初中数学教师业务考试模拟试题(附答案)

2012年初中数学教师业务考试模拟试题

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题5分，共40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）

1. 使分式2

x

x x

x ++的值为零的x 的一个值可以是 （A ）－3 （B ）－1 （C ）0 （D ）1

2. 如右图是初三（2）班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频率分

布直方图

（次数均为整数）.已知该班只有5位同学的心跳每分钟75次，请观察右图，

指出下列说法中错误．．

的是（） （A ） 数据75落在第2小组

（B ） 数据75一定是中位数

（C ） 心跳为每分钟75次的人数占该班体检人数的112

（D ） 第4小组的频率为0.1.

3. 如右图三个半圆的半径均为R ，它们的圆心A 、B 、C 在一条直线上,且每

一个半圆的圆心都在另一个半圆的圆周上,⊙D 与这三个半圆均相切，设⊙D 的半径为r ，则R ：r 的值为

（A ）15：4 （B ）11：3 （C ）4：1 （D ）3：1

4. 22x y ≠是x y ≠的

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分条件又非必要条件

5. 某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排住底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，

有的房间住不满.又若全部安排住二层，每间住3人，房间不够；每间住4人，有的房间没有住满.则这家旅馆的底层共有房间数为

（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12

6. 已知线段AB=10，点P 在线段AB 上运动（不包括A 、B 两个端点），在线段AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作正?

APC 和正?BPD ，则CD 的长度的最小值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D

）51）

7. 已知a 、b 是不全为零的实数，则关于x 的方程222

()0x a b x a b ++++=的根的情况为 （A ）有两个负根（B ）有两个正根（C ）有两个异号的实根（D ）无实根

8. 已知点C 在一次函数2+-=x y 的图象上，若点C 与点A （－1，0）、B （1，0）构成Rt ΔABC ，则这样的点C

的个数为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，将答案直接填在第三页的答题卷上）

9. 多项式8242

2++-+y x y x 的最小值为* .

10. 方程2

23

3937

x x x x +-=+-的全体实数根之积为*.

11. 如右图，已知点P 为正方形ABCD 内一点，且PA=PB=5cm ，点P 到边CD

的距离也为5cm ，

则正方形ABCD 的面积为* cm 2.

次数

人数第2题图

P

D

C

B

A

12. 如右图，已知半圆O 的直径AB=6，点C 、D 是半圆的两个三等份点，则弦BC 、BD 和弧 CD

围成的图形的面积为* .(结果可含有π)

13. 若0=++c b a ，且c b a >>，则a

c

的取值范围为* .

22012年初中数学教师业务考试模拟试题答卷

9． 10. 11. 12. 13.

三、解答题（共7小题，满分85分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

14. （本题满分10分）设实数a 、b 满足0682

=+-a a 及2

6810b b -+=，求1

ab ab

+

的值. 15. （本题满分10分）某制糖厂2003年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从2003年起，约几

年内可使总产量达到30万吨？（结果保留到个位，可使用计算器，没带计算器的老师可参考如下数据：46.11.14

≈，61.11.15≈，772.11.16≈）

（本题满分12分）已知O 为ΔABC 的外心，I 为ΔABC 的内心，若∠A+∠BIC+∠BOC=3980，求∠A 、∠BIC 和∠BOC 的大小.

16. （本题满分12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33

万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且2y ax bx =+，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元 （1） 求二次函数y 的解析式.

（2） 投产后，这个企业在第几年就能收回投资并开始赢利. 17. （本题满分13分）已知⊙O 1和⊙O 2外切于A （如图

1），BC 是它们的一条外公切线，B 、C 分别为切点，连接AB 、

AC ，

（1） 求证：AB ⊥AC

（2） 将两圆外公切线BC 变为⊙O 1

的切线，且为⊙O 2的割线BCD （如图2），其它条件不变，猜想∠BAC+∠BAD

的大小，并加以证明.

（3） 将两圆外切变为两圆相交于A 、D （如图3），其它条件不变，猜想：∠BAC+∠BDC 的大小？并加以证明.

18. （本题满分14分）如图，已知⊙O 的半径为1，AB 、CD 都是它的直径，∠AOD=600，点P 在劣弧 DB

上运动变化， （1） 问∠APC 的大小随点P 的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围.

（2） 线段PA+PC 的长度大小随点P 的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围.

19. （本题满分14分）已知两个二次函数2

y x bx a =++和2y x ax b =++(0)a b ≥>图象分别与x 轴都有两个交点，

且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等,求实数a ，b 的值.

2012年初中数学教师业务考试模拟试题参考答案

二、选择题

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．3 10. 60 11. 64 12. 32π 13.2

1

2-<<-a c

三、解答题

14. 解: 由于2

6810b b -+=，则0b ≠，则211()860b b

-?+=（1分）

当1a b ≠时,，则a ,1b 为方程0682

=+-x x 的两个根（3分），不妨设1x a =，21x b

=,

则128x x +=,126x x =,（5分），所以21212122112()2164122663

x x x x x x ab ab x x x x +--+=+===

（7分） 当1a b =时，即1=ab ,因此1

ab ab

+=2.（10分） 综上：当1a b ≠时，1ab

ab + =326；当1a b =时，1

ab ab

+=2（10分）

注：没有综述但其它均正确者不扣分.另直接求出a,b 的值再计算也可以

15. 解：设n a 表示制糖厂第n 年的制糖量(1分)，则51=a ，1.152?=a ，2

31.15?=a ， (1)

1

.15-?=n n a (5分)，显然{}

n a

是公比为1.1的等比数列(7分)，设n 年内的总产量达到30万吨，则

301

.11)

1.11(5=--n (9分),则6.11.1=n ,所以5=n (11分),答:经过5年可使总产量达到30万吨.(12分)

16. 解: 当∠A 0

90≤时，显然∠BOC=2∠A,(1分) ∠BIC=1800－∠IBC －∠ICB=1800－

21(∠ABC+∠ACB)= 1800－21(1800－∠A)=900+2

1

∠A (2分) 由于∠A+∠BIC+∠BOC=3980,则∠A+900+21

∠A+2∠A=3980 (3分) 解之得∠A=880 (4分)

∴∠BOC=2∠A=1760(5分) ∠BIC=900+2

1

∠A=1340 (6分)

当∠A 为钝角时，∠BOC=2（1800－∠A ）=3600－2∠A(7分)，∠BIC=900+2

1

∠A （8分），则

∠A+900+21∠A+3600

－2∠A=3980，解得∠A=1040（9分），∠BOC=3600－2∠A=1520（10分），

∠BIC=900+2

1

∠A=1420（11分）

故∠A=880,∠BOC=1760, ∠BIC=1340或∠A=1040，∠BOC=1520, ∠BIC=1420（12分）

注：只有一个正确结果者扣6分. 17.解: (1) 依题意得??

?+=+=+24242b a b a ,(2分)解之得???==1

1

b a (4分)即函数解析式为2y x x =+(6分).

(2)当10033≥-y x 时方能收回投资并开始赢利(8分),即2

321000x x -+≤(8分),显然3=x 不是不等式的解,而4=x 是不等式的解(11分),因此投产后，这个企业在第4年就能收回投资并开始赢利.(12分)

18．(1) 证明：过A 作两圆的内公切线,交BC 于D,则由切线的性质知DB=DA=DC ，则三角形ABC 为直角三角形.即AB ⊥AC （3分）

（2）猜想：∠BAC+∠BAD=1800（4分）证明：过点A 作两圆的内公切线,交BC 于E ，由切线的性质得， ∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC （7分），因此 ∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=1800（8分） （3）猜想：∠BAC+∠BDC=1800（9分），连结AD ，由于BC 是它们的一条外公切线，由切线的性质得， 则∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB （12分），所以∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DC B+∠BDC =1800（13分）.

19．解：（1）∠APC=

12∠AOC=1

2

（180060-0）=600，它不会随着点P 的变化而变化.（3分） （2）解法1：设AP 与CD 交于M ，PC 与AB 交于N ，连结BC ，易证ΔAMO ≌ΔCNB ，∴AM=CN ，MO=NB ，(5分)又∠AOD=∠APN ，∠MAO=∠NAP=600，∴ΔAMO ∽ΔANP ，∴

AP

AO

AN AM =，即AN AO AP AM ?=?①(7分)同理CM

CO CP CN ?=?，亦即

CM

AO CP AM ?=?②

(9

分

)

，

①

+

②

得

，

311(1)()(=+++=+++?=+?=+?NB ON OM CO ON AO CM AN AO PC PA AM ，

∴AM PC PA 3=

+(11分)，而

≤2

3

AM 1≤(12分)，因此3≤

PA+PC ≤故PA+PC 的

值会随着点P 的变化而变化，其变化范围为3≤

PA+PC ≤分)

解法2：由于三角形AOC 为等腰三角形，且∠AOC=1200

，AO=OC=1，因此

（5分），

在ΔAPC 中，由余弦定理得：2

2

2

2cos60AC AP PC APPC =+-，即

223AP PC AP PC +-= ，因此2()33AP PC AP PC +=+ （8分），要确定AP+PC 有无变化或其变化范围，只需研究

AP PC 的值有无变化或其变化范围，而01

sin 602

APC S AP PC ?=

，故只需ΔAPC 的面积有无变化或其变化范围.由于底边AC 为定值，点P 在 DB

上运动，则点P 到AC 的距离是变化的，因此ΔAPC 的面积是变化的，从而AP PC 的值也是变化的，且随点P 到AC 的距离的增大而增大（10分），由于点P 到AC 的距离的最大值为

32

，此时点P 为 DB

的中点，三角形

APC 为正三角形，PA+PC 的值为11分）.点P 到AC 的距离的最小值为1，此时点P 与点D 或点B 重合，PA+PC 的值

为3（12分），因此，PA+PC 值的变化范围为3≤PA+PC ≤13分） 注: 1、本题能得出结果但不能证明者扣分.

2、本题还可以用O 、M 、P 、N 四点共圆、高中解析几何方法等方法证明

20．解：设函数2y x ax b =++与x 轴的两个交点坐标分别为A )0,(1x ，B )0,(2x 且21x x <（1分），函数2

y x bx a =++与x 轴的两个交点坐标分别为C )0,(3x ，D )0,(4x ,且43x x <（2分），则,021≤-=+a x x ,021<=b x x 则01x （4分），同理,043>-=+b x x ,043≥=a x x 则03≥x ，04>x （6分），则A 、B 、C 、D 在x 轴上的左右顺序为A ，B ，C ，D 或A ，C ，B ，D 或A ，C ，D ，B （7分）

若按A ，C ，D ，B 的顺序排列，则AC=CD=DB ，则有2413x x x x -=-，即4321x x x x +=+，即b a -=-，与假设(0)a b ≥>矛盾，此不可能.（9分）

若按A 、B 、C 、D 的顺序排列，则233412x x x x x x -=-=-，由于2422

,1b a a x -±-=

，2

424,3a

b b x -±-=，则a b b a 4422-=-∴0)4)((=++-b a b a ，而b a >，

∴ 04=++b a ，又4232x x x +=，则2

424242222a

b b b a a a b b -+-+

-+-=---?， 化简得：b a a b b a 44322-+-=+，即444322-=-+-b a a b ，此不可能（11分）

若按A 、C 、B 、D 的顺序排列，则243213x x x x x x -=-=-，则有3412x x x x -=-，且2213x x x +=，因此

a b b a 442

2

-=-,∴0)4)((=++-b a b a ，

而b a >，∴04=++b a ，又1232x x x +=，则a a b b -=---?2

422，解之得0=a 或4-=a （13分）,而0≥a ，∴0=a ,4-=b ,经经验,0=a ,4-=b 满足题设要求.故0=a ,4-=b 为所求（14分）.