常见的勾股数组公式
常见的公法股数公式20161003整理
＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略
1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的
勾股数组；（估计是包含了）
2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的；
4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）
＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。
m a=m 2-1
b=2m c=m 2+1
23453861041581752410266351237748145086316659801882109920101111202212212143241451316826170141952819715224302261625532257172883429018323363251936038362203994040121440424422248344485235284653024575485772562450626266755267727728547302878356785298405884230
89960
901
勾股数组公式2
1）这组勾股数的b 是连续偶数；
2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的；
4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组；
＜三＞、当第一组中的
n=m-1, 有12)1(22-=--=m m m a ,
m m m m b 22)1(22-=-=,122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ，这说明它
与第一组是是特殊与一般的关系。
m a=2m-1b=2m 2-2m c=2m 2-2m+1
234535121347242559404161160617138485815112113917144145101918018111212202211223264265132531231314273643651529420421163148048117335445451835612613193768468520397607612141840841224392492523451012101324471104110525491200120126511300130127531404140528551512151329571624162530
591740
1741勾股数组公式3
1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、2
)
1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1；
3）此组中的a 是不小于3的连续奇数；
＜四＞、当第一组中的m=n+1
时, 有12)1(22+=-+=m n n a ,
n n n n b 22)1(22+=+=,122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第
一组是是特殊与一般的关系。
n a=2n+1b=2n 2
+2n c=2n 2
+2n+1
13452512133724254940415116061613848571511211381714414591918018110212202211123264265122531231313273643651429420421153148048116335445451735612613183768468519397607612041840841214392492522451012101323471104110524491200120125511300130126531404140527551512151328571624162529591740174130
611860
1861
勾股数组公式4
1) 从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法； 2）此组中的a 不小于3连续奇数； 3）c-b=1,即c 比b 大1；
4）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、
2
)
1(+k k 倍(k 是正整数)；
＜五＞、当第一组中的m=2k
,n=1时，有142-=
k a ,k b =,14
2+=k c ,)2(的偶数 k ,这说明它与第一组是是特殊与一般的关系
k
a=k 2/4-1
b=k c=k 2/2+1
434568610815817102410261235123714481450166316651880188220992010122120221222414324145261682617028195281973022430226322553225734288342903632336325383603836240399404014244042442444834448546528465304857548577506245062652675526775472854730567835678558840588426089960901629606296264102364102568115568115770122470122672129572129774136874137076
144376
1445
勾股数组公式5
1) 此组中的b 是不小于4的连续偶数； 2）c 比a 大1，c-a=1;
3) 让此式中的k ＝2n ，便得到a=n 2-1,b=2n,c=n 2+1, )1( n P 这正是第二组； 以上五组是我在教学和辅导中见到的公式，下面我再试写几组：
＜六＞、当第五组中的k=4n时，有a=4n,b=4n2-1,c=4n2+1,(n>0),这说明它与第五组是是特殊与一般的关系
1）a是4的k倍；
2）这是一组一偶二奇的勾股数组；
3）c-b=2,c比b大2；
与第一组是是特殊与一般的关系
勾股数组公式7
n a=4n+4b=2n2+4n c=2n2+4n+4 18610
2121618
3163032
4204850
5247072
6289698
732126128
836160162
940198200
1044240242
1148286288
1252336338
1356390392
1460448450
1564510512
1668576578
1772646648
1876720722
1980798800
2188966968
2188966968
229210561058
239611501152
2410012481250
2510413501352
2610814561458
2711215661568
2811616801682
2912017981800
3012419201922
明它与第一组是是特殊与一般的关系
勾股数组公式8
n a=3n2+4n+1b=4n2+2n c=5n2+4n+1
18610
2212029
3404258
4657297
596110146
6133156205
7176210274
8225272353
9280342442
10341420541
11408506650
12481600769
135********
146458121037
157369301186
1683310561345
1793611901514
18104513321693
19116014821882
20128116402081
21140818062290
22154119802509
23168021622738
24182523522977
25197625503226
26213327563485
27229629703754
28246531924033
29264034224322
30282136604621
当然我们还可以写出很多的勾股公式来，这里不在举例了。
对于勾股定理我们的认识远远达不到皮毛,还须深入学习，细心研讨，通过网络查找资料，相互交流，逐步认识。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
常见的勾股数组公式
常见的公法股数公式整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m φ 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数） ＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1(φm ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有 12)1(22-=--=m m m a ,m m m m b 22)1(22-=-=,122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1(φm ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、 2)1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组中的m=n+1时, 有 12)1(22+=-+=m n n a ,n n n n b 22)1(22+=+=,122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1) 从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法； 2）此组中的a 不小于3连续奇数； 3）c-b=1,即c 比b 大1； 4）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、 2)1(+k k 倍(k 是正整数)； ＜五＞、当第一组中的m=2 k ,n=1时，有
勾股数
勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。 完全公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）
最新常见的勾股数组公式
常见的公法股数公式20161003整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的 勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）
＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的；
4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有1 2)1(22-=--=m m m a , m m m m b 22)1(22-=-=, 122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ，这说明它与第一组是是特殊与一般的 关系。
1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、2 ) 1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组 中的m=n+1时, 有1 2)1(22+=-+=m n n a , n n n n b 22)1(22+=+=, 122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关 系。
勾股定理及其应用总结归纳
精心整理第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。
重点知识勾股定理的验证
重点知识确定几何体上的最短路线 例1 B A
图 AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米， 图 图1-2-9
且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用. 例8 如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果 家庭作业 ＝，CH＝，5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S △ABC MH＝ 图 6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= . 8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为 9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米， 且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 这个梯子顶端离地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了4 11.如图1-2-11，长方体的长为15cm ，宽为10果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 图1-1-2 B 图
勾股数序列
勾股数序列 山东定陶一中刘述省 序言 两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。 2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多， 只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。 学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。 正文 先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在 ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数） 以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。 k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1 素勾股数序列如下： a b c 说明：1. a列从上到下依次多 2 ，b列从上到下依次多加4 . 3 4 5 5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。 7 24 25 9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下： 11 60 61 13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当； 15 112 113 17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。 19 180 181 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一， 要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m2 —1 ＞2m 。得到m ＞1+2。
三种常见的勾股数
三种常见的勾股数 我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()2 2211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）； 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则 ()2 221+=+y y x ， 整理，得122=-y x ，（＊） 显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此， 取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ）， 故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222 +＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导． 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2 y ，化为 ()121222-=-+y x ，即
勾股定理常见题型
1 .如图（16）,大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 ，由此可得等量关系 ABCD 正方形EFGH .ACB=90 , AB=4，分别以AC , BC 为直径作半圆，面积分别记为 专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一 “勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题: 3 .“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角 边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是 （ ） 4 .如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形 正方形MNKT 勺面积分别为 S 、S 2、S.若正方形EFGH 勺边长为2,贝U S + S 2+ S 3 = _____________________________________ . 5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知 Si = 4, S 2= 9, S 3 = 8, S= 10，则S =（ ） A. 25 B . 31 C . 32 D . 40 7?如图，已知直角厶ABC 的两直角边分别为 6, 8,分别以其三边为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是 ____________ 8.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64,则正方形⑤的面积 _________________________ ,整理后可得： _______________ C 6 .如图，已知在Rt A ABC 中, C 6 8 ①
[实用参考]常见的勾股数及公式.doc
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2， 则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（G －１，G ，G ＋１），则由勾股数的定义，得（G+1）2+G 2=（G+1）2，解得G ＝ ４或G ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n 是正整数)都是勾股数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（G ，G ＋１，1222++x x ）（G 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（G ，G ＋１，P ），P=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222 -=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ） ， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得G ＝4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，P ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a= 21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；16 63 65 17144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 362 39 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 202 40 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626
谈谈勾股数组
谈谈勾股数组 常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a ，b 与斜边长c 之间满足等式：a 2+b 2=c 2（*）”的一个最简单特例。我们把满足（*）的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数组，记为（a ，b ，c ）。那么勾股数组到底有多少个呢？它们有什么样有规律呢？怎样求勾股数组呢？带着这些问题，我们作一点思考。 首先，我们建立表1： 表1 勾股数组表 1）勾股数组有无数个。 2）a 、b 中至少有一个是偶数，不能全是奇数，至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数；a 、b 、c 中至少有一个是5的倍数。 3）从表1左半部分可以发现：a 为奇数时，b 为a 的平方减1再除以2，c 为b 加1，也就是a 的平方加1再除以2。换句话说，若k 是一个奇数，则 （k ，212-k ，2 12+k ） （k ≥3的奇数） ① 就是一个勾股数组。 这样，我们任给一个奇数，就可以按照公式①写出一个勾股数组来。任给一个偶数呢？这也有规律。设m 是一个偶数，且m ≥4，则可以证明： （m ，1)2(2-m ，1)2 (2+m ） （m ≥4的偶数） ② 也是一个勾股数组。（如表1右半部分所示） 至此，根据公式①和②，对于任意的正整数n(n ≥3),都可以写出一个勾股数组。 4）若（a ，b ，c ）是勾股数组，则（λa ，λb ，λc ）也是勾股数组，其中λ为任意正整数。并约定λ（a ，b ，c ）=（λa ，λb ，λc ）。 遗憾的是，仅由公式①和②不能求出全部勾股数组。如由（3，4，5）可以断定（6，8，10），（9，12，15）等都勾股数组，其中（9，12，15）显然不包含在公式①和②之中。有没有能求出全部勾股数组的公式呢？答案是肯定的。 其实，我们有勾股数组公式（不失一般性，设a 为奇数，b 为偶数）： a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，（其中正整数m ＞n ＞0，m 、n 互质，且m 、n 为一奇一偶） ③ 根据公式③，我们可以求出所有a 、b 、c 互质的勾股数组（a ，b ，c ），再由结论4）求出如（9，12，15）这样a 、b 、c 不互质的勾股数组来。但公式③并不能随心所欲地求出你想要的勾股数组。 下面，我们思考这样的问题I ：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，如何确定b 、c 的值，进而确定勾股数组（a ，b ，c ）的个数有多少？
常见的勾股数组公式
常见的公法股数公式20161003整理 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）
＜二＞、当第一组中的n=1 明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组；
＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有 , , 关系。 1）此组中的b是4的倍数，且为4的1、3、6(k是正整数)；2）此组中有b-c=1,即c比b大1；
3）此组中的a是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组中的m=n+1时, 有 , , 系。 1) 从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法；2）此组中的a不小于3连续奇数；
3）c-b=1,即c比b大1； 4）此组中的b是4的倍数，且为4的1、3、6 (k是正整数)； ＜五＞、当第 一组中的m=,n=1时， 有 这说明它与第一组是是特殊与一般的关系 1) 此组中的b是不小于4的连续偶数；
3) 让此式中的k＝2n，便得到a=n2-1,b=2n,c=n2+1, 这正是第二组； 以上五组是我在教学和辅导中见到的公式，下面我再试写几组： ＜六＞、当第五组中的k=4n时，有a=4n,b=4n2-1,c=4n2+1,(n>0),这说明它与第五组是是特殊与一般的关系 1）a是4的k倍； 2）这是一组一偶二奇的勾股数组；
勾股弦数
勾股弦数 李明亮 （河北省平乡县大刘庄学校，河北邢台054500） 摘要：勾股弦数是指这样的三个正整数（分别称为勾数、股数、弦数）：勾数与股数的平方和等于弦数的平方。每一组勾股弦数都和3、4、5这三个数有关；任意给定一个不小于3的勾数或股数，都可以求出一组勾股弦数；但是，只有4k+1形的质数和它们的倍数才可以做弦数。 关键词：勾股弦数；通项公式；质数；平方 勾股弦数是指这样的三个正整数：两个较小数的平方和等于第三个数的平方。也就是说，如果三条线段的长度正好分别等于这三个数，则用这三条线段可以围成直角三角形。3、4、5是最简单的一组勾股弦数。在一组勾股弦数中，从小到大依次称为勾数、股数、弦数。 勾股弦数的通项公式如下： a=k(m2－n2)，b=2kmn，c=k(m2+n2) （k、m、n均为正整数，且m＞n） 例如，k=1，m=3，n=1时，可得到一组勾股弦数6、8、10；k=2，m=2，n=1时，也可得到6、8、10；k=1，m=3，n=2时，可得勾股弦数5、12、13；k=1，m=4，n=1时，可得勾股弦数8、15、17…… 下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。 一、在一组勾股弦数中，当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶；当弦数是偶数时，勾数和股数一定都是偶数。 因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶。但是，当弦数是偶数时，勾数和股数为什么一定是两个偶数，而不能是两个奇数呢？ 这是因为，奇数的平方的末两位数只能是01、21、41、61、81、09、29、49、69、89或25这十一个数，而偶数的平方的末两位数只能是04、24、44、64、84、16、36、56、76、96或00这十一个数。这十一个奇数中的任何两个相加，其结果的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。也就是说，两个奇数的平方和不可能是完全平方数。 如果在一组勾股弦数中，勾数和股数都是偶数，那么，把这组勾股弦数都除以2或者连续除以2，最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。 二、在一组勾股弦数的勾数和股数中，至少有一个是3的倍数。 此命题的证明如下： 我们把m和n都分成三种情况来讨论：m=3m1或3m1±1，n=3n1或3n1±1 （m1和n1均为正整数）。 （1）当m=3m1时，b=2kmn=6km1n，此时，不论k和n是什么数，b都是3
勾股定理知识点总结(经典、实用)
第三章、勾股定理 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。 公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。 符号语言： 注意：前提一定是直角三角形. a ， b 也可能是斜边，分清斜边直角边. 勾股定理的证明 ：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 勾股定理的适用范围 ： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股数的规律
所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时，我们就称这一组数为勾股数。 那么，组成一组勾股数的三个正整数之间，是否具有一定的规律可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有：32=9=4+5 由（5，12，13）有：52=25=12+13 由（7，24，25）有：72=49=24+25 由（9，40，41）有：92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式： ∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1） ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数） 勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现 由（6，8，10）有：62=36=2×（8+10） 由（8，15，17）有：82=64=2×（15+17） 由（10，24，26）有：102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）] ∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数） 勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数） 利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。
100以内的勾股数
100以内的勾股数
100以内的勾股数：i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10 i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41 i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50 i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82 i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52 i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51 i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78 i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75 i=48 j=55 k=73 i=48 j=64 k=80 i=51 j=68 k=85 i=54 j=72 k=90 i=57 j=76 k=95 i=60 j=63 k=87 i=65 j=72 k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a, b,c)。即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N2 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) 第2 / 4页n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ...
勾股数
勾股数 勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且n'为不相同素数的乘积