曲线22

22:1x y C a b

-=（0a >，0b >）右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的

两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当1

2

AP PB =时，AOB ?的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为______.

【答案】

329

【解析】 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，(,)P x y ，利用向量的坐标运算可得P 点坐标，代入双曲线方程及A,B 在渐近线上，化简可得2

128

9a x x =

，利用sin sin 2AOB AOx ∠=∠，可求出222sin ab AOB b a

∠=+，代入三角形面积公式化简即可求解.

【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(,)P x y ，由1

2

AP PB =

， 得()()11221,,2x x y y x x y y --=--，则122133x x x =+，1221

33

y y y =+，

所以22

121222

2

12133331

x x y y a b ????++ ? ?????

-=.

易知点A 在直线b

y x a

=

上，点B 在直线b y x a =-上，

则11b y x a =，22b y x a

=-，所以2

121222

2

21233331b b x x x x a a a b ?? ?????+- ???-=， 化简可得2

128

9

a x x =

. 由渐近线的对称性可得：

22222222sin cos 2tan 2sin sin 2sin cos tan 1b

AOx AOx AOx ab a AOB AOx AOx AOx AOx b a b b ∠∠∠∠=∠====∠+∠∠++?? ???

所以

AOB ?的面积为

2222112211||sin sin 22

OA OB AOB x y x y AOB ∠=++∠‖ 2

2

22

112212b b x x x x a a ????=+?+- ? ?????2

2

12222

211ab b b ab x x b a a a b a ?????=++ ? ?++???? 222222299188

ab b ab a a b a a b a ????=??+=???? ?++??????222928b a ab b a +==，得169a =， 所以双曲线C 的实轴长为

32

9

. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，渐近线，向量运算，三角形面积公式，考查了推理及运算能力，属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。

17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13

,21122

n n a S n a n ==++≥． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()

()*

2

1

1n n b n N a =

∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*7

10

n

T

n N <

∈． 【答案】（1）3

,1

2,2

n n a n n ?=?=??≥?；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用项和公式和累加法求{}n a 的通项公式.(2)先求出()

()

2

24

,1251

11,21n n n b a n n ?=??=

=?+?≥+??，再利用放缩

法得当2n ≥时，()

()2

1

111111n b n n n n n =

<

=-+++，再证明710

n T <.

【详解】（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =； 当3n =时，33241S a =+，解得33a =．

当3n ≥时，()211n n S n a =++，1121n n S na --=+， 以上两式相减，得()121n n n a n a na -=+-，

∴

1

1n n a a n n -=-， ∴1112

n n n a a a

n n -====-， ∴3

,12,2

n n a n n ?=?=??≥?

（2）()

()

2

24

,1251

11,21n n n b a n n ?=??=

=?+?≥+?? 当2n ≥时，()

()2

1

111

11

1n b n n n n n =

<

=-+++，

∴411111

13317252334150110n T n n n ????

??=

+-+-++-=-< ? ? ?++????

??

【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查利用放缩法证明不等式，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是放缩当2n ≥时，

()

()2

1

111

11

1n b n n n n n =

<

=-+++.

18.如图，在三棱锥V ABC -中，45ABC ∠=?，2VB =，3VC =

1BC =，22AB =V 在平

面ABC 上的射影D 在线段AB 上．

（Ⅰ）求证：DC BC ⊥；

（Ⅱ）设二面角V AC B --为θ，求θ的余弦值． 【答案】11

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为V 在平面ABC 上的射影D 在线段AB 上，所以VD ABC VD BC ⊥?⊥平面，又根据勾股定理可得BC VC ⊥，因此

BC VCD DC BC ⊥?⊥平面（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角

坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角 试题解析：（Ⅰ）证明：2VB =，3VC =

1BC BC VC =?⊥，

VD ABC VD BC ⊥?⊥平面，

VD VC V ?=，BC VCD DC BC ∴⊥?⊥平面．

（Ⅱ）解：（法一）作DE AC ⊥垂足为E ，连接VE ， 则VED ∠为二面角V AC B --的平面角．

在BCD ?中，45DBC ∠=?，DC BC ⊥，1BC =，

1CD =∴，2BD =，45BDC ∠=?，

在ADC ?中，135ADC ∠=?，2AD AB BD =-=

，

222?cos1355AC AD DC AD DC ∴+-?=，

5

5

DE ∴=

，又VD ABC ⊥平面，VD CD ∴⊥，又3VC =2VD ∴=， 5511

cos 11

VE VED ∴=

?∠=

．

（法二）在BCD ?中，45DBC ∠=?，DC BC ⊥，1BC =，

1CD =∴，2BD =，45BDC ∠=?

，

在ADC ?中，135ADC ∠=?，2AD AB BD =-=，

又VD ABC ⊥平面，VD CD ∴⊥，又3VC =，2VD ∴=，

如图建立直角坐标系，

()1,0,0D ，()0,1,0B ，()2,1,0A -，()

1,0,2V ，

平面ABC 的法向量为()10,0,1e =， 平面VAC 的法向量为()

22,22,1e =--，

1212·11

cos 11

e e e e θ=

=．

考点：线面垂直性质定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．

19.2018 年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出200人，把这200人分为,A B 两类（A 类表示对这些年度人物比较了解，B 类表示对这些年度人物不太了解），并制成如下表格： 年龄段

15岁～25岁 25岁～35岁 35岁～45岁 45岁～60岁

人数

40 80 60 20

A 类所占比例

67.5%

85%

95% 90%

（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人进行访谈，并从这10人中随机选出两名幸运者给予奖励.求其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的概率；(注：从10人中随机选出2人,共有45种不同选法)

（2）如果把年龄在15 岁～35岁之间的人称为青少年，年龄在35岁～60岁之间的人称为中老年，则能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？ 参考数据：

20()P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++

【答案】(1)415

P =

. (2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异. 【解析】

试题分析：（1）由题意得，从这10人中随机选取2人，结果有45种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的结果有12种，进而得到

1244515P ==；（2）根据公式得到2K 的观测值()2

20095575258.007 6.6351703013080

k ??-?=≈>???，进而做出

判断. 详解：

（1）按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人，则年龄在15岁～25岁之间的有2人，年龄在25岁～35岁之间的有4人，记作,,,a b c d ，年龄在35岁～45岁之间的有3人，记作,,e f g ，年龄45岁～60岁在之间的有1人.

由题意得，从这10人中随机选取2人，结果有45种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在25岁～35

岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的结果有：

()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a e a f a g b e b f b g c e c f c g d e d f d g ，共12种.

故所求的概率为1244515

P =

= （2）青少年中A 类的人数为4067.5%8085%95?+?=，则B 类的人数为1209525-= 中老年中A 类的人数为6095%2090%75?+?=，则B 类的人数为80755-= 列出列联表如下： A 类

B 类

合计

青少年 95 25 120 中老年 75

5

80

合计 170 30 200

计算得2K 的观测值()2

20095575258.007 6.6351703013080

k ??-?=

≈>???

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异. 点睛：这个题目考查了分层抽样的

概念，古典概型的公式，以及2K 的应用；对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

20.如图，设抛物线()2

1:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆()22222:10x y

C a b a b

+=>>的右焦点

21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为1

2

e =

，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.

（1）当

3

2a b

+

取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F ?的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ ?面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．

【答案】（1）22143x y +=（2）MPQ ?的面积最大值为125561256

22416??=

．此时42:6633

MP y x =+ 【解析】

试题分析：（1）由椭圆的性质可得2,3a m b m ==

，故可得1m =，故而可求得1C 和2C 的方程；

（2）因为1,2c c m e a ===，则2,3a m b m ==，设椭圆的标准方程为22

22

143x y m m +=，联立抛物线与椭圆的方程可得2

2

316120x mx m --=，得02

3x m =-代入抛物线方程得2263m m P ?- ??

，可得3m =，可得直线与抛物线的方程，联立得25

2

PQ =，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值. 试题解析：（1）因为1,2c c m e a ==

=，则2,3a m b m ==，所以32a +取最小值时1m =， 此时抛物线2

1:4C y x =-，此时2

2,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22

143

x y +=；

（2）因为1,2c c m e a ===，则2,3a m b m ==，设椭圆的标准方程为22

22

143x y m m

+=， ()()0011,,,P x y Q x y 由22

2221{434x y m m y mx +==-得22316120x mx m --=，所以02

3

x m =-或06x m =（舍去），

代入抛物线方程得026y =，即2263m m P ?- ??

， 于是12112576,2,2333

m m m

PF PF a PF F F m =

=-===，又12PF F ?的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =．此时抛物线方程为2

12y x =-，()(13,0,2,26F P --，则直线PQ 的方程为

)263y x =+．联立)2263{

12y x y x

=+=-，得192x =-

或12x =-（舍去），于是9,362Q ?-- ?．所以()

2

2

925

22636

22

PQ ?

?=-+++=

??

?， 设(()

2,36,2612t M t t ??-∈- ???

到直线PQ 的距离为d ，则2

66752d t ?=- ??，当6t =时，max 675562d =

=MPQ ?的面积最大值为125561256

22?=

42

:6633

MP y x =

21.已知函数()(sin 2)2

x

f x e ax x π

=+--()a R ∈.

（1）当1a =时，

①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 在区间[,]-ππ上的值域. （2）对于任意120x x π<<<，都有

21

21()()22

x x f x f x a e e π

->---，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）①222y x ππ

=---②(4)(34)[,]22

x x

e e ππ--+；

（2）1a π≥. 【解析】 试题分析：

(1)由题意可得函数的解析式()sin 22x f x e x x π??=+--

???

， ①利用导数研究切线方程可得曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为22

2

y x π

π

=-

-

-.

②利用导函数研究函数的单调性可得()f x 在区间[],ππ-上的值域为()()434,22x x e e ππ-??

-+????

. (2)原问题等价于()()2

1212222x x f x a e f x a e ππ?

?

??---

>--- ? ??

??

?.构造函数()()sin x G x e ax x a =+-，分类讨论可得实数a 的取值范围是1

a π

≥

.

试题解析：