人教版2019年春八年级数学下册精品教案全集

16．1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

1．能用二次根式表示实际问题中的数

量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；

(难点)

2．能根据算术平方根的意义了解二次

根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．

问题2：上面得到的式子

3，S ，65，h

5

分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中，哪些是二次根式，

哪些不是二次根式？

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3

13；(5)

15－1

6

；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)

（a －1）2；

(9)－x 2－5；

(10)（a －b ）2(ab ≥0)．

解析：要判断一个根式是不是二次根式，

一是看根指数是不是2，二是看被开方数是

不是非负数．

解：因为11，（－7）2，15－1

6＝

1

30

，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.3

13的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．

方法总结：判断一个式子是不是二次根

式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“

”；(2)被开方数是非负数．

探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围

求使下列式子有意义的x 的取值

范围．

(1)

1

4－3x

；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .

解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．

解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜4

3.

当x ＜43时，14－3x

有意义；

(2)由题意得?

????3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且

x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x

x －2

有意义；

(3)由题意得?

????x ＋5≥0，

x ≠0，解得x ≥－5且

x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，

x ＋5

x

有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中

的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式

子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【类型二】

利用二次根式的非负性求解

(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．

解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对

值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非

负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进

而可求出y x 的平方根．

解：(1)根据题意得???2a ＋8＝0，

b －3＝0，

解得

??

?a ＝－4，

b ＝ 3.

则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；

(2)根据题意得?

???

?x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则

y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平

方根为±8.

方法总结：二次根式和绝对值都具有非

负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.

探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题

先观察下列等式，再回答下列问

题．

①

1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②

1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③

1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出

1＋142＋1

5

2的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试

写出用

含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．

解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n

＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分

数部分的分子也是1，分母是前项分数的分

母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个

规律的式子．

解：(1)1＋1

42＋1

52＝1＋

1

4－

1

4＋1

＝1

1

20；

(2)1＋1

n2＋

1

（n＋1）2

＝1＋

1

n－

1

n＋1

＝11

n（n＋1）

(n为正整数)．

方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．

三、板书设计

1．二次根式的定义

一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数；a有意义?a ≥0.

通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．

第2课时 二次根式的性质

1．经历二次根式的性质的发现过程，

体验归纳、猜想的思想方法；(重点)

2．了解并掌握二次根式的性质，会运

用其进行有关计算．(重点，难点)

一、情境导入 a 2等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，

－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．

22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…

你能概括一下a 2的值吗？

二、合作探究

探究点一：二次根式的性质

【类型一】行计算 化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.

解析：根据二次根式的性质进行计算即可．

解：(1)(

5)2＝5；(2)

52＝5；

(3)（－5）2＝5；(4)(

－5)2＝5.

方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化

简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二

次根式的被开方数要为非负数．

【类型二】 在实数范围内分解因式．

(1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4.

解析：由于任意一个非负数都可以写成

一个数的平方的形式，利用这个即可将以上

几个式子在实数范围内分解因式．

解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)；

(2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a －5)； (3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(

x －2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内

无法分解因式，可是在实数范围内就可以继

续分解因式．这就需要把一个非负数表示成

平方的形式．

探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】

结合数轴利用二次根式的

性质求值或化简

已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：（a ＋1）2＋2（b －1）2－|a －b |.

解析：根据数轴确定a 和b 的取值范围，进而确定a ＋1、b －1和a －b 的取值范围，

再根据二次根式的性质和绝对值的意义化

简求解．

解：从数轴上a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.

方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．

【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合

已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.

解析：根据三角形的三边关系得出b＋c ＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．

解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b ＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋

c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b

＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋

a－c＝3a

＋b－c.

方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．

【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简

已知x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.

解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．

解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋

x2＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－

1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.

方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，

先确定出被开方数的正负，对于式子a2＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．

【类型四】二次根式的规律探究性问题

细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．

(1)2＋1＝2，S1＝

1

2，

(2)2＋1＝3，S2

＝

2

2，

(3)2＋1＝4，S3＝

3

2.

(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA10的长；

(3)求出S21＋S22＋S23＋…＋S210的值．

解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是n，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．

解：(1)(n)2＋1＝n＋1，S n＝

n

2(n是正整数)；

(2)∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…∴OA10＝10；

(3)S21＋S22＋S23＋…＋S210＝????

1

2

2

＋????

2

2

2

＋????322＋…＋????1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554

. 方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想． 探究点三：代数式的定义及简单应用

按照下列程序计算，表格内应输

出的代数式是____________．

n →立方→＋n →÷n →－n

→答案

解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，

根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋n

n

－n .

方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．

三、板书设计

1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)； 2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义

用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．

新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．

16．2 二次根式的

乘除

第1课时 二次根式的乘法

1．掌握二次根式乘法法则和积的算术

平方根的性质；(重点)

2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)

一、情境导入 计算：

(1)4×25与4×25； (2)16×9与16×9. 思考：

对于2×3与2×3呢？

从计算的结果我们发现2×3＝2

×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究

探究点一：二次根式的乘法

【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件

式子x ＋1·2－x ＝

（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1

C ．－1≤x ≤2

D ．－1＜x ＜2

解析：根据题意得?????x ＋1≥0，

2－x ≥0，

解得－

1≤x ≤2.故选C.

方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (

a ≥0，

b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．

【类型二】 二次根式的乘法运算

计算：

(1)3×5；(2)

1

4×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·???

?

－2a

6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．

解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)

1

4

×64＝1

4

×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；

(4)

3418ab ·???

?

－

2

a

6b 2a ＝－34·2a

·18ab ·6b 2a ＝－3

2a

·36×3b 3＝－

32a ·6b 3b ＝－9b

a

3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．

探究点二：积的算术平方根的性质

化简： (1)（－36）×16×（－9）； (2)362＋482； (3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2.

解析：主要运用公式ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)和a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简． 解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；

(2)362＋482

＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；

(3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2＝x （x ＋3y ）2＝（x ＋3y ）2·x ＝|x ＋3y |x .

方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．

探究点三：二次根式乘法的综合应用 小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．

解析：根据矩形的面积公式、圆的面积

公式，构造等式进行计算．

解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm 2)，所以πr 2＝168π，r ＝242cm(r ＝－242舍去)．

答：这个圆的半径是242cm.

方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．

三、板书设计

1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)

在教学安排上，体现由具体到抽象的认

识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二

次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．

第2课时 二次根式的除法

1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)

2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；

36

49

＝________． (2)9

16

＝________；9

16＝________． 3649________3649

；

916

________

916

. 二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

【类型一】 二次根式的除法运算

计算： (1)

0.76

0.19

；(2)－123

÷554； (3)6a 2b 2ab

；(4)5÷

???

?－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．

解：(1)0.76

0.19＝0.76

0.19＝4＝2； (2)－

123

÷5

54

＝－123÷5

54

＝－53×54

5＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab ＝

6a 2b

2ab

＝3a ； (4)5÷?

??

?

－5

145＝－5÷

59

5

＝－5×15×

59＝－15×53＝－13

. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等

于乘这个数的倒数”进行约分化简．

【类型二】 二次根式的乘除混合运算

计算： (1)945÷3212×32223； (2)a 2

·ab ·b

b a

÷9b 2

a

. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．

解：(1)原式＝9×13×3

2×

45×25×8

3

＝

183；

(2)原式＝a 2

·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b

3

a .

方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质

【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

若

a 2－a ＝a 2－a

，则a 的取值范围是( )

A ．a ＜2

B ．a ≤2

C ．0≤a ＜2

D ．a ≥0

解析：根据题意得?????a ≥0，

2－a ＞0，

解得0≤a

＜2.故选C.

方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b

a (a ＞0，

b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型二】

利用商的算术平方根的性质化简二次根式

化简：

(1)179

； (2)3c 3

4a 4b 2

(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．

解析：运用商的算术平方根的性质，用

分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

解：(1)17

9

＝169＝169＝43

； (2)

3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c

2a 2

b

3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式． 探究点三：最简二次根式

在下列各式中，哪些是最简二次

根式？哪些不是？并说明理由．

(1)45；(2)13；(3)5

2

；(4)0.5；(5)

145

. 解析：根据满足最简二次根式的两个条

件判断即可．

解：(1)45＝35，被开方数含有开得

尽方的因数，因此不是最简二次根式；

(2)

13＝3

3

，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；

(3)

5

2

，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；

(4)0.5＝

12＝22

，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；

(5)

14

5

＝95＝355

，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．

方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，

最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

探究点四：二次根式除法的综合运用

座钟的摆针摆动一个来回所需的

时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π

l

g

，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台

座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?

解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．