高考不等式经典例题(可编辑修改word版)

＝ ＋ ( )

?-- = -1 ? b

高考不等式经典例题

【例 1】已知 a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较 P 与 Q 的大小.

【解析】因为 a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当 a ＞1 时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当 0＜a ＜1 时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1 时，P ＞Q .

1 1

【变式训练 1】已知 m ＝a ＋ － (a ＞2)，n ＝x －2(x ≥ )，则 m ，n 之间的大小关系为(

)

a 2 2

A.m ＜n

B.m ＞n

C.m ≥n

D.m ≤n

【解析】选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.

m ＝a ＋

1 a －2＋ 1 2≥2＋2＝4， 而 n ＝x －2≤ 1

－2＝4. a －2 a －2

2 【变式训练 2】已知函数 f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求 f (3)的取值范围.

【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令 f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，

?

= - 5 ,

所以 ?+ 4= 9, ? ? ? 3 ?= 8

?

3 5 8

故 f (3)＝－ (a －c )＋ (4a －c )∈[－1,20].

3 3 题型三 开放性问题

c d

【例 3】已知三个不等式：①ab ＞0；② ＞ ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组

a b 成多少个正确命题？

c 【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式②作等价变形:

d bc －ad ＞0.

(1)由 ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad

＞0，即①③?②；

ab a

＞ ?

ab

(2)由 ab ＞0，

bc －ad

＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； ab

(3)由 bc －ad ＞0，bc －ad

＞0?ab ＞0，即②③?①.

ab 故可组成 3 个正确命题.

【例 2】解关于 x 的不等式 mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当 m ＝0 时，原不等式可化为－2x －2＞0，即 x ＜－1； 当 m ≠0 时，可分为两种情况：

?

2

(1)m＞0 时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0 有两个根，x1＝－1，x2＝.

m

2

所以不等式的解集为{x|x＜－1 或x＞}；

m

(2 )m＜0 时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，

其对应方程两根为x ＝－1，x 2 x －x

2

(－1)＝

m＋2

1 2

＝，

2

m 1

＝－.

m m

2 ①m＜－2 时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜}；

m ②m＝－2 时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为?；

2

③－2＜m＜0 时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x| ＜x＜－1}.

m

ax－1

【变式训练2】解关于x 的不等式

x＋1

＞0.

【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.

1

当a＝0 时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0 时，不等式的解集为{x|x＞或x＜－1}；

a

1

当－1＜a＜0 时，不等式的解集为{x| ＜x＜－1}；当a＝－1 时，不等式的解集为?；

a

1

当a＜－1 时，不等式的解集为{x|－1＜x＜}.

a

【例3】已知ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0 的解集.

1

【解析】由于ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，解得x＜或x＞1.

3

2y＋1 (1)z＝x＋2y－4 的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；(3)z＝

x＋1

的取值范围.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).

(1)易知直线x＋2y－4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x＝7，y＝9 时，z 取最大值21.

(2)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，

过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，

故z 的最小值是(|0－5＋2|)2 9.

＝

2

(3)z＝2·

y－(－\f(1,2))表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1 1

)连线斜率的2 倍.

，－

x－(－1) 2

7 3 3 7

因为k QA＝，k QB＝，所以z 的取值范围为[ ，].

4 8 4 2

【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则( )

A .x＋y≥2( 2＋1)

B .x＋y≤2( 2＋1) C. x＋y≤2( 2＋1)2 D. x＋y≥( 2＋1)2

2

a 2＋

b 2 2ab

(2) 已知 a ，b ∈R ＋，则 ， ，

＋ 的大小顺序是 .

2 a b

【解析】(1)选 A.由已知得 xy ＝1＋(x ＋y )，又 xy ≤(

x ＋y 2，所以 x ＋y

)2≥1＋(x ＋y ). 2 ) ( 2

解得 x ＋y ≥2( 2＋1)或 x ＋y ≤2(1－ 2). 因为 x ＋y ＞0，所以 x ＋y ≥2( 2＋1).

(2)由a ＋b

2ab 2ab ab 有 a ＋b ≥2 ab ，即 a ＋b ≥ ，所以 ab ≥

. ≥ 2 ab

又

1 1 λ

a ＋

b . 【变式训练 1】设 a ＞b ＞

c ，不等式 － ＋ － ＞ － 恒成立，则 λ 的取值范围是 .

a b b c a c 【解析】(－∞，4).因为 a ＞b ＞c ，所以 a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.

1 1 1 1

而(a －c )( ＋ )＝[(a －b )＋(b －c )]( ＋ )≥4，所以 λ＜4.

a －

b b －

c 5 a －b 1

b －c

【例 2】(1)已知 x ＜ ，则函数 y ＝4x －2＋ 的最大值为 ；

4 4x －

5 5 1 1

【解析】(1)因为 x ＜ ，所以 5－4x ＞0. 所以 y ＝4x －2＋ ＝－(5－4x ＋ )＋3≤－2＋3＝1.

4 4x －

5 1

5－4x 当且仅当 5－4x ＝ ，即 x ＝1 时，等号成立. 所以 x ＝1 时，y max ＝1.

5－4x 【变式训练 2】已知 x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 a ＋b ＝x ＋y ，

(a ＋b )2

cd 的取值范围.

(a ＋b )2

(x ＋y )2 x y y

(a ＋b )2 y (a ＋b )2

cd ＝xy ， 所 以 cd

＝ xy ＝2＋ ＋ ， 当 ＞0 时 ， cd ≥4； 当 ＜0 时 ， cd ≤0，

(a ＋b )2

y x x x

故

cd

的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).

例 已 知 x , y , > 0, 2 + 8

= 1，求 xy 的最小值。

x y

? 2 8 ?2

4 y 64x 解 ： xy = xy 12

= xy + ? = + + 32 ≥ + 32 = 64 。

? x y ?

x y

当且仅当 2 = 8 = 1

时，即 x = 4.y = 16 ，上式取“=”，故( x y ) = 64 。

x y 2

min

例 已知 0 < x < 1，求函数 y =

4

+ x 1 1- x

的最小值。 解：因为 0 < x < 1，所以1- x > 0 。

所以 y = 4 + 1 = ? x + (1- x )? ? 4 + 1 ?

= 5 + 4 (1- x ) + x ≥ 9 。 x 1- x ? ? x 1- x ? x 1- x

? ?

a ＋

b ＝≥a ＋b ， a ＋b ab 2ab 2 ≥ 2 ≥ ≥ a ＋b

4 (1- x ) x 2

当且仅当 x

= 1- x 时，即 x = 3 ，上式取“=”，故 y min = 9 。

例

已知 x , y , z ∈ R + ，且 x + y + z = 1

，求 1 + 4 + 9

x y z

的最小值。 解：设

> 0 ，故有

( x + y + z -1) = 0 。

∴ 1 + 4 + 9 = 1 + 4 + 9

+

( x + y + z -1) = ?

1

+

x ? + ? 4 + y ? + ? 9 + z ?

- x y z x y z x ? y ? z ? ? ? ? ? ? ?

≥ 2

+ 4 + 6 -= 12

-

。当且仅当

1

= x , 4 = y , 9

= z 同时成立时上 x y z

述不等式取“ =”， 即 x =

1 , y =

2 , z = 3

， 代入 x + y + z = 1 ， 解得 = 36 ， 此时

12

-

= 36 ，故 1 + 4 + 9

的最小值为 36。

x y z

例 若正实数x ，y 满足 xy = 2x + y + 6 ，

则xy 的最小值是 。（变式：求2x +y 的最小值为

）

答案：18

解：因为 x >0，y >0 ，所以 xy = 2x + y + 6 ≥ 2

+ 6 ，

xy - 2 - 6 ≥ 0 ，解得 ≥ 3 2 或 ≤ - （2 舍）

等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。

变式答案：12

解：因为 x >0，y >0 ，所以 xy = 2x + y + 6 ≤

1 ( 2x + y )2

2 2

整理得(2x + y )2 - 8(2x + y ) - 48 ≥ 0 ，解得 2x + y ≥ 12或2x + y ≤ -4(舍）

等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x +y 的最小值为 12。 例 若对任意 x > 0 ，

1

x

x 2

+ 3x +1

≤ a 恒成立，则 a 的取值范围是 。

答案： a ≥

5

1 解：因为 x > 0 ，所以 x +

≥ 2 （当且仅当x=1 时取等号），所以有

x

2xy 2xy xy xy

x

=1 ≤

1

=

1

x 1 1

x2 + 3x +1 x +1 +3

x 2 + 3 5 ，即

x2 + 3x +1

的最大值为，故a ≥。

5 5