初中数学浙教版八年级上学期期末培优专题1 三角形
初中数学浙教版八年级上学期期末培优专题1 三角形
一、单选题(共10题;共20分)
1.已知,在ΔABC与ΔADC中,AB=AD,那么添加一个条件后,仍无法判定ΔABC?ΔADC的是()
A. CB=CD
B. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCA
D. ΔADC与ΔABC的周长相等
2.等腰三角形的两边长为2和6,则周长是()
A. 10
B. 14
C. 10或14
D. 6
3.如图,△ABC顶角为120°,AB=AC,EC=4,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则DE的长为()
A. 1
B. 2
C. √2
D. √3
4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=56°,将△ABC沿着DE翻折,使得点C恰好与点B重合,连接BE,则∠AEB的度数为()
A. 68°
B. 58°
C. 22°
D. 34°
5.若等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm,则此三角形的周长是()
A. 15cm
B. 20cm
C. 25cm
D. 20cm或25cm
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为()
A. 13
B. 14
C. 15
D. 21
7.如图,在ΔABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,下列结论中正确的个数是().
① AD平分∠CDE:② ∠BAC=∠BDE;③ DE平分∠ADB;④ AB=AC+BE.
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 4个
8.在如图所示的6×6 网格中,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点),则与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数()
A. 3 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 7 个
9.如图,在Rt直角△ABC中,∠B=45°,AB=AC,点D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;② AE=CF;
③△BDE≌△ADF;④ BE+CF=EF,其中正确结论是()
A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
10.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=2,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是()
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
二、填空题(共10题;共10分)
11.△ABC中,三边之比为3:4:5,且最长边为10m,则△ABC周长为________cm.
∠ABH,若CD=4,12.如图,BH是钝角三角形ABC的高,AD是角平分线,且∠C=45°?1
2
ΔABC的面积为12,则AD=________.
13.如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=40°,AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,则∠DAE= ________°.
14.如图,在△ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高,若BC=6,AD=5,CE=4,则AB的长为________.
15.已知三角形的三边长分别为4,8,a,则a的取值范围是________ .
16.如图,OP平分∠AOB,PA ⊥OA,PB ⊥OB,垂足分别为点A、B.下列结论中,一定成立的是________(填序号)
①PA=PB;②OA=OB;③OP垂直平分AB;④AB垂直平分OP
17.如图,△ABC中,∠C=90°,点A关于BC边的对称点为A′,点B关于AC边的对称点为B′,点C关于AB边的对称点为C′,△ABC与△A′B′C′的面积之比为________.
18.如图,AB = 4cm ,AC = BD = 3cm . ∠CAB = ∠DBA ,点P 在线段AB 上以1cm / s 的速度由点A 向点 B 运动,同时,点Q 在线段BD 上由点B 向点 D 运动.设运动时间为t(s) ,则当点Q 的运动速度为________cm / s 时,DACP 与DBPQ 全等.
19.如图,有一个直角三角形ABC,∠C=90°,AC =10,BC =6,线段PQ =AB,点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动,点P从C点出发,沿射线CA以2cm/s的速度运动,问P点运动________ 秒时(t >0),才能使ABC≌QPA全等.
20.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G.若∠B=24°,∠CAB=54°,∠DAC=16°,则∠DGB=________.
三、计算题(共4题;共25分)
21.如图.AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF.求证:
(1)点D为EF的中点;
(2)AD⊥BC.
22.已知a,b,c为三角形三边的长,化简:|a+b?c|+|b?c?a|?|c?a?b|.
23.如图所示,△ABC和△AEF为等边三角形,点E在△ABC内部,且E到点A,B,C的距离分别为3,4,
5,求∠AEB的度数.
24.如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM、ON上移动,BE是∠ABN的平分线,BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C,试问:∠ACB的大小是否发生变化?如果保持不变,请给出证明;如果随点A、
B移动发生变化,请求出变化范围.
四、解答题(共3题;共20分)
25.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC边上一点,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)请说明:AB=CD.
26.如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证:AF=DE.
27.如图,△ABC≌△ADE,且∠CAD=35°,∠B=∠D=20°,∠EAB=105°,求∠BFD和∠BED的度数.
五、综合题(共8题;共97分)
28.已知,ΔABC中,AH⊥BC于点H,∠HAB=∠HAC.
(1)如图1,求证:ΔABH?ΔACH;
(2)如图2,点D为ΔABC外一点,AD⊥BD,若BC平分∠ABD,求证:AD⊥AC;(3)如图3,在(2)的条件下,若∠ADC=2∠ABC,BD=3,CD=6,求ΔACD的面积.29.在△ABC中,点D、E在AB边上,满足AC=AE,BC=BD,且∠DCE=45°.(1)如图1,求证:∠A+∠B=90°;
(2)如图2,过点E作EF⊥CD交CD于点G,交AC于点F,求证:CF=ED;
(3)如图3,在(2)的条件下,当点F为AC中点时,求AC:BC的值.
30.如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B.
(1)求证:ED∥BC;
(2)若D,E,F分别是AB,AC,CD边上的中点,四边形ADFE的面积为6.
①求△ABC的面积;
②若G是BC边上一点,CG=2BG,求△FCG的面积.
31.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与点C重合,点D与点G重合,若BC=8,AB=4,求:
(1)求CF的长.
(2)求EF的长.
(3)求阴影部分△GED的面积.
32.现有一张△ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.
(1)如果折成图①的形状,使点A落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是________.
(2)如果折成图②的形状,猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是________;
(3)如果折成图③的形状,猜想∠1、∠2和∠A的数量关系,并说明理由.
33.如图,线段AB=4,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B 在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:△AEP≌△CEP;
(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;
(3)请直接写出△AEF的周长.
34.已知:如图,△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC交CB的延长线于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)若AC=24,BC=10,求AE的长.
35.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE
(1)如图1,当点D在线段BC上,且∠BAC=90°.
①说明:△ABD≌△ACE;
②线段CE、CD、BC的数量关系为_▲_.
(2)如图2,当点D在直线BC上,设∠BAC=α,∠BCE=β.则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解:A 、∵在△ABC 和△ADC 中,
{AB =AD AC =AC CB =CD
,
∴△ABC ≌△ADC (SSS ),故本选项不合题意;
B 、∵在△AB
C 和△ADC 中,
{AC =AC
∠BAC =∠DAC AB =AD
,
∴△ABC ≌△ADC (SAS ),故本选项不合题意;
C 、根据AB=A
D ,AC=AC ,∠BCA=∠DCA 不能推出△ABC ≌△ADC ,故本选项符合题意;
D 、∵△ADC 与△ABC 的周长相等,AB=AD ,AC=AC ,
∴CB=CD ,
由选项A 可知△ABC ≌△ADC ,本选项不符合题意.
故答案为:C .
【分析】根据图形得出AC=AC ,根据全等三角形的判定定理逐个推出即可.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解:当腰为2时,2+2<6,不能构成三角形,因此这种情况不成立,
当腰为6时,能构成三角形,此时等腰三角形的周长为6+6+2=14,
故答案为:B .
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和6,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解:∵∠BAC=120°, AB =AC ,
∴∠B=∠C=30°,
∵将 △ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为 DE ,
∴∠BAE=∠B=30°,ED ⊥AB ,
∴∠EAC=120°-30°=90°,
∵EC=4,
∴ AE =12EC =2 ,
在△ADE 中,∵∠ADE=90°,∠DAE=30°,
∴ DE =12AE =1 .
故答案为:A .
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=∠C=30°,根据折叠的性质可得
∠BAE=∠B=30°,ED⊥AB,进而可得∠EAC=90°,然后分别在直角△AEC和直角△ADE中利用30°角的直角三角形的性质求解即可.
4.【答案】A
【解析】【解答】解:∵∠A=90°,∠ABC=56°
∴∠C=34°
∵将△ABC沿着DE翻折,使得点C恰好与点B重合
∴BE=EC,∠C=∠EBC=34°
∴∠AEB=∠C+∠EBC=68°
故答案为:A.
【分析】根据三角形内角和为180°,可求∠C的度数,由翻折可得∠C=∠EBC,即可求∠AEB的度数.5.【答案】C
【解析】【解答】解:当腰为5时,∵5+5=10,不符合题意;
当腰为10时,周长=10+10+5=25.
故答案为:C.
【分析】分两种情况讨论,当腰为5时,不符合三角形三边的关系;当腰为10时,求出此等腰三角形的周长即可.
6.【答案】C
【解析】【解答】解:作DE⊥AB于点E,如图,
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DE=DC=3,
∴△ABD的面积= 1
2AB?DE=1
2
×10×3=15.
故答案为:C.
【分析】作DE⊥AB于点E,如图,根据角平分线的性质可得DE=DC=3,再根据三角形的面积公式计算即可.
7.【答案】A
【解析】【解答】解:因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.
又AD是∠CAB的角平分线,AC⊥CD,由角平分线的性质得DC=DE,又AD=AD,故ΔACD?ΔAED,所以∠ADC=∠ADE,故①成立;
在RtΔABC中,∠C=90°,故∠BAC+∠B=90°,在RtΔBDE中,∠B+∠EDB=90°,因此∠BAC+∠B=∠B+∠EDB,即∠BAC=∠BDE,故②成立;
∵ΔACD?ΔAED,故AC=AE,因此AB=AE+EB=AC+BE,④成立;
当∠B=60°时,∠EDB=30°,∠ADE=75°,显然∠EDB≠∠ADE,故③不成立.
【分析】根据角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可判断.
8.【答案】D
【解析】【解答】解:如图,
以BC为一条公共边且与△ABC全等的是:△B1BC,△B2BC,△B7BC,
以AC为一条公共边且与△ABC全等的是:△B3AC,△B4AC,△B5AC,
以AB为一条公共边且与△ABC全等的是:△B6AB,
综上,正确的三角形共有7个,
故答案为:D.
【分析】如图,分三种情况:分别以BC、AC、AB为一条公共边,根据全等三角形的判定方法和方格的特点解答即可.
9.【答案】C
【解析】【解答】解:∵∠B=45°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵点D为BC中点,
∴AD=CD=BD,AD⊥BC,∠CAD=45°,
∴∠CAD=∠B,
∵∠MDN是直角,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°,
∴∠ADF=∠BDE,
在△BDE和△ADF中,{∠CAD=∠B AD=BD
∠ADF=∠BDE
,∴△BDE≌△ADF(ASA),故③符合题意;∴DE=DF、BE=AF,
又∵∠MDN是直角,
∴△DEF是等腰直角三角形,故①符合题意;∵AE=AB-BE,CF=AC-AF,
∴AE=CF,故②符合题意;
∵BE+CF=AF+AE>EF,
∴BE+CF>EF,
故④不符合题意;
综上所述,正确的结论有①②③;
故答案为:C.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°,根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE,然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等,判断出③符合题意;根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF,从而得到△DEF是等腰直角三角形,判断出①符合题意;再求出AE=CF,判断出②符合题意;根据BE+CF=AF+AE,利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF,判断出④不符合题意.
10.【答案】C
【解析】【解答】解:过点D作DE⊥BC于E,则DE即为DP的最小值,
∵∠BAD=∠BDC=90°,∠ADB=∠C,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,DA⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=AD=2,
故答案为:C.
【分析】过点D作DE⊥BC于E,则DE即为DP的最小值,进而可得∠ABD=∠CBD,然后根据角平分线的性质定理可求解.
二、填空题
11.【答案】2400
【解析】【解答】解:设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm,
∵最长边为10m,
∴5x=10,
解得:x=2,
∴3x=6,4x=8,
∴6+8+10=24(m)=2400cm,
故答案为:2400.
【分析】由“三条边的长度比为3:4:5",设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm、利用最长边为10m,列出方程,即得三角形的周长.
12.【答案】3
∠ABH,
【解析】【解答】解:∵BH⊥CH,∠C=45°?1
2
∴∠ABC=90°-∠C-∠ABH
=90°-(45°?1
2
∠ABH)-∠ABH
=45°?1
2
∠ABH,
∴∠ABC=∠C,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,BD=CD=4,
∴BC=8,
∵S△ABC=12,
∴1
2
BC?AD=12,
∴AD=3,
故答案为:3.
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠ABC=∠C,由AD是∠BAC的平分线可得AD⊥BC,即可得
BD=CD=4,再由三角形的面积公式可得AD=3.
13.【答案】24°
【解析】【解答】解:∵AB的垂直平分线交BC于D,AC的垂直平分线交BC于E,
∴AD=BD,AE=CE,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,
∵∠B=38°,∠C=40°,
∴∠B+∠C=38°+40°=78°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-78°=102°,
∠BAD+∠CAE=78°,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=102°-78°=24°.
故答案为24°.
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD,AE=CE,推出∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,求出∠BAD+∠CAE的度数,根据三角形内角和即可得到答案,
14.【答案】15
2
【解析】【解答】解:∵在△ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高
∴1
2BC×AD= 1
2
AB×CE
∴BC×AD=AB×CE
∵BC=6,AD=5,CE=4 ∴6×5=4AB
∴AB= 15
2
故答案为:15
2
.
×底×高,分别以BC为底,AD为高和以AB为底,CE为高两种方式计算,【分析】根据△ABC的面积等于1
2
面积相等,列出等式,再将已知数据代入,解出AB即可.