不等式的基本性质__习题精选(一)
不等式的基本性质
1、不等式的基本性质1:如果a>b,那么a+c____b+c,a-c____b-c. 不等式的基本性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac_____bc.
不等式的基本性质3:如果a>b,并且c<0,那么ac_____bc.
2、设a”填空.
(1)a-1____b-1;(2)a+1_____b+1;(3)2a____2b;
(4)-2a_____-2b;(5)-a
2_____-
b
2;(6)
a
2____
b
2.
3、根据不等式的基本性质,用“<”或“>”填空.
(1)若a-1>b-1,则a____b;(2)若a+3>b+3,则a____b;(3)若2a>2b,则a____b;(4)若-2a>-2b,则a___b.
4、若a>b,m<0,n>0,用“>”或“<”填空.
(1)a+m____b+m;(2)a+n___b+n;(3)m-a___m-b;
(4)an____bn;(5)a
m____
b
m;(6)
a
n_____
b
n;
5、下列说法不正确的是
A.若a>b,则ac2>bc2(c≠0)
B.若a>b,则b<a
C.若a>b,则-a>-bD.若a>b,b>c,则a>c
6、根据不等式的基本性质,把下列不等式化为x>a或x>a的形式:
(1)x-3>1;(2)-2
3x>-1;(3)3x<1+2x;(4)2x>4.
7、已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是
A.bc>abB.ac>abC.bc<abD.c+b>a+b
1、已知关于x的不等式(1-a)x>2变形为x<
2
1-a,则1-a是____数.
2、已知△ABC中三边为a、b、c,且a>b,那么其周长p应满足的不等关系是A.3b
3、若m>n,且am A.a>0 B.a<0 C.a=0 D.a≥0 4、下列不等式的变形正确的是 A.由4x-1>2,得4x>1B.由5x>3,得x> 3 5 C.由x 2>0,得x>2D.由-2x<4,得x<-2 5、若a>b,且m为有理数,则am2____bm2. 6、同桌甲和乙正在对7a>6a进行争论,甲说:“7a>6a正确”,乙说:“这不可能正确”,你认为谁的观点对?为什么? 7、若方程组 2x+y=k+1 x+2y=-1 ? ? ?的解为x,y,且3 8、如图所示,一个已倾斜的天平两边放有重物,其质量分别为a和b,如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝 码c,看一看,盘子仍然像原来那样倾斜吗? 9、小明用的练习本可以到甲商店购买,也可到乙商店购买,已知两商店的标价都是每本1元,但甲商店的优惠条件是:购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖,乙商店的优惠条件是:从第1本开始就按标价的85%卖. (1)小明要买20本时,到哪个商店购买较省钱? (2)写出甲商店中收款y(元)与购买本数x(本)(x>10)之间的关系式. (3)小明现有24元钱,最多可买多少本? 1、命题:a,b是有理数,若a>b,则a2>b2. (1)若结论保持不变,那么怎样改变条件,命题才能正确? (2)若条件保持不变,那么怎样改变结论,命题才能正确? 2、甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题,甲说:每个苹果的大小一样时,5个苹果的重量大于4个苹果的重量, 设每个苹果的重量为x则有5x>4x.乙说:这肯定是正确的.甲接着说:设a为一个实数,那么5a一定大于4a,这对吗?乙说:这与5x>4x不是一回事吗?当然也是正确的.请问:乙同学的回答正确吗?试说明理由. 3、根据不等式的基本性质,把下列不等变为x>a或x (1)1 x 2>-3;(2)-2x<6. 4、比较a+b与a-b的大小. 5、如果m<n<0,那么下列结论中错误的是 A.m-9 > n mD. m n>1 6、若a-b<0,则下列各题中一定成立的是 A .a>b B .ab>0 C .a b >0D .-a>-b 7、设a ,b ,c,d ∈R,且a >b,c >d ,则下列结论中正确的是 A.a +c >b +d B.a -c >b-d C .ac >bd D. c b d a > 8、若a 、b 为实数,则a>b>0是a 2>b2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、若,011< a 则下列结论正确..的是 A.22 b a 10、“a>b ”是“ac 2>bc 2”成立的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条 C.充要条件D.以上均错 1、若b a , 为任意实数且b a >,则 A、22b a > B 、 1>b a C、0)lg(>-b a D、b a )21()21(< 2、“1>a ”是“11 ”的 A.充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D.既不充分也不必要条件 3、设10<< A.12< 121< 4、 1>a b 是0)(<-b a a 成立的 A .充分不必要条件B .充要条件 C.必要不充分条件D .既不充分不必要条件 5、若0,0,0><>+ay a y x ,则y x -的值 A 、小于0 B 、大于0 C 、等于0 D 、正负不确定 6、若a >b ,在①b a 11<;②a 3> b 3;③)1lg()1lg(22+>+b a ;④b a 22>中,正确的有 A.1个B.2个C.3个D .4个 7、已知a 、b 、c 满足,且,那么下列选项中不一定成立的是 A.B.C .D .0)(<-c a ac 8、若011< a ,则下列不等式①a b b a <+;②|;|||b a >③b a <;④02<-ab a 中,正确的不等式有 A .1个B.2个C.3个D .4个 9、设01,0<<- 10、设R x x x B x A ∈+=+=,2,21234且1≠x ,则B A ,的大小关系为 11、如果01<<<-b a ,则22,,1,1a b a b 的大小关系为 12、b a >是b b a a 11->-成立的条件 13、若53,42≤<<≤b a ,则b a -3的取值范围为, b b a +2的取值范围为 14、若a b a a 23 1,63<<<≤,则b a +的取值范围为 15、证明:若0>>b a >0>m ,则m a m b a b m a m b ++<<-- 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即 x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 环球雅思教育学科教师讲义 年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。?参考答案: (1)a>0 (2)y-2≥0 (3)a+6>7 (4)≥3(5)8+3x≤1 ,+ 4,-4,4.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于5则不等式成立;若不小于5则不等式不成立。 参考答案:当x=-1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立。 说明:因为当x=1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立,当x=2,+4,4.5时,不等式2x+1<5不成立,所以同方程类似,我们可以说-1,0,-2.5-4是不等式2x+1<5的解,而2,+4,4.5不是不等式2x+1<5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (1)由2a>5,得a>(2)由a-7>,得a>7 (3)由- a>0,得a<0 (4)由3a>2a-1,得a>-1。 例5.设a>b;用">"或"<"号填空: (1) (2)a-5 b-5 (3)- a- b (4)6a6b (5)-(6)- a -b 参考答案:(1)>(2)> (3)< (4)> (5)<(6)< 例5.试比较下列两个代数式值的大小: (1)5a+2与4a+2 (2)x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示:我们知道,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b,所以要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案:(1)(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a ∵a可取正数,负数或零,∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时,5a+2>4a+2 ②当a=0时,5a+2=4a+2?③当a<0时,5a+ 2<4a+2。?(2)(x3+3x2-7)-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x) ∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 (一)教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质; 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. (二)能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质,培养学生的求异思维,提高大家的辨别能力. (三)情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索,培养大家的钻研精神,同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张:(记作§1.2 A) 第二张:(记作§1.2 B) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗? [生]记得. 等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式. 基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. [师]不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 [师]等式的性质我们已经掌握了,那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法. [生]∵3<5 ∴3+2<5+2 3-2<5-2 3+a<5+a 3-a<5-a 所以,在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. [师]很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. [生]∵3<5 ∴3×2<5×2 3× 21<5×2 1. 所以,在不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变. [生]不对. 如3<5 3×(-2)>5×(-2) 所以上面的总结是错的. [师]看来大家有不同意见,请互相讨论后举例说明. [生]如3<4 3×3<4×3 3× 31<4×3 1 3×(-3)>4×(-3) 3×(-31)>4×(-3 1 ) 3×(-5)>4×(-5) 由此看来,在不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变. [师]非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导. [生]当不等式的两边同时除以一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同时除以一个负数时,不等号的方向改变. [师]因此,大家可以总结得出性质2和性质3,并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l >16 2 l 的正确性 [师]在上节课中,我们知道周长为l 的圆和正方形,它们的面积分别为π 42 l 和 162l ,且有π42l >16 2 l 存在,你能用不等式的基本性质来解释吗? [生]∵4π<16 ∴ π41>16 1 根据不等式的基本性质2,两边都乘以l 2 得 π42l >16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式: (1)x -5>-1; (2)-2x >3; (3)3x <-9. [生](1)根据不等式的基本性质1,两边都加上5,得 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6 5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 第3章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 知识提要 1.不等式的基本性质1:若ab+5 B .3a>3b C .-5a>-5b D .> 2. 如果1-x是负数,那么x的取值范围是( ) A .x >0 B .x <0 C .x >1 D .x <1 3.已知a 1;①a +b <ab ;①1a <1b .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 若-a>a ,则a 必是( ) A . 正整数 B . 负整数 C . 正数 D . 负数 5.(乐山中考)下列说法中,不一定成立的是( ) A. 若a >b ,则a +c >b +c B. 若a +c >b +c ,则a >b C. 若a >b ,则ac 2>bc 2 D. 若ac 2>bc 2,则a >b 6.若a <4,则关于x 的不等式(a -4)x >4-a 的解是( ) A. x >-1 B. x <-1 C. x >1 D. x <1 二、填空题 1. 由x <y 得到ax >ay ,则a 的取值范围是_________ 2. 若a <b <0,把1,1-a ,1-b 这三个数按由小到大的顺序用“<”连接起来:______ 3.满足不等式12 x <1的非负整数是 . 4.填空 ①如果a -b<0,那么a____________b ; ①如果a -b =0,那么a____________b ; ①如果a -b>0,那么a___________b ; 三、解答题 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数, 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2.不等式的性质: ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时,a>bac>bc c<0时,a>bac<bc。 运算性质有: (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 环球雅思教育学科教师讲义年级:上课次数: 学员姓名:辅导科目:学科教师: 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意:常见的不等号有五种:“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”. 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x+y=y+x②4+x>5③-3<0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式:(1)a是正数;(2)y与2的差是非负数;(3)a与6的和大于7;(4)y的一半不小于3;(5)8与x的3倍的和不大于1。 提示:注意一个数的"和","差","倍","分"的表示法以及"大于","不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示,另外。正数都大于0,负数都小于0,所以"是正数"可表示为">0","是负数"可表示为"<0","非负数"可表示为"≥0"。 参考答案:鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
七年级下册不等式及其基本性质讲义
1.2 不等式的基本性质-
不等式的性质教案1
3.2不等式的基本性质(原卷版)
不等式的基本性质知识点
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
七年级下册不等式及其基本性质讲义